3.7. Нечеткие отношения

Нечётким отношением на множестве называется нечеткое подмножество декартова произведения характеризующиеся функциями принадлежности Значение понимается как степень выполнения отношения

Если X конечно, то функция принадлежности представляет собой квадратную матрицу, элемент который означает степень выполнения отношения

Для нечеткого отношения определяется множество уровня:

Матрица множества уровня получается заменой матрицы нечеткого отношения R единицами всех элементов, значения которых не меньше а нулями все остальные элементы.

Для уровневых множеств нечетких отношений справедлива теорема от декомпозиции:

Любое нечеткое отношение R может быть представлено в форме:

Где

Запись означает, что все элементы обычного отношения умножаются на

Пример

Носителем нечеткого отношения R называется обычное отношение такое, что

Обычное отношение, ближайшее к данному нечеткому отношению определяется следующим образом:

На нечетких отношениях вводятся отношения включения и равенства, а также операции дополнения, пересечения и объединения с помощью тех же формул, что и для нечетких множеств.

Кроме того для нечетких отношений А и В, определенных на универсуме Х, вводится операция (максимальной) композиции.

.

Например

А В А В

Свойства нечетких отношений

Нечеткое отношение R называется:

1. Рефлексивным, если

2. Симметричным, если

3. Антисимметричным, если или

4. Несимметрично, если

5. Совершенно антисимметричным, если

6. (максимально) транзитивным, если

Транзитивным замыканием нечетного бинарного отношения R называется отношение . Если то

Виды нечетких отношений

Нечеткие отношения предпорядка – это то, которое обладает свойствами транзитивности и рефлективности.

Нечеткое отношение нестрогого порядка – это то, которое обладает свойствами транзитивности, антисимметричности и рефлективности.

Нечеткое отношение строгого порядка – транзитивное, антисимметричное и антирефлексивное отношение.

Рефлексивное и симметричное отношение называется отношением сходства.

Нечеткое отношение, обладающее свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности называются отношениями подобия (нечетким отношением эквивалентности)

3.8. Понятие отображения

Частным видом отношения является отображение (функциональное соответствие).

Отображение – это закон, по которому каждому элементу x некоторого заданного множества X, однозначно соответствует определенный элемент y, другого заданного множества Y. Такое соответствие записывается в виде y=f(x) или f:xy, при этом говорят, что отображение f действует из X в Y и пишут f:X Y. Элемент y=f(x) называется образом элемента x, а x называется прообразом элемента y.

Отображение числового множества в числовое называется функцией.

Когда множества X и Y не числовые, отображение называется оператором. Отображение не числового множества в числовое называется функционалом. Отображение f:XX называется преобразованием множества X.

Иногда рассматривают отображения f, определённое на некотором подмножестве . В этом случае называется областью определения отображения f. Подмножество Im f={f(x) | xX} множества Y называется областью значений (образом )f.

Сужением (ограничением) отображения f:XY, на подмножество AX, называется отображение f_A(x), заданное равенством f_A(x)=f(x), для всех xA.

Расширением (продолжением, распространением) отображения f:XY на множестве BX (X – является подмножеством B) называется любое отображение f_B:BY, совпадающее с f на множестве X.

Если заданы три множества X,Y,Z и два отображения f:XY и g:YZ, то существует отображение h:XZ, которое определяется равенством h(x)=g(f(x)). Это отображение называется композицией (суперпозицией, произведением) отображений и обозначается gf. Композиция отображений обладает свойством ассоциативности, то есть h(gf)=(hg)f.

Отображение называется тождественным , если f(x)=x, для всех xX. Отображение f:XY называется инъективным, если для любых двух элементов , таких что следует, что . Отображение называется сюръективным, если Imf=Y. Отображение, одновременно являющееся инъективным и сюръективным называется биективным.