Лекция №23 Алгоритмизация оптимизационных расчетов

Теоретические вопросы:

23.1. Задачи и модели оптимального проектирования

23.2. Учет ограничений в задачах случайного поиска

23.3. Алгоритмы структурной оптимизации

23.1. Задачи и модели оптимального проектирования

В большинстве задач оптимального проектирования свойства оптимизируемого технического объекта отражают при помощи математической модели макроуровня. Но в ряде случаев связь между параметрами оптимизации не удается адекватным образом выразить при помощи таких моделей и приходится привлекать математические модели микроуровня. В случае параметрического синтеза проектируемой системы, алгоритм решения задачи оптимизации, основанной на модели микроуровня, имеет параметрический характер.

C[N+1] = C[N] + C[N+1] (23.1)

Где приращение C[N+1] вектора параметров C[N] определяется алгоритмом поиска, использующим приращение:

Q[N] = Q[N] - Q[N-1] (23.2)

Для решения таких задач используются следующие алгоритмы:

- алгоритм случайного спуска;

- случайный поиск с возвратом;

- релаксационный алгоритм случайного спуска;

- случайный поиск по наилучшей пробе;

- адаптивные параметрические алгоритмы случайного спуска.

Алгоритм случайного спуска

Этот алгоритм построен с помощью только двух операторов:

• оператора случайного шага ( ) и

• оператора повторения предыдущего шага (+),

Рекуррентная форма записи этого алгоритма имеет вид:

(23.3)

где a - величина шага ( )

- единичный случайный вектор распределенный по всем направлениям пространства оптимизированных параметров {C}

Алгоритм имеет очень простую геометрическую интерпретацию. Это по сути дела, спуск шагами а в выбранном направлении . Как видно это стохастический аналог известного алгоритма наискорейшего спуска, в котором спуск производится в антиградиентом направлении. Преимущество алгоритма случайного спуска заключается в том, что здесь нет затрат на определение градиентного направления. Алгоритм случайного спуска опирается на следующие очевидное предположение относительно объекта оптимизации: вероятность удачи ( Q < 0) в ранее удачном направлении больше, чем в случайном, т.е. целесообразно повторить удачные шаги, а при неудаче ( Q 0) делать случайный шаг, т.е. обращаться к оператору . Такая ситуация обычно имеет место вдали от экстремума С_оп, что и определяет рекомендуемую область применения для алгоритма случайного спуска.

Случайный поиск с возвратом

Этот метод поиска моделирует метод проб и ошибок. Алгоритм этого метода построен из двух операторов: оператора случайного шага ( ) и оператора возврата (-). Его работоспособность обеспечивается за счет того, что используется только удачные случайные шаги, а неудачные устраняются (точнее, исправляются) с помощью оператора возврата (-). Рекуррентная формула алгоритма имеет вид:

C[N+1]= (23.4)

Рассмотрим область целесообразного использования этого алгоритма. Анализ показывает, что его следует применять в ситуациях со значительной нелинейностью функционала Q(C), когда целесообразно повторить удачные шаги, так как вероятность повторного успеха в этом случае мала. Такой бывают ситуация в районе экстремума С_оп или релаксационного алгоритма случайного спуска на дне “оврага” минимизируемой функции. Именно в таких случаях целесообразно применение этого алгоритма.