2. Полуаналитический метод [2]

С середины прошлого века в связи с развитием вычислительной техники стали интенсивно развиваться методы расчета висячих мостов с учетом геометрической нелинейности. Рассмотрим не требующий сложных численных расчетов полуаналитический метод, подробно изложенный в монографии [2].

Изложение основных положений метода проведем на примере расчета однопролетного висячего моста, схема которого представлена на рис. 1, а. Воспользуемся теми же допущениями, что и ранее при описании метода сил. Кроме того, ради простоты выводов будем считать подвески нерастяжимыми.

На рис. 4 показана расчетная схема, которая получена из заданной системы моста (см. рис. 1, а) путем разрезания всех подвесок.

Рис. 4. Расчетная схема моста

При этом кабель и балку можно рассматривать как отдельные системы, имеющие, однако, совместные деформации.

При монтаже моста сначала к нему прикладывают постоянную равномерно распределенную по длине пролета нагрузку g и тем или иным способом [1, 2] добиваются, чтобы деформации балки жесткости от постоянной нагрузки отсутствовали. Усилия в подвесках от постоянной нагрузки равны .

В процессе загружения моста временной нагрузкой в подвесках появляются дополнительные усилия . Суммарные усилия, действующие на балку, будут равны

. (7)

Прогибы балки жесткости в точках прикрепления подвесок обозначим через

. (8)

Вектор можно найти по формуле

(9)

где – матрица влияния прогибов с элементами

, (10)

– изгибающий момент в балке в сечении с координатой x от единичной силы, приложенной в сечении с координатой t.

Примем в качестве неизвестных n величин прогибов и распор H. Для их определения рассмотрим равновесие k-го узла кабеля в точке крепления k-й подвески, предполагая, что на участках между соседними узлами ось кабеля представляет собой отрезок прямой (рис. 5).

Рис. 5. Равновесий к k-го узла кабеля

На рис. 5  – прогиб кабеля от постоянной нагрузки,  – усилие в кабеле, . Составляя уравнения равновесия в проекциях на ось y, после ряда преобразований [2] получим n уравнений относительно n прогибов и распора H:

(11)

где

(12)

, (13)

(14)

 – единичная матрица.

Дополнительное уравнение деформации кабеля получим, воспользовавшись принципом Лагранжа (работа внешних и внутренних сил от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю). Этому уравнению можно придать вид [2]

, (15)

где

(16)

, (17)

Подставляя в (15) сумму , выраженную через из уравнения (11), получим нелинейное уравнение относительно параметра , решив которое найдем распор из (12) и перемещения узлов балки по (11).

Усилия в подвесках находятся по формуле

. (18)

Вектор нагрузок, действующих на балку, имеет вид

. (19)

Вектор изгибающих моментов, действующих в сечениях, проходящих через точки крепления подвесок, определяется соотношением

, (20)

где  – матрица влияния изгибающих моментов с элементами .

Возможно обобщение изложенной методики для расчета трехпролетных висячих мостов, выполнение расчетов с учетом податливости и наклона подвесок и влияния температуры и т.д. [2].