4 Булевы функции

4.1. Основные определения и операции над высказываниями

Логика (в переводе с древнегреческого) означает слово, выражающее мысль. В современном понимании логика - это наука о способах мышления. Математическая логика служит для создания алгоритмов логического вывода.

Особенность математической логики состоит в использовании математического языка символов и формул. Это позволяет устранить двусмысленность, свойственную естественным языкам.

Исходным понятием математической логики является «высказывание». Высказывание - это повествовательное предложение, которое истинно или ложно. Оно не может быть истинным и ложным одновременно. Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В,…. Любое высказывание рассматривается как переменная величина, так называемая высказывательная или пропозициональная переменная, принимающая значения 1 (истина) или 0 (ложь).

Высказываниями являются, например, следующие предложения. «3 есть простое число». «Киев – столица Узбекистана». Первое из них истинно, второе – ложно.

Высказывание называется элементарным (простым), если любую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание. В процессе рассуждений из одних высказываний формируются другие более сложные высказывания. Они получаются из исходных высказываний добавлением частицы «НЕ», а также соединением высказываний с помощью связок «И», «ИЛИ», «ЕСЛИ..,ТО» ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» и других. Эти связки соответствуют логическим операциям над пропозициональными переменными.

Далее указывается приоритет (очерёдность выполнения) основных логических операций и даются их определения.

1. Отрицанием высказывания X называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда Х ложно. В разговорной речи высказывание соответствует составлению из высказывания Х нового высказывания «не Х».

2. Конъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание ХY, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция иначе называется логическим умножением, а Х и Y – сомножителями. В разговорной речи конъюнкция соответствует соединительному союзу «и».

3. Дизъюнкцией двух высказываний Х и Y называется высказывание ХY, которое ложно тогда и только тогда, когда Х и Y ложны. Дизъюнкция иначе называется логическим сложением, а Х и Y – слагаемыми. В разговорной речи дизъюнкция соответствует соединительному союзу «или».

4. Импликацией двух высказываний Х и Y называется высказывание Х→Y, которое ложно тогда и только тогда, когда Х – истинно, а Y – ложно. В разговорной речи импликация высказываний соответствует высказыванию вида: «если Х, то Y».

5. Эквиваленцией двух высказываний Х и Y называется высказывание Х↔Y, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний Х и Y совпадают. В разговорной речи эквиваленция двух высказываний соответствует выражению «Х тогда и только тогда, когда Y».

Пропозициональной формулой (ПФ) называется выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью основных (и, возможно, некоторых других) логических связок. Последовательность выполнения операций в формулах задаётся их приоритетом. Для его изменения используются скобки.

ПФ от n переменных можно рассматривать как функцию, которая произвольному набору из n нулей и единиц ставит в соответствие 0 или 1. Такая функция называется двоичной, булевой или переключательной функцией.

Каждой ПФ можно поставить в соответствие таблицу, называемую таблицей истинности, в которой перечислены все возможные значения входящих в нее переменных и значения ПФ на этих наборах.

Например, таблица истинности основных логических операций имеет вид

Таблица 11

X	Y
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1