Лекция №4 Подобие физических явлений

Теоретические вопросы:

4.1. Расчетные схемы технологического оборудования

4.2. Подобие физических явлений

4.3. Теоретические основы моделирования

4.1. Расчетные схемы технологического оборудования

Для дальнейшего обсуждения и обоснования подходов к решению проблем проектирования средствами математического моделирования технических устройств и процессов, происходящих в них, представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему, показанную на рис. 1.

Данная схема определяет последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента. Исходной позицией служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел. На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого) ТО к его расчетной схеме (РС). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в РС, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в РС те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным.

Иногда вместо РС используют термин содержательная модель ТО, а в некоторых случаях – концептуальная модель.

Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании РС. Это описание выполняется в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими РС ТО, и называют математической моделью.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра РС. Количественные оценки могут дать основания для упрощения модели путем исключения из рассмотрения некоторых параметров, соотношений или их отдельных составляющих, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторами учтено в РС. Итогом анализа на рассматриваемом этапе является обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу.

Рис. 1. Основные этапы математического моделирования

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО.

4.2. Подобие физических явлений

Подобие есть определенное отношение между значениями показателей свойств различных объектов, наблюдаемое и измеряемое исследователем в процессе познания. Под подобием понимается такое взаимно однозначное соответствие (отношение) между свойствами объектов, при котором существует функция или правило приведения значений показателей данных свойств одного объекта к значениям тех же показателей другого объекта. Подобие физических явлений и процессов является логическим обобщением понятия геометрического подобия на более сложные объекты, поэтому естественно начать изучение механического подобия с этого простейшего случая:

Два геометрических объекта подобны, если один из них может быть размещен внутри другого таким образом, чтобы в результате равномерной деформации они полностью совпали бы.

Объекты, удовлетворяющие данному определению, не только геометрически подобны, но также сходственно расположены. Естественным обобщением понятия геометрического подобия на сложные процессы, происходящие в природе, является физическое и, в частности, механическое подобие явлений:

Два физических явления подобны, если по численным значениям характеристик одного явления можно получить значения сходственных характеристик другого простым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц измерения к другой.

Необходимым и достаточным признаком физического подобия двух явлений является равенство численных значений независимых безразмерных комбинаций для рассматриваемых систем. Условия постоянства независимых безразмерных комбинаций двух подобных систем называются критериями подобия. В зависимости от полноты учета параметров различают:

1. абсолютное (теоретическое) подобие, которое предполагает пропорциональное соответствие значений всех параметров данных объектов,

2. практическое подобие - определенное функциональное взаимно однозначное соответствие параметров и показателей определенного подмножества свойств, существенных для данного исследования;

3. практическое полное подобие - соответствие показателей и параметров выделенных свойств во времени и пространстве;

4. практически не полное подобие - соответствие параметров и выделенных свойств показателей только во времени, или только в пространстве;

5. практическое приближенное подобие - соответствие выделенных параметров и показателей с определенными допущениями и приближениями.

По адекватности природы объектов различают:

1. физическое подобие, предполагающее адекватность физической природы объектов (частными случаями физического подобия являются механическое, электрическое и химическое подобия объектов);

2. математическое подобие, предполагающее адекватность формального описания свойств объектов (частными случаями математического подобия являются статистическое, алгоритмическое, структурное и графическое подобие показателей свойств объектов).

По мере развития науки о моделировании, подобие приобретает все более широкое содержание. Возникли особые виды подобия:

1. квазиподобие, основанное на использовании переменных масштабных коэффициентов;

2. эквивалентное подобие, основанное на сравнении эквивалентных в том или ином смысле описаний, например на взаимно однозначном соответствии функций на некотором интервале;

3. алгоритмическое подобие, основанное на сопоставлении выполняемых алгоритмов;

4. кибернетическое подобие, основанное на подобии функций управления, реализуемых различными объектами.

Но, несмотря на различие физических процессов, протекающих в типовых элементах разнообразных технических объектов, большинство этих элементов удается объединить в три группы, каждую из которых удобно охарактеризовать на примере так называемых пассивных электрических двухполюсников: резистора, конденсатора без потерь заряда и индуктивной катушки без сопротивления. Резистор в этом случае является характерным представителем типового элемента, обладающего свойством оказывать сопротивление переносу некоторой физической субстанции. Это свойство пассивных электрических двухполюсников можно вывести из сопоставления процесса изменения напряжения u_c в контуре электрической цепи, состоящей из активного сопротивления R, емкости C, индуктивности L, источника напряжения E и выключателя K, которое описывается такими же дифференциальными уравнениями, как и процесс колебания груза, подвешенного на пружине, под воздействием силы тяжести и некоторого импульса. Однако, параметры уравнений, описывающих эти два процесса, будут иметь различную размерность. Но коэффициенты подобия безразмерны и будут иметь одинаковые численные значения. Это математическое подобие позволяет изучать механические колебания на электрических моделях и наоборот. Таким образом, говоря о математическом подобии двух объектов, мы всегда имеем в виду подобие, вернее тождественность, математических описаний однородных свойств данных объектов. Аналогию между математическими моделями типовых элементов механических систем и электрических двухполюсников называют электромеханической. Она нашла широкое применение при построении математических моделей сложных механических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих между собой элементов.

4.3. Теоретические основы моделирования

Очень важной при проектировании кузнечно-штамповочных машин оказывается задача определения действительных напряжений и деформаций в элементах машин, от правильного решения которой зависит прочность, надежность, долговечность и весовое совершенство конструкций. Теоретическую основу моделирования механических состояний и процессов, протекающих в системах кузнечно-штамповочных машин, составляют методы подобия и размерностей.

Практическая реализация моделирования осуществляется путем лабораторных испытаний уменьшенных (или, как исключение, увеличенных) моделей элементов машин и конструкций. При этом одним из основных вопросов при разработке механически подобных моделей является выбор масштаба моделирования. Масштабом моделирования (коэффициентом подобия) называются отношение параметров двух физических объектов, один из которых представляет собой модель, а другой – натуру. В том случае, когда физическое явление изучено настолько, то представляется возможным дать его математическую формулировку, можно произвести масштабные преобразования имеющихся уравнений (с граничными и начальными условиями) и найти соответствующие критерии подобия. Из этого становится очевидным, что метод анализа уравнений, следовательно, предполагает знание значительного объема информации, относящейся к изучаемому объекту. Взаимосвязь между пространственными и временными изменениями физических переменных изучаемого явления устанавливают дифференциальные уравнения механики элементов конструкций. Эти уравнения описывают в пределах элементарного объема все без исключения явления данного класса, независимо от геометрической конфигурации объекта и характера его взаимодействия с окружающей средой. Для того чтобы выделить из целого класса единичное явление необходимо присоединить к дифференциальным уравнениям определенные условия, которые позволили бы рассматривать конкретный случай поведения объекта. Эти условия определяются:

1. распределением в пространстве существенных для процесса параметров системы для начального момента времени;

2. характером взаимодействия системы с окружающими объектами и внешней средой для каждого момента времени.

Условия 1 и 2 представляют собой соответственно начальные и граничные (или краевые) условия. Система дифференциальных уравнений вместе с начальными и граничными условиями дает полную математическую формулировку поставленной задачи, как для натурного объекта, так и для его модели. Если же дифференциальные уравнения совместно с начальными и граничными условиями приведены к безразмерному виду, задание численных значений безразмерных начальных и краевых условий совместно с определяющими критериями подобия выделяют из всего класса механических состояний или процессов уже не единичное явление, а группу подобных явлений

Вопросы для самоподготовки:

1. Как используются расчетные схемы при математическом моделировании технологического оборудования?

2. Как представляются свойства объектов физической природы в математических моделях?

3. Что необходимо выполнить для начала моделирования?