Дискретное моделирование динамических состояний пространственных тонкостенных конструкций

Приведены результаты исследования динамических состояний тонкостенных конструкций методом конечных элементов.

Анализ статических и динамических состояний конструкций машин и механизмов на современном уровне требует применения численных методов и широкого использования вычислительной техники. Наиболее развитым и универсальным в настоящее время считается метод конечных элементов (МКЭ) [1].

Актуальность темы данного исследования определяется в целом необходимостью решения современных проблем строительной механики, связанных с созданием и эффективным применением систем автоматизированного проектирования (САПР) тонкостенных конструкций авиационной техники, различных строительных сооружений и механических конструкций.

В мире современных конструкций - в широчайшем диапазоне от строительных сооружений до космических орбитальных станций - требования обеспечения прочности и жесткости при экономии материала и создания простора для внутренней компоновки эффективно удовлетворяются путем применения оболочек и других тонкостенных систем.

Беспрецедентное расширение сферы использования МКЭ привело к выдающимся достижениям в проектировании сооружений и машин, но при этом начали проявляться проблемы, связанные с усложнением объектов моделирования и все возрастающими требованиями к качеству проектирования, которое на современном уровне должно быть автоматизированным, оптимальным, экономичным и реализуемым в возможно кратчайшие сроки.

В ряду таких проблем одной из важнейших является проблема автоматизированной подготовки данных, необходимых для конечно-элементного моделирования проектируемых объектов. При достижении конструкцией некоторого (и весьма невысокого) уровня сложности, прежде всего, геометрической формы, построение сетки конечных элементов «вручную» становится неприемлемым по срокам выполнения и по качеству кодирования, которое в этом случае чревато большим количеством ошибок и трудностями их диагностики.

Наличие алгоритмов и программ автоматизированного построения сеток, адекватных моделируемым конструкциям, коренным образом ускоряет подготовку данных, исключает ошибки кодирования, многократно и оперативно изменять структуру и степень измельченности сетки и контролировать ее качество. Создание и эффективное функционирование САПР предусматривает обеспечение подпрограммами автоматической генерации сеток МКЭ.

Цели работы предусматривают:

- создание и внедрение алгоритмов и пакета прикладных программ автоматизированной подготовки данных для моделирования по МКЭ класса нерегулярных конструкций, составленных из оболочек (складок) канонических форм и оболочек, неканоническая конфигурация которых задается любым способом, позволяющим выполнить дискретное описание срединной поверхности;

- исследования и анализ специфики напряженно-деформи­рован­ных состояний упругих тонкостенных систем указанного класса при статических нагружениях, в том числе с учетом контактных взаимодействий;

- исследование частот и форм собственных колебаний тонкостенных систем указанного класса.

В качестве первой тестовой конструкции выбран сектор торообразной оболочки с вырезом, одно из поперечных сечений которого защемлено. Радиус поперечного сечения оболочки равен 0,07 м, радиус образующей тора 0,21 м, радиус выреза 0,04 м, толщина оболочки 0,002 м, материал оболочки – сталь (Е= ). Расчетная модель состоит из 164 конечных элементов трапециевидной формы и 36 элементов треугольной формы для описания зоны выреза, общее число узлов модели равно 207. При вычислении наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов систем высокой размерности с большой шириной ленты весьма эффективен метод итераций в подпространстве. Первые три низшие собственные формы колебаний представлены на рисунке 1. Вычисленные низшие частоты собственных колебаний приведены в таблице, где также для сравнения приведена погрешность по сравнению с результатами анализа, выполненного при помощи программного комплекса Pro/MECHANICA [1]. Отличие выявленных низших частот собственных колебаний не превышает пяти процентов, что допустимо.

Рис. 1. Низшие собственные формы сектора торообразной

оболочкис вырезом

Таблица 1

Сравнительная погрешность вычислений, выполненных

различными методами

Частота, Гц	Авторы	Pro/MECHANICA	Погрешность, %
	582	563	3,4
	695	664	4,7
	1085	1040	4,3

В настоящее время не существует единого алгоритма решения проблемы собственных значений, одинаково эффективного для самых разнообразных технических объектов.

Выбор метода решения зависит от характеристик матриц жесткости и инертности, их размерности и ленточности, а также от числа искомых собственных значений. При вычислении наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов систем высокой размерности с большой шириной ленты весьма эффективен метод итераций в подпространстве (метод одновременных итераций). Использование компактных форм представления матриц жесткости и инертности обеспечивает возможность решения систем уравнений высоких порядков в оперативной памяти компьютера.

Достоинством этого метода является и возможность определить на сравнительно ранней стадии решения обусловленность матриц жесткости и инертности. Ошибки в исходных данных могут привести к тому, что матрица жесткости не будет положительно определенной, что выявляется при факторизации матрицы, до начала проведения итераций.

Основной целью метода итераций в подпространстве является одновременное вычисление p наименьших собственных значений и соответствующих собственных векторов, удовлетворяющих соотношению:

,(1)

где – диагональнаяматрица собственных значений,

(2)

– матрица собственных векторов.

Вычислительная процедура метода одновременных итераций включает в себя следующие этапы.

Выполняется преобразование базиса E_k в E_k+1 для k=1,2,…n по формуле:

,(3)

Определяют проекции матриц жесткости и инертности в новом базисе _k+1:

,(4)

,(5)

для которых на каждом (k+1) – шаге решается вспомогательная задача на собственные значения обобщенным методом Якоби:

.(6)

Улучшенные приближения к собственным векторам находят из соотношения:

. (7)

Полагая, что векторы из X₁не ортогональны ни к одному из искомых собственных векторов, в пределе _л+1и _k+1при k.

Построение матрицы инертности элемента предусматривает использование тех же функций формы, которые применялись при формировании матрицы жесткости, поэтому данные элементы являются согласованными.

В принятой постановке задачи рассматриваются элементы в виде тонких изотропных пластин прямоугольной и треугольной формы и постоянной в пределах данного элемента толщины с узлами, имеющими линейные и угловые перемещения, необходимые для аппроксимации изгибного и мембранного состояний.

Мембранному состоянию соответствуют две степени свободы в срединной плоскости пластины; изгибное состояние описывается поступательным перемещением перпендикулярно плоскости элемента и вращательными перемещениями узла относительно взаимно ортогональных осей, лежащих в плоскости элемента. При переходе от локальных осей, связанных с элементом, к глобальной системе координат каждый узел рассматривается для общности шестимерным, для этого к пяти введенным узловым перемещениям условно добавляется угол поворота узла относительно оси, перпендикулярной плоскости элемента.

Разработанное программное обеспечение позволило исследовать динамическое состояние авиационного контейнера, имеющего тонкостенное исполнение с усилением балочными элементами.

Конечно-элементная модель исследуемого контейнера имеет 12633 узла, образующих сетку из 10369 пластинчатых конечных элементов прямоугольной формы и 4668 пластинчатых элементов треугольной формы; в качестве элементов усиления использованы 1118 балочных элементов. Размерность глобальных матриц жесткости и инертности равна 75798 при ширине ленты 1824. На рис. 2 представлены две низшие формы собственных колебаний контейнера. Для графического представления результатов конечноэлементного анализа статических и динамических состояний пространственных конструкций разработан постпроцессор.

Важным этапом проектирования конструкции турбодетандера является исследование динамических состояний его подвижных элементов.

Окружные скорости рабочих колес реактивных турбодетандеров находятся в пределах 150-400 м/с. При разгоне турбодетандера частота вращения вала увеличивается и при совпадении с частотой собственных колебаний рабочего колеса может произойти явление резонанса, поэтому выявление низших частот и форм собственных колебаний рабочего колеса представляется весьма важным для качественного проектирования конструкции. Предотвращение значительных колебаний и больших прогибов вала при переходе через критическое число оборотов обеспечивают установкой демпфирующего устройства на одной из опор.

₁=9.708191E-03 Гц

₂=1.822866E-02 Гц

Рис. 2. Низшие собственные частоты авиационного контейнера

Используемая методика позволяет проектировать детали механизмов, обладающих наиболее рациональным распределением материала в конструкции и соответственно обладающих наименьшим весом.

Литература

1. Pro/MECHANICA. Design Study Reference. – Waltham: Parametric Technology Corporation, 1997. – 394 p.

Воронежский государственный технический университет

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

УДК 001.891.32

Ю.С. Заворыкина, А.С. Заворыкин, В.А. Медкова