Введение

Комбинаторная математика занимается в основном задачами о существовании и подсчете различных комбинаций, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – определения, сколькими способами можно получить данное число очков, бросая несколько костей, или сколькими способами можно получить тот или иной набор карт. Размышления над анализом игр явились движущей силой в развитии комбинаторики и развивающейся одновременно с ней теорией вероятностей. Такой подход логично продолжить и для рассмотрения современных деловых игр.

В связи с развитием вычислительной техники резко расширились возможности перебора и повысился интерес к дискретным моделям, что обусловило новый подъем комбинаторной математики. Комбинаторные методы применяются сейчас в теории кодирования, планирования эксперимента, топологии, математической логике, теории игр, кристаллографии, биологии, статистической физике, экономике и т.д.

В нашем случае комбинаторика является основой для изучения теории вероятностей и математической статистики.

1. Несколько примеров из комбинаторики

Среди различных задач, с которыми приходится сталкиваться на практике, встречаются такие, когда нужно ответить на вопрос: каким числом различных способов можно осуществить требуемое? Такие задачи принято называть комбинаторными задачами.

П ример 1.1. В группе из 25 студентов нужно выбрать старосту, профгрупорга и кассира. Сколькими способами можно это осуществить?

Пример 1.2. Из состава группы (25 студентов) избран "треугольник" группы из трех человек. Сколькими способами они могут распределить между собой обязанности старосты, профгрупорга и кассира.

Пример 1.3. Из группы 25 студентов нужно выбрать трех студентов на профсоюзную конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Рассмотрим решение этих задач.

1.1. На роль старосты можно выбрать любого студента. Это можно сделать 25 способами. На роль профгрупорга можно выбрать любого из оставшихся 24 человек, то есть профгрупорга можно выбрать 24 способами. Выбор кассира можно сделать 23 способами. Так как каждый выбор старосты, профгрупорга и кассира образуется из всевозможных комбинаций

( А , В , С ), где А – фамилия старосты, В – фамилия профгрупорга С – фамилия кассира, то общее число способов выбора старосты, профгрупорга и кассира n = 25 24 23=13800.

1.2. Решение задачи 2 можно найти простым перечислением возможных вариантов. Присвоим выбранным студентам номера 1, 2, 3 и составим таблицу

Староста	Профгрупорг	Кассир
1 1 2 2 3 3	2 3 1 3 1 2	3 2 3 1 2 1

Таблица 1.

Следовательно, число возможных способов распределения обязанностей старосты, профгрупорга и кассира между тремя студентами k = 6.

1.3. Чтобы решить задачу 3, используем другой подход к решению задачи 1. Чтобы выбрать старосту, профгрупорга и кассира; выберем сначала из состава группы трёх человек. Пусть это возможно сделать m различными способами. Затем для трёх выбранных человек распределим обязанности старосты, профгрупорга и кассира. Это можно сделать k = 6 способами. Следовательно, число возможных способов выбрать старосту, профгрупорга и кассира n = k m. Отсюда следует

.

В каждом из приведенных примеров рассматривается некоторое множество, состоящее из конечного числа элементов, и некоторые подмножества этого множества. В первом и третьем примерах рассматривается множество студентов данной группы и различные подмножества, состоящие из трёх элементов (трёх студентов).

В первом примере элементы подмножества располагаются в определенном порядке. В третьем примере порядок, в котором располагаются элементы подмножества, безразличен. Во втором примере требуется указать сколькими способами элементы данного подмножества можно расположить в определенном порядке.