- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Алгебраические свойства операций над множествами
- •1.4. Нечёткие множества
- •2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Основные правила комбинаторики
- •2.2. Выборки элементов без повторений
- •2.3. Выборки элементов с повторениями
- •2.4. Объединение комбинаторных конфигураций
- •2.5. Бином Ньютона
- •3. Отношения на множествах
- •3.1. Декартово произведение множеств
- •3.2. Булев куб и его свойства
- •3.3. Понятие отношения
- •3.4. Операции над отношениями
- •3.5. Свойства отношений на множестве
- •3.6. Отношения эквивалентности, толерантности и порядка
- •3.7. Нечеткие отношения
- •3.8. Понятие отображения
- •3.9. Алгебраическая операция
- •3.10. Общие сведения об алгебраических системах
- •4 Булевы функции
- •4.1. Основные определения и операции над высказываниями
- •4.2. Типы пф.
- •4.3. Равносильность формул
- •4.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •4.5 Алгоритм приведения пф к нормальным формам
- •4.6 Аналитический способ приведения к сднф
- •4.7. Табличный способ приведения к сднф
- •4.8. Табличный способ приведения к скнф
- •4.9. Логическое следствие
- •4.10. Алгоритм проверки правильности рассуждений
- •4.11. Алгоритм определения всех логических следствий из данных посылок
- •4.12. Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула
- •4.13. Полнота систем булевых функций
- •4.14. Полином Жегалкина
- •4.15. Замкнутость
- •4.16. Теорема Поста
- •4.17. Нечеткая логика
- •5. Многозначные функции
- •5.1. Функции и формулы k-значной логики
- •5.2. Полнота и замкнутость функций k-значной логики
- •5.3. Особенности k – значной логики
- •6.. Основные понятия теории графов.
- •6.1. Задачи теории графов.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Степени вершин графа.
- •6.4. Изоморфизм графов.
- •6.5. Матричные способы задания графов.
- •6.6. Основные операции над графами.
- •6.7. Маршруты в графах
- •6.8. Связность в графах.
- •Связность и матрица смежности графа.
- •6.9. Матрица взаимодостижимости.
- •6.10. Деревья Свободные деревья.
- •Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья.
- •6.11. Эйлеровы графы.
- •6.12 Гамильтоновы графы.
- •6.13. Планарные графы.
- •6.14. Потоки в сетях. Основные определения.
- •Теорема Форда и Фалкерсона.
- •Алгоритм построения максимального потока в сети.
- •7. Конечные автоматы
- •7.1. Понятие конечного автомата Общие сведения о конечных автоматах
- •7.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •7.3. Автоматная функция и её моделирование Понятие ограниченно детерминированной функции
- •Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •7.4. Эксперименты с автоматами
- •8. Рекуррентные уравнения
- •8.1. Определение рекуррентного уравнения/ Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •8.2. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •8.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1.Теория множеств 5
- •2 Элементы комбинаторики 14
- •3 Отношения на множествах 22
- •4. Булевы функции 42
- •5. Многозначные функции 64
- •6. Основные понятия теории графов 70
- •7. Конечные автоматы 106
- •8. Рекуррентные уравнения 120
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
А.Н. Шелковой Н.А. Ююкин
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ
ЭКОНОМИСТОВ
Утверждено Редакционно-издательским советом
университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2014
УДК 519.17
Шелковой А.Н. Дискретная математика для экономистов: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (965 Кб) / А.Н. Шелковой, Н.А. Ююкин. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; MS Word 2007 или более поздняя версия ; 1024x768 ; CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана. – Диск и сопровод. материал помещены в контейнер 12x14 см.
В пособии рассмотрены вопросы теории множеств, комбинаторики, отношений на множествах, булевы функции, многозначная логика, графы, конечные автоматы и рекуррентные уравнения.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика», профиль – электронный бизнес, дисциплине «Дискретная математика».
Табл. 22. Ил. 41. Библиогр.: 10 назв.
Рецензенты: кафедра высшей математики
Воронежского института МВД России (начальник кафедры д-р физ.- мат. наук, проф. В.В. Меньших);
канд. физ.-мат. наук, доц.
С.П. Майорова;
© Шелковой А.Н., Ююкин Н.А., 2014
© Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2014
Введение
Данное пособие может быть использовано в курсе “Дискретная математика” студентами ВГТУ, обучающимися на бакалавра по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика».
Дисциплина “Дискретная математика” обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с Государственным, общеобразовательным стандартом, и при этом содействует повышению уровня образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Дискретная математика является эффективным аппаратом формализации современных инженерных задач, связанных с дискретными объектами. Она используется при моделировании систем управления, исследовании автоматов и логических сетей, в системном анализе, автоматизированном управлении производством, при разработке вычислительных и информационных сетей и т.п.
В учебном пособии излагаются основы, базовые методы и алгоритмы теории. В нём нашли отражение основные понятия теории множеств; простейшие комбинаторные комбинации и их объединения; отношения, отображения и алгебраические операции на множествах; формулы алгебры высказываний; представление булевых функций формулами; критерии полноты систем булевых функций; особенности -значной логики; неориентированные, ориентированные, эйлеровы, гамильтоновы и планарные графы; потоки в сетях; конечные автоматы; автоматные функции, эксперименты с автоматами; рекуррентные уравнения и методы их решения. Здесь также отрабатываются практические навыки по использованию вышеприведенных понятий.
Целью курса является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области моделирования процессов и явлений в естествознании и технике, с возможностью употребления математических символов для выражения количественных и качественных отношений объектов, необходимых для выполнения служебной деятельности в области бизнес-информатики на высоком профессиональном уровне.
Достижению данной цели служат следующие задачи:
изучить максимально широкий круг понятий теории;
получить навыки решения учебных и практических задач;
выработать навыки постановки и решения информационных задач, моделирования и анализа информации с помощью методов теории множеств, отношений, комбинаторики, булевых функций, графов и конечных автоматов.
Дисциплина “Дискретная математика” относится к числу прикладных математических дисциплин. Она базируется на знаниях, приобретенных студентами при изучении дисциплин “Алгебра” и “Начала информатики”. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины “Дискретная математика” используются при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин.
1. Теория множеств
1.1. Основные понятия
В математике понятие множества принадлежит к числу первичных, то есть неопределяемых через более простые. Это понятие лишь проясняется, то есть даётся описание его основных свойств.
Множеством называется любая совокупность определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимая, как единое целое. Эти объекты называются элементами множества. Множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, а их элементы – малыми. Запись xX означает, что элемент x принадлежит множеству X, в противном случае пишут xX.
В этом “определении” совокупность предметов рассматривается, как один общий объект и при этом предметы как бы собираются в один мешок, а дальше работают с этим мешком, как с единым целым, не задумываясь о его содержании. Такой подход известен в биологии, где растения и животные, классифицируются по видам, классам, отрядам и т. д. При этом внимание переносится с отдельных представителей на общие свойства группы, как совокупности. В языке это отражается в словах “компания”, “стая”, “стадо” и т.д.
В “определении” множества нет никаких ограничений на природу элементов. Это может быть множество студентов первого курса, множество пятен на солнце, множество зелёных яблок, множество звёзд на небе и так далее. Заметим, что в качестве элементов множеств могут быть также множества. Например: с одной стороны, группа студентов – это множество, состоящее из людей, а с другой стороны, эта группа является элементом множества всех групп в институте.
В математике часто используют числовые множества, элементами которого являются числа. Некоторые из этих множеств часто используются математиками и имеют стандартные названия и обозначения. К ним относятся множества N – натуральных, Z – целых, Q – рациональных, I – иррациональных, R – действительных чисел.
Геометрически множество действительных чисел изображается точками числовой оси, то есть прямой на которой выбрано: 1) начало отсчёта, 2) положительное направление и 3) единица масштаба.
Между множеством действительных чисел и точками числовой оси существует взаимно однозначное соответствие.
Множества точек X числовой оси называются:
a ≤ x ≤ b – отрезком,
a < x < b – интервалом,
a < x ≤ b, a ≤ x < b – полуинтервалом,
Все указанные множества называются промежутками.
Всякий интервал, содержащий точку a, называется окрестностью точки a.
Если множество содержит конечное число элементов, то оно называется конечным, а в противном случае – бесконечным.
Мощностью конечного множества называется число его элементов. Мощность множества X обозначается символом |X|.
Конечное множество обычно задаётся перечислением его элементов с заключением их в фигурные скобки, то есть
X= {x1,x2,,…,xn}.
Здесь порядок, в котором записываются элементы множества, значения не имеет.
Перечисление элементов является громоздким для описания больших множеств и не применимо для бесконечных множеств. Такие множества задаются с помощью характеристических свойств. Пусть P(x)- предикат, т. е. некоторое предложение, зависящее от x. Оно может быть истинным или ложным в зависимости от x. Тогда множество задаётся в виде:
X={x|P(x)}.
Эта запись означает, что xX тогда и только тогда, когда P(x) истинное утверждение.
Например: A= {1,2}={xN | x<3}.
Способ задания множеств с помощью характеристических свойств таит в себе некоторые опасности, которые могут привести к противоречиям. Например, парадокс Рассела заключается в том, что рассматривается множество всех множеств, которые не являются своими собственными подмножествами. То есть, К={М|ММ}. Является ли множество К своим элементом? С одной стороны, если КК, то должно выполняться свойство, задающее множество К, т.е. КК, Получили противоречие. С другой стороны, если КК, то исходя из свойства, задающего К, приходим к тому, что КК. А это также противоречит предположению. Таким образом, любое характеристическое свойство, должно всегда приводить к осмысленному заданию множества.