3. Учёт поперечной неоднородности активной среды при расчёте оптических резонаторов

Рассмотрим задачу дифракции скалярной волны на отверстии в бесконечном непрозрачном экране. Будем считать, что в неоднородной активной среде, характеризующейся комплексным показателем преломления (КПП) вида

, (83)

в плоскости z = z' имеется отражающий непрозрачный экран с отверстием.

Применим функцию элементарного источника Гюйгенса в виде

, (84)

где w(R) – некоторая функция, подлежащая определению, а

. (85)

Величины со штрихами и без них, относятся соответственно к плоскости экрана и плоскости наблюдения. Подстановка (84) в уравнение Гельмгольца с учётом (83), даёт:

. (86)

Выписывая явный вид частных производных, из (86) нетрудно получить уравнение для w(R):

. (87)

Если

, (88)

то уравнение (87) можно решить приближённо.

Решение уравнения (87) с учётом неравенства (88), имеет вид:

(89)

Обозначим:

. (90)

Интеграл (90) вычисляется вдоль прямой, соединяющей две точки с координатами (x', y', z') и (x, y, z). Зададим эту прямую в параметрическом виде:

(91)

где компонентами направляющего вектора служат проекции отрезка с концами в точках (x', y', z') и (x, y, z):

. (92)

Тогда

(93)

Из (91) и (92) следует, что параметр t изменяется в интервале 0 ≤ t ≤ 1. Тогда из (90) и (93) получаем:

. (94)

Обозначая

, (95)

для функции w(R) имеем:

. (96)

Пусть отверстие в экране имеет форму круга, а неоднородность КПП обладает цилиндрической симметрией. Будем считать что зависимость КПП от координат имеет вид:

. (97)

Тогда, учитывая, что

,

из (94) можно получить:

(98)

Формально повторяя вывод Зоммерфельда, нетрудно получить дифракционный интеграл для случая поперечно-неоднородной активной среды:

, (99)

где V, U – соответственно АФР поля в плоскости наблюдения и в плоскости экрана; L – расстояние от плоскости экрана до плоскости наблюдения, измеренное по нормали; λ – длина волны излучения; S' − площадь отверстия в экране.

При n ≡ 1, как следует из (95), Q ≡ 1 и выражение (99) переходит в известный дифракционный интеграл, записанный в форме Зоммерфельда.

Проверку выполнения условия (88) проведём вычислением производных из (96):

.

В правой части неравенства производную по R можно заменить производной по r, так как

.

После очевидных преобразований получаем:

. (100)

Из приведённого неравенства следует, что производная от функции распределения КПП по радиальной координате должна быть определена всюду в пределах расчётной области. Это ограничение не позволяет включать в рассмотрение среды с кусочно-ломаной зависимостью КПП от координаты. Однако в большинстве случаев, вследствие большого значения k, слагаемым, содержащим производную КПП, можно пренебречь. Получим:

. (101)

В случае если n` ≡ 1, последнее неравенство нетрудно разрешить относительно n``. В результате получим:

(102)

Вследствие большой величины волнового числа k, условие (102) выполняется для подавляющего большинства сред. На практике, зная зависимость КПП от координат, целесообразно предварительно проверить выполнение неравенства (100) и таким образом убедиться в правомерности применения рассмотренной методики.

Полученное модифицированное выражение дифракционного интеграла для поперечно-неоднородных активных сред позволяет включить в рассмотрение при исследовании лазерных резонаторов влияние активной среды лазера. При этом зависимость усиления активной среды от поперечной пространственной координаты описывается мнимой частью КПП.

Рассмотренный метод учёта неоднородности активной среды выгодно отличается от широко распространённого метода, в котором активная среда полагается заключённой в двух бесконечно тонких слоях, расположенных вплотную к зеркалам резонатора, а влияние активной среды описывается воздействием на поле оператора F:

, (103)

где g₀ – усиление малого сигнала; I₀ – постоянная; u = u(r) – АФР оптического поля на зеркале.

Так как в методе интегральных уравнений комплексная амплитуда поля в данной точке зеркала находится как весовая геометрическая сумма воздействий от элементарных источников Гюйгенса, расположенных на другом зеркале, неявно предполагается выполнение принципа суперпозиции для нелинейного оператора F. Даже если пренебречь нелинейностью, вызванной насыщением активной среды (что возможно в случае, если рассматривается усилитель оптического сигнала с быстрой прокачкой газовой смеси) и если учитывать только неоднородность усиления, вес вклада от отдельного элементарного источника Гюйгенса не будет совпадать с соответствующим весом в случае однородной среды. При этом возможно искажение распределения фаз оптического поля. Таким образом, метод, основанный на применении дифракционного интеграла для поперечно-неоднородных активных сред позволяет более точно оценивать влияние неоднородности активной среды.

Ниже представлены нормированные распределения амплитуд (рис. 31) и фаз (рис. 32) оптического поля с длиной волны 10,6 мкм на расстоянии 9,43 м от экрана с отверстием радиусом 10 мм при n ≡ 1 (сплошные линии) и при

. (104)

В последнем случае АФР находилось при помощи (99) (пунктирные линии) и путём умножения АФР, вычисленного для вакуума, на функцию вида

(105)

(помечено кружками).

Рис. 31

Рис. 32

Видно, что умножение АФР поля, вычисленного в случае вакуума на функцию, описывающую неоднородность усиления, позволяет получить довольно точное амплитудное распределение. Однако этот подход не позволяет учесть изменение распределения фаз, вызванное радиальной неоднородностью усиления активной среды.

При использовании предложенного дифракционного интеграла порядок действий при составлении системы интегральных уравнений остаётся тем же, что и в случае пустых резонаторов. Так, для одного резонатора получим:

(106)

где V, U – АФР поля на зеркалах резонатора.

Для системы из двух резонаторов, связанных через промежуточное зеркало:

(107)

где P – коэффициент пропускания промежуточного зеркала; u₁…u₄ – АФР поля на зеркалах.

Решение систем уравнений (106) или (107) представляется возможным только методом последовательных итераций. В режиме усиления малого сигнала распределение КПП можно считать независящим от интенсивности оптического излучения и находить, например, из распределений полей накачки или концентрации электронов.

При рассмотрении генераторного режима лазера пренебрегать насыщением усиления уже нельзя. В этом случае значение мнимой части КПП следует рассчитывать заново на каждой итерации, используя полученное на предыдущей итерации значение интенсивности индуцированного оптического поля и какую-либо модель активной среды.

Таким образом, при рассмотрении генераторного режима в лазере и численном интегрировании (106) и (107) активная среда полагается состоящей из концентрических трубок, количество которых равно числу узлов интегрирования, а толщина стенки равна шагу интегрирования по поперечной координате. Значение КПП в области стенки каждой из трубок считается постоянным и вычисляется с использованием интенсивности индуцированного оптического излучения в точке, соответствующей узлу интегрирования. Так как интенсивность изменяется при каждом прохождении волны индуцированного излучения через резонатор, тем самым достигается учёт насыщения усиления активной среды.

Для вычисления мнимой части КПП, описывающей усиление активной среды, необходимо знать величину инверсии населённостей, зависящую от многих факторов, в том числе от интенсивности индуцированного излучения, состава рабочей смеси газов, температуры и т. д. В качестве примера будем рассматривать СО₂-лазер.

Один из наиболее адекватных подходов к моделированию активной среды СО₂-лазеров основан на применении квантово-кинетического описания активной среды. Рассмотрим его на примере шеститемпературной модели.

Шесть температур характеризуют собой энергию, запасаемую в трех колебательных модах молекулы СО₂: асимметричной с температурой Т₃ – уровень 00⁰1; деформационной с температурой Т₂ – уровень 01¹0; симметричной с температурой Т₁ – уровень 10⁰0; энергию основного колебательного состояния молекулы N₂ с температурой Т₄; энергию молекулы СО с температурой Т₅; температуру активной смеси Т.

Энергия Е₁, запасенная в единице объема в симметричной валентной моде молекул СО₂, уменьшается за счет процессов V-T релаксации с характерным временем ₁₀ и за счет V-V обмена с деформационной модой, характеризующегося временем ₁₂. Увеличение запаса энергии происходит за счет V-V обмена между тремя модами молекул СО₂ с характерным временем ₃, а также за счет поглощения фотонов при вынужденном излучении и электронного возбуждения.

Плотность энергии Е₂, запасенной в двукратно вырожденной деформационной моде, уменьшается вследствие V-T релаксации с характерным временем ₂₀. Эта энергия увеличивается благодаря электронному возбуждению; V-V обмену с симметричной модой за характерное время ₁₂ и V-V обмену между тремя модами СО₂ за время ₃.

Плотность энергии Е₃ асимметричной моды СО₂ уменьшается за счет V-V процессов с характерным временем ₃ и испускания фотонов, а увеличивается в результате столкновений с молекулами N₂ за характерное время ₄₃.

Плотность энергии Е₄, запасаемой в молекулах N₂, увеличивается за счет электронного возбуждения и теряется за счет накачки асимметричной моды молекул СО₂ (характерное время ₄₃).

На рис. 33 представлена схема процессов, характеризуемая шеститемпературной моделью СО₂ – N₂ – Не – СО (влияние Не учтено в константах «охлаждения» состояний 00⁰1, 10⁰0, 01¹0 молекулы СО₂).

Рис. 33

В процессе генерации часть молекул СО₂ диссоциируют с образованием молекул СО. Если обозначить долю недиссоциированных молекул СО₂ через f, то fE_i будет обозначать внутреннюю энергию молекул двуокиси углерода в единице объема, а (1-f)Е₅ – внутреннюю энергию молекул СО в единице объема. Далее будем считать, что Е_i есть внутренняя энергия молекул двуокиси углерода.

Если часть молекул СО₂ диссоциирует с образованием молекул СО, то электроны приводят к возбуждению первого колебательного уровня молекул СО₂. При этом возбужденные молекулы СО передают энергию в процессе V-V столкновений как молекулам СО₂ так и молекулам N₂ вследствие малой разности энергий между первым возбужденным состоянием N₂ и асимметричной модой CО₂.

Таким образом, в модель можно ввести величину Е₅, представляющую собой энергию единицы объема, запасенную в молекулах СО, доля которых составляет . Её уменьшение вызвано процессами V-V релаксации с временем ₅, за счет V-V обменов с асимметричной модой СО₂ и первым нижним колебательным уровнем N₂ с временами ₅₃ и ₅₄ соответственно; а увеличение обусловлено электронным возбуждением.

Работа лазера в качестве усилителя оптического излучения возможна только при определенном уровне инверсии населенности, когда потери в активной среде становятся меньше энергии, запасаемой в ее объеме. Временная зависимость интенсивности излучения внутри резонатора напрямую определяется этим параметром. Таким образом, для полноценного описания СО₂-лазера модель дополняется также выражениями, описывающими временную эволюцию внутрирезонаторной интенсивности излучения и инверсии населенностей.

В рамках шеститемпературной модели лазерную среду описывают восемью главными зависимыми переменными: Е, Е_1, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅, I_v и N₁₀₀, где Е-энергия поступательно-вращательного движения газа, Е₁, Е₂, и Е₃ – энергии трех колебательных мод молекул СО₂; Е₄ – энергия колебательных мод молекул N₂, Е₅-энергия колебательных мод молекул СО, I_v – интенсивность излучения в лазерном резонаторе. Величина N₁₀₀P(J+1) характеризует число молекул СО₂ в единице объема, находящихся на вращательном уровне (J+1) первого возбужденного уровня симметричной моды.

Кинетическая модель лазера в стационарном режиме (без учёта саморазогрева) включает в себя девять уравнений, приведенных ниже

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

N = N₀₀₁P(J) – (_J / _J+1)N₁₀₀P(J+1), (115)

(116)

Здесь E_i, Дж/см³ – (i=1..5), плотности энергии соответственно симметричной, деформационной, асимметричной мод молекулы СО₂, основной колебательной моды N₂ и колебательной моды молекулы СО; N_e, см^-3, - концентрация электронов; , , , см^-3 , - концентрация молекул СО₂, Не и N₂ в основном состоянии соответственно; Х₁, Х₂, Х₃, Х₄, Х₅, см³/с – скорости электронного возбуждения колебательных энергий Е₁, Е₂, Е₃, Е₄, Е₅; h_i – энергия кванта i –го колебательного уровня (i = 15); N, см^-3 – инверсия населенностей в единице объема; N₀₀₁P(J), см^-3 – населенность верхнего лазерного уровня в единице объема; _с, сек – время жизни фотона в резонаторе; W_с, см²/Дж – обратная плотность индуцированного излучения в центре линии.

Рассмотрим величины, входящие в состав системы, более подробно.

,

(117)

где ₀ – центральная частота рабочего перехода; _сп – время, характеризующее спонтанное излучение для рабочего перехода; Δν – ширина линии лазерного излучения.

Плотности энергии Е_i могут быть определены следующими соотношениями:

(118)

где i=1,3

(119)

(120)

(121)

где k – постоянная Больцмана.

Равновесные энергии при температуре Т для различных колебательных уровней могут быть представлены в виде

, i=1,3

(122)

(123)

(124)

(125)

(126)

Времена релаксации _j0(Т), где j=1 и 2 даются выражениями

(127)

Здесь -значение соответствующего резонансного коэффициента, -число компонент газовой смеси.

(128)

Время релаксации с уровня, характеризуемого плотностью энергии Е₃ на уровни с плотностями энергий Е₁ и Е₂ определяется следующим образом:

(129)

Аналогично для уровня с энергией Е₅

(130)

Скорости релаксации уровня с плотностью энергии Е₅ на уровни с Е₄ и Е₃ могут быть определены как

(131)

Оставшаяся скорость релаксации с временем рассчитывается по формуле

(132)

Из уравнения (116) нетрудно получить выражение для пороговой инверсии населённостей, необходимой для стационарного режима генерации:

,

(133)

где σ_s – сечение лазерного перехода; τ_s – время жизни фотона в резонаторе;

;	(134)
.		(135)

Формула для порогового значения погонного усиления g_0п будет иметь вид:

.

(136)

На рис. 34 показана зависимость порогового погонного усиления от величины потерь при L = 0,265 м:

Рис. 34

Рассмотрим уравнение (116) для внутрирезонаторной интенсивности I_v. В нём первое слагаемое описывает уменьшение интенсивности за счёт потерь в резонаторе, второе слагаемое характеризует увеличение интенсивности за счёт усиления активной среды, третье слагаемое учитывает вклад спонтанного излучения, индуцирующего процесс установления стационарного режима. При применении дифракционного интеграла для поперечно-неоднородной активной среды потери в резонаторе и усиление активной среды будут учтены согласно методу интегральных уравнений, а начальное распределение интенсивности поля (на нулевой итерации) будет характеризовать собой «затравочное» спонтанное излучение. Таким образом, выражение (116) необходимо заменить одним из соотношений (106) или (107). В этом случае усиление активной среды на единицу длины g составит:

, (137)

а мнимая часть КПП n`` будет равна

(138)

Таким образом, алгоритм вычисления АФР индуцированного излучения в резонаторе с учётом неоднородности активной среды в случае рассмотрения одиночного резонатора включает в себя следующие шаги:

1) задаётся начальное распределение поля на левом зеркале (целесообразно использовать АФР, полученное для пустого резонатора и нормированное соответствующим образом);

2) из решения системы уравнений (108) – (115) вычисляется распределение инверсии населённостей и мнимой части КПП в узлах интегрирования (106);

3) с использованием первого из уравнений (106) вычисляется АФР на правом зеркале резонатора;

4) из решения системы уравнений (108) – (115) вычисляется распределение инверсии населённостей и мнимой части КПП в узлах интегрирования (106);

5) с использованием второго из уравнений (106) вычисляется АФР на левом зеркале резонатора;

6) пункты 2) – 5) повторяются до достижения стационарного распределения интенсивности оптического поля.

Так как кроме величины коэффициента усиления в выражение для мнимой части КПП не входят явно другие параметры шеститемпературной квантово-кинетической модели (давление и состав рабочей смеси, температура, концентрация электронов и др.), от которых зависит усиление, целесообразно решение задачи расчёта лазерного резонатора с учётом неоднородности активной среды разделить на два этапа.

Во-первых, необходимо установить количественное влияние параметров, входящих в шеститемпературную модель, на зависимость усиления активной среды от интенсивности излучения. При этом следует использовать какую-либо аналитическую аппроксимацию указанной зависимости, а в процессе вычислений устанавливать взаимосвязь параметров шеститемпературной модели с параметрами аппроксимирующей формулы. Это позволит, в том числе, описать зависимость мнимой части КПП от пространственных координат, вызванную не только неоднородным насыщением активной среды, но и другими факторами, например, неравномерностью распределения концентрации электронов в плазме активной среды.

Вторым этапом является собственно числовой расчёт лазерного резонатора с использованием аппроксимированных данных, полученных на предыдущем этапе.

С целью установления вида зависимости усиления активной среды от интенсивности излучения, проведём решение системы уравнений (108) – (115) при различных значениях температуры и давления рабочей смеси.

Расчеты проводились для смеси CO₂ : N₂ : He = 1 : 1 : 3. Концентрация электронов полагалась фиксированной и равной 10¹⁰ см^–3. Скорости электронного возбуждения колебательных состояний считались постоянными. Диссоциация молекул CO₂ не учитывалась. Использовалась линия Р(20) молекулы CO₂ (длина волны 10,59 мкм), уширение линии считалось однородным при всех использованных значениях давления. Температура смеси полагалась равной Т = 300, 350, 400, 450, 500 К, давление р = = 20, 40, 60, 80, 100 Торр. Решение системы (108) – (115) выполнялось методом Ньютона.

На рис. 10 изображена рассчитанная с помощью (108) – (115) зависимость усиления активной среды от интенсивности излучения при р = 20 Торр, Т = 300 К (кружки). На том же рисунке сплошной линией показан график зависимости, рассчитанный по формуле

, (139)

причём значения параметров g₀ и I_s подгонялись так, чтобы минимизировать среднеквадратическое отклонение зависимости, полученной по формуле (139), от зависимости, полученной решением (108) – (115):

Рис. 35

Из приведённых графиков видно, что зависимость g(I), полученную решением системы (108) – (115), с достаточной точностью можно аппроксимировать выражением (139), при этом относительная погрешность не превышает 5%. Необходимо подчеркнуть, что полученный результат достигнут при указанных выше допущениях. Это означает, что при более строгом моделировании разряда возможно как увеличение, так и уменьшение точности совпадения с зависимостью (139). Выражение (139) использовалось также для аппроксимации искомой зависимости при других значениях давления и температуры рабочей смеси.

На рис. 36 показаны результаты расчётов при фиксированном давлении р = 20 Торр:

Рис. 36

Аналогичный характер зависимости от температуры имеет место и при других значениях давления рабочей смеси.

На рис. 37 приведены графики рассчитанных зависимостей малосигнального усиления активной среды от давления при различных температурах:

Рис. 37

При температуре 300 К малосигнальное усиление активной среды увеличивается с ростом давления, что вызвано увеличением концентрации активных молекул. С увеличением температуры свыше 400 К рост усиления замедляется и сменяется спадом, что объясняется увеличением теплового заселения нижнего и ускорением релаксации верхнего уровня лазерного перехода.

Рассмотрим теперь влияние поперечной неоднородности активной среды на индуцированное внутрирезонаторное излучение.

На рис. 38 показано распределение интенсивности поля на зеркалах пустого резонатора Фабри-Перо:

Рис. 38

Величина относительных потерь за полный обход резонатора α составила 0.31964. Значение критического коэффициента усиления g_0п , вычисленное по формуле равно 0.07267 м^–1.

Усиление g в зависимости от интенсивности индуцированного излучения находилось по формуле (139)

Для верификации модели расчёт АФР поля проводился для двух значений усиления g₀, равных соответственно 0,072 м^–1 и 0,073 м^–1, то есть меньше и больше порогового соответственно. Интенсивность насыщения I_s в обоих случаях составляла 1 Вт/см². В первом случае начальная интенсивность составляла 1 Вт/см², во втором – 0,001 Вт/см².

При g₀ = 0,072 м^–1 установившееся значение потерь составило 3,533∙10^–3, то есть усиления активной среды недостаточно для установления стационарного режима генерации. На рис. 39 показана зависимость интенсивности поля на оси резонатора от номера итерации при g₀ = 0,072 м^–1:

Рис. 39

На рис. 40 показана зависимость интенсивности поля на оси резонатора при g₀ = 0,073 м^–1:

Рис. 40

Таким образом, при g₀ < g_0п усиления активной среды недостаточно для установления стационарного режима генерации.

Установившееся относительное распределение амплитуд и фаз поля в обоих случаях не отличалось от распределения, соответствующего пустому резонатору.

С целью проверки влияния величины начальной интенсивности на результаты, расчёты проводились также для значения для g₀ = 0,3 м^–1 при начальном значении интенсивности I_нач равном 0,001 Вт/см² и 10 Вт/см². На рис. 41 показаны зависимости интенсивности поля на оси резонатора при начальном значении интенсивности I_нач равном 0,001 Вт/см² (сплошная линия) и 10 Вт/см² (пунктир):

Рис. 41

Из графиков следует, что установившееся значение интенсивности внутрирезонаторного излучения не зависит от величины начальной интенсивности.

Установившееся относительное распределение интенсивностей и распределение фаз поля показано на рис. 42. На тех же графиках показаны аналогичные зависимости для пустого резонатора (круги):

Рис. 42

Интенсивность на оси резонатора составляет 2,7 Вт/см². Установившаяся зависимость коэффициента усиления от радиальной координаты показана на рис. 43:

Рис. 43

Таким образом, установившееся значение усиления равно пороговому в точке, соответствующей примерно половине радиуса зеркала.

Для изучения влияния неоднородности распределения малосигнального усиления на пространственную структуру индуцированного излучения были проведены расчёты АФР поля для трёх различных распределений малосигнального усиления по поперечному сечению резонатора. В первом случае усиление полагалось постоянным и равным 0,5 м^–1. Во втором и третьем случаях усиление полагалось квадратично зависящим от радиальной координаты с ветвями парабол направленными соответственно вниз и вверх. Во всех трёх случаях величина усиления, усреднённая по поперечному сечению активной среды, была одинаковой, равной 0,5 м^–1 (рис. 44):

Рис. 44

На рис. 45, рис. 46, рис. 47 приведены распределения интенсивностей и фаз поля при усилениях, соответствующих распределениям 1, 2 и 3 рис. 44 (кружками показаны соответствующие распределения в пустом резонаторе):

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Из приведённых графиков следует, что в случае, если характерные масштабы неоднородности активной среды и индуцированного излучения близки, форма поперечной неоднородности активной среды, заполняющей оптической резонатор, незначительно влияет на относительное распределение интенсивности внутрирезонаторного индуцированного оптического излучения. Более заметно искажается распределение фаз. Из графиков распределения фаз видно, что возмущение распределения фаз соответствует увеличению радиуса кривизны волнового фронта индуцированного излучения, что приводит к изменению угла расходимости выходного излучения.

Интенсивность индуцированного излучения на оси резонатора в случае равномерного распределения составила 3,75 Вт/см², в случае убывающего усиления от оси к краю – 3,54 Вт/см², в случае возрастающего усиления от оси к краю – 4,25 Вт/см².