5. Размещения, перестановки сочетания с повторениями

Пусть имеется множество М, состоящее из n элементов a₁, a₂, …a_n причем каждый элемент содержится в множестве в достаточном количестве экземпляров.

Из элементов множества М строятся упорядоченные подмножества, состоящие из m элементов, причем каждый элемент множества М. может входить в подмножество сколько угодно раз. Требуется определить число всевозможных упорядоченных подмножеств из m элементов, которые можно получить из элементов множества М.

Например, клавиатура пианино состоит из 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз из 6 нот можно составить, пользуясь клавиатурой пианино, если допускается повторение одних и тех же нот в одной фразе?

В качестве первой ноты для музыкальной фразы можно взять любую из 88 нот, то есть для первой ноты мы имеем 88 возможностей. Так как повторения допускаются, то для второй ноты мы снова имеем те же 88 возможностей. Поэтому число всевозможных музыкальных фраз из двух нот равно 88 · 88 = 88². Продолжая рассуждения, найдем, что число различных музыкальных фраз из 6 нот равно

88⁶ =464404086784

Определение 4. Размещениями с повторениями из n элементов по m элементов называются упорядоченные подмножества, состоящие из m элементов множества М , причем элементы подмножества не обязательно должны быть различными.

Число различных возможных размещений с повторениями из n элементов по m элементов обозначается через R .

Теорема 4. Число различных размещений с повторениями из n элементов по m элементов определяется по формуле

(10)

Доказательство. Размещения с повторениями из n элементов по 1 элементу имеет вид a₁ , a₂ , a₃ , …a_n .

Число таких размещений R . Если к каждому из размещений из n элементов до 1 элементу присоединить один из n элементов множества М , то получим всевозможные размещения из n элементов по 2 элемента:

a₁a₁, a₂a₁, a₃a₁, … a_na₁

a₁a₂, a₂a₂, a₃a₂, … a_na₂

a₁a₃, a₂a₃, a₃a₃, … a_na₃

…………………………

a₁a_n, a₂a_n, a₃a_n, … a_na_n.

Из каждого размещения по 1 элементу получено n размещений по 2 элемента. По принципу умножения отсюда следует, что

Точно также из каждого размещения по 2 элемента можно получить n размещений по 3 элемента. Следовательно,

Продолжая эти рассуждения, получим

что и требовалось доказать.

Пример 5.1. одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в любую лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам?

Решение. Так как каждый шарик может занять любое из четырёх положений и всего шариков семь, то общее число способов распределения 7 шариков по 4 лункам, согласно принципу умножения и формуле для вычисления размещений с повторениями равно

Для определения перестановки с повторениями рассмотрим множество, состоящее из n элементов, среди которых есть одинаковые.

Определение 5. Перестановкой с повторениями из n элементов называется любое упорядочение конечного множества, состоящего из n элементов, среди которых имеются совпадающие.

Пусть множество M состоит из различных элементов a₁ , a₂ , …a_k-1 , a_k , причем в множестве М содержится i₁ экземпляров элемента a₁ , i₂- экземпляров элемента a₂ ,... , i_k экземпляров элемента a_k . Общее число элементов множества M равно

i₁ + i₂ + … i_k = n.

Обозначим через N_n (i₁, i₂, … i_k) число всевозможных перестановок с повторениями элементов множества М .

Рассмотрим любую перестановку с повторениями. Предположим, что элементы a₁, число которых равно i₁ , различны. Переставляя между собой элементы a₁ , мы из каждой перестановки с повторениями получим i₁! перестановок.

Следовательно, число перестановок увеличится в i₁! раз. Проделаем эту операцию с другими элементами a₂, … , a_k.В результате получим всевозможные перестановки из n элементов без повторений, при этом

Рп=N_n(i₁, i₂, …, i_k) i₁! i₂! i₃! … I_k!

Отсюда находим, что

то есть

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 5. Число различных перестановок из n элементов, в которых элементы

a₁ ,a₂ , ... , a_k повторяются соответственно i₁ , i₂ ,…, i_k раз, определяется по формуле

(11)

Пример 5.2. У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Пусть a - означает яблоко, b – грушу, c - апельсин. Множество M состоит из двух элементов a , трёх элементов b и четырёх элементов с. Решением задачи

является число перестановок трёх элементов a. , b , c с повторениями

Рассмотрим снова множество М , состоящее из п элементов a₁, a₂,…a_n , причем каждый элемент содержится в множестве М в достаточном количестве экземпляров.

Определение 6. Сочетание с повторениями из n элементов по m элементов называется всякое подмножество множества М , причем элементы подмножества не обязательно должны быть различными.

Как видно из этого определения, сочетания с повторениями являются неупорядоченными подмножествами, то есть различные сочетания различаются только составом входящих в них элементов, расположение элементов в них несущественно. Например, из трех элементов a , b , с можно образовать такие сочетания с повторениями по два элемента: aa , ab , ас , bb , bc , cc . Из тех же трёх элементов можно образовать сочетания с повторениями по три элемента

aaa, aab, aaс , abb , abc, acc, bbb , bbc , bсс , ccc.

Ясно, что из элементов a, b, c можно составить сочетания и по четыре элемента и вообще по любому числу m элементов, так что для сочетаний с повторениями неравенство не является необходимым.

Число различных возможных сочетании с повторениями из n элементов по m элементов обозначается через . Для его нахождения можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 6. Число различных возможных сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов определяется по формуле

(12)

Доказательство. Сочетания являются неупорядоченными множествами. Поэтому, чтобы задать сочетания с повторениями, достаточно указать, сколько раз входит в это сочетание каждый элемент множества М. Например, если множество М состоит из четырёх элементов a , b , c , d, то запись (2, 4, 0, 1) означает сочетание из четырёх элементов по семь элементов, в которое входит два элемента a , четыре элемента b и один элемент d .

В общем случае любое сочетание из n элементов по m элементов можно задать с помощью комбинации целых чисел

(m₁, m₂, … , m_n ),

где m₁+m₂+...+m_n=m.

Эта запись означает, что в данное сочетание входит m₁ элементов a₁ , m₂ элементов a₂ и так далее m_n элементов a_n.

Комбинацию (m₁, m₂, …, m_n ), определяющее сочетание из n элементов по n элементов, можно записать, пользуясь только цифрами 1 и 0 . Это можно сделать следующим образом. Вместо числа m₁, означающего число элементов a₁ в сочетании, напишем m₁ раз число 1 , после этого напишем одно число 0, затем вместо m₂ напишем столько же чисел 1, потом еще число 0 и так далее.

Комбинация ( 1 , 1 , 2 , 3 ) изобразится так (1010110111). Комбинация (2, 1, 2, 2) – как (1101011011). Запись (1011011101) соответствует комбинации ( 1 , 2 , 3 , 1 ).

Если какое-либо из чисел m_i = 0, то есть элемент не входит в данное сочетание, то числа 1 на атом месте писать не нужно, и два или несколько нулей окажутся рядом. Например, комбинация (2, 4, 0, 1) запишется в виде (1101111001) Запись (1111000111) соответствует комбинации (4, 0, 0, 3).

Запись из единиц и нулей, соответствующая сочетанию из n элементов по т элементов, содержит ровно m единиц и (n–1) нулей. Количество единиц равно числу элементов в сочетании, а количество нулей на единицу меньше числа элементов множества M , поскольку нуль используется для разделения элементов множества M.

Таким образом, между сочетаниями с повторениями из n элементов по m элементов и перестановками с повторениями, содержащими m единиц и (n-1) нулей, устанавливается взаимно однозначное соответствие: каждому сочетанию с повторениями из n элементов по m элементов соответствует перестановка с повторениями, содержащая m единиц и (n-1) нулей, и наоборот, каждой такой перестановке соответствует сочетание. Следовательно, число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов равно числу перестановок с повторениями, содержащими m единиц и (n-1) нулей.

что и требовалось доказать.

Если сравнить формулу (10) с формулой (6) для числа сочетаний без повторения, то мы заметим, что

.

Пример 3.3. В почтовом отделении продаются открытки 5 видов. Сколькими способами можно купить 4 открытки? Сколькими способами можно купить 4 открытки, если купленные открытки должны быть разных видов?

В первом случае число способов равно

Во втором случае число способов равно

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти число перестановок, образованных из букв слова комиссия.

2.Сколько различных десятизначных чисел можно получить, используя в их написании цифры 2233344455?

3. Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова перестановка? Сколько из них начинается с буквы и оканчивается буквой а?

4. Сколькими способами можно разложить в один ряд 13 различных карт, если определенные 10 карт должны идти в заранее выбранном порядке?

5. Найти число различных способов, которыми можно выписать в один ряд девять троек и шесть пятерок так, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом.

6. Найти число способов, которыми можно выписать в один ряд девять троек и шесть пятерок так, чтобы никакие две пятерки не стояли рядом.

7. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 123456789, при условии, что в каждой такой перестановке, как все чётные цифры, так и все нечётные цифры будут идти в возрастающем порядке?

8. Найти число всех возможных перестановок букв слова зоология. Сколько среди них таких, в которых три буквы о стоят рядом? Сколько таких, которых в точности две буквы о стоят рядом?

9. В классе 12 девочек и 10 мальчиков. Сколькими способами можно построить их в одну шеренгу, если в ней как все девочки, взятые отдельно, так и все мальчики, взятые без девочек должны стоять по росту?

10. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решив пройти девять кварталов, – из них пять на запад и четыре на север?.

11. Сколько чисел, больших, чем 3000000, можно написать при помощи цифр 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3?

12. Сколькими способами можно расположить в один ряд пять красных мячей, четыре чёрных мяча и пять белых мечей так, чтобы мячи лежащие на краях, были одного цвета?