Примеры решения задач

1. Найти магнитную индукцию создаваемую витком в форме квадрата со стороной а в точке Р, находящейся на расстоянии а от вершин квадрата (рис.1.2). По витку идет ток I.

Решение.

Индукция поля, создаваемая одной стороной квадрата

.

В соответствии с принципом суперпозиции

.

Учитывая, что , , , получим

,

.

Из чертежа следует, что

, , ;

Окончательно

.

2. Ток I=5 А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 1.3). Радиус изогнутой части проводника R=120мм, угол 2𝜑=. Найти магнитную индукцию в точке О.

Решение.

В соответствии с принципом суперпозиции

,

где индукция создается током, текущим по элементу окружности, а - по отрезку прямой. Найдем численные значения :

.

Проведем преобразование

,

.

.

Так как векторы и направлены в одну сторону, то

3. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид показанный на рис.1.4а. Радиус изогнутой части проводника R, прямолинейные участки проводника очень длинные.

Решение.

,

где создаются соответствующими проводниками с токами .

Частные значения индукции найдем по формулам

, где I₁=I

, где I₂= I. .

, где . .

.

Векторы и направлены в противоположные стороны и численно равны, поэтому их сумма равна нулю (см рис.1.4б). Численное значение результирующего вектора определяется по теореме Пифагора, т.к и образуют прямой угол.

.

4. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при .

Решение.

Как следует из рис.2.5 , , .

Индукция в центре многоугольника

,

где .

Проведем преобразования

.

,

где .

При и

Таким образом, при

5. По тонкому проводящему кольцу радиуса R течет ток I. Вывести приближенную формулу расчета магнитной индукции в точке А, лежащей в плоскости кольца на расстояние r<R от центра кольца.

Решение.

Применим закон Био-Савара

где - единичный вектор вдоль ВА (рис.1.6).

С учетом , , получим

.

Найдем и ВА. Из чертежа следует

, ,

.

Из теоремы косинусов .

Значение индукции поля определяется интегралом

где .

.

Воспользуемся разложением функции в бесконечный ряд Ньютона и ограничимся первыми тремя членами:

…

В соответствии с этим

.

В результате интегрирования получим

.

Если , то .

6. По тонкому проводящему кольцу радиуса R течет ток I. Определить аксиальную B_x и радиальную В_у составляющие магнитной индукции в точке N, расположенной на перпендикуляре MN (MN=r) к оси кольца. Точка М лежит на оси на расстоянии х от центра кольца (рис 1.7)

Решение.

Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r и длиной dx с осью, проходящей через точку N, и воспользуемся теоремой Гаусса для поля

, Ф₁-Ф₂+Ф₃=0,

где - поток через боковую поверхность.

- входящий поток через основание цилиндра.

- выходящий поток через основание цилиндра.

.

Проведя преобразования, установим связь между аксиальной и радиальной составляющими магнитной индукции

.

Аксиальную составляющую получим, используя формулу для магнитной индукции на оси кольца

.

Дифференцируя B_x по dx, получим

.

С учетом этого

.

7. Имеется круговой виток с током I. Найти интеграл вдоль оси витка в пределах от до . Объяснить полученный результат.

Решение.

Произведем замену

.

Интеграл можно рассматривать как , т.к. пределы интегрирования позволяют заключить, что обход производится по контору, замыкающемуся в бесконечности, и полученное выражение рассматривать, как результат использования теоремы о циркуляции вектора

8. Постоянный ток I течет по длинному прямому проводу и далее растекается радиально - симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.

Решение.

Ток, текущий по длинному прямому проводу создает магнитную индукцию в пространстве над проводящей плоскостью. В пространстве проводящей плоскости В=0, т.к. магнитные поля соседних токов направлены в противоположные стороны (рис. 2.8) и взаимно компенсируются.

9. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из N=100 плотно расположенных витков, по которым течет ток I=8мА (рис. 1.9). Радиусы внутреннего и внешнего витков а=50мм, в=100мм. Найти: а) индукцию магнитного поля в центре спирали; б) магнитный момент спирали при данном токе.

Решение.

Применим формулу для расчета магнитной индукции в центре проводника с током .

Плоскую спираль можно рассматривать как ленту, где линейная плотность тока равна . Ток, проходящий по элементу ленты шириной dr, равен .

С учетом этого .

Интегрируя, получим

.

Аналогичный результат для индукции магнитного поля дает использование закона Био-Савара-Лапласа

,

где dl-элемент спирали, создающий dB. , .

.

Магнитный момент спирали находится следующим образом

,

.