Лекция №19 Модернизация кузнечно-штамповочных машин на основе методов математического моделирования

Теоретические вопросы:

19.1. Методы анализа полученных на основе математического моделирования характеристик объекта проектирования

19.2. Основные особенности новой технологии научных исследований

19.3. Таблицы испытаний

19.1. Методы анализа полученных на основе математического моделирования характеристик объекта проектирования

Из сложившихся в практике проектирования и исследования традиций многие основополагающие расчетные методики основываются на формулах, полученных эмпирическими методами на основе результатов тех или иных экспериментов. На сегодняшнем уровне развития науки описываются наблюдаемые явления, проводятся опыты, собираются и классифицируются экспериментальные данные. Для теоретического уровня характерно введение новых абстракций и идеализаций, понятий, формулировка основных законов, образующих ядро теории. При этом достигается целостный взгляд на исследуемый объект, дается единое истолкование всей совокупности экспериментальных данных.Как мы убедились выше, область кузнечно-прессового машиностроения охватывает различные науки, которые в свою очередь имеют разный уровень математизации.

Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике, составляющей теоретическую основу проектирования машин, базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро- аэродинамика и т.д. В рассматриваемой области исследование математических моделей подразумевает, прежде всего, качественное изучение математических моделей и получение точного или приближенного решения.

Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения. Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным ее качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в громадном большинстве случаев проводиться качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных, по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Так, например, особенности модели потенциального течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми подобластями течения в плане качественного исследования передаются уравнением Трикоми, которое в математической физике относится к классу уравнений смешанного типа.

Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи. При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Неустойчивость (неограниченный рост решения при малых возмущениях) наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения. Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, неединственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного искомого решения и т.д. Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов. В этой связи среди классических примеров аналитических методов отметим методы разделения переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики.

Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Теория возмущений базируется на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам, несмотря на их ограниченность, уделяется при рассмотрении сингулярно возмущенных задач. Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями.

Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.

Полный факторный эксперимент

Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы на компьютере численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет. Одним из таких способов является моделирование и проведение полного факторного эксперимента (ПФЭ). ПФЭ - называется эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней варьируемых факторов, т.е. если в процессе эксперимента изменяются n-факторов не менее чем на двух уровнях, то общее количество опытов (расчетов) составит N=n². ПФЭ позволяет определить как изменяются значения факторов в ходе эксперимента и какие ограничения на них накладываются. В связи с этим на практике сложился следующий порядок проведения ПФЭ:

1) исследование физической природы объекта проектирования и самого фактора;

2) определение технических возможностей аппаратуры и оборудования, которые используются в производстве;

3) технико-экономический этап, обусловленный наличием или отсутствием тех или иных компонентов, материалов, их стоимостью, качеством и т.д.

При проведении ПФЭ применяется варьирование факторами на двух уровнях, т.е. для каждого фактора, участвующего в эксперименте определяется свой диапазон варьирования, который задается уровнем значений (значением функции). После того, как выбраны значения варьируемых факторов производят выбор крайних и средних значений диапазона варьирования. В качестве основного уровня в некотором множестве факторов выбирают X_io. Значение фактора на крае диапазона, на котором он принимает наибольшее значение, назначается верхний уровень - X_iв. Значение фактора на другом крае диапазона изменения фактора принимают некоторый нижний уровень - X_in. Далее определяют величина I_i, численно равную модулю разности значений факторов:

, (19.1)

и которую называют интервалом варьирования.

Для удобства использования и реализации на ЭВМ осуществляют переход к безразмерным уровням фактора:

, (19.2)

(19.3)

Наиболее сложной задачей здесь остается выбор интервала варьирования. Если интервал слишком мал и информации об объеме варьирования недостаточно, то может оказаться, что варьирование фактора не приведет к существенным изменениям параметров оптимизации. При слишком широком интервале варьирования существует опасность проскочить оптимальное значение, т.е. при выборе фактора варьирования многое зависит от опыта конструктора, его знаний и интуиции.

Кроме этого для проведения ПФЭ составляют матрицу планирования эксперимента (МПЭ), в которой содержится план эксперимента и в которой варьируются n-ое число факторов и осуществляется оценка их величин. Так же в план эксперимента включается фиктивная переменная x₀ для определения b₀ - свободного члена регрессии.

Поскольку изменение выходных переменных носит случайный характер, то эксперимент проводится с m параллельными опытами. Первую колонку МПЭ оставляют для обозначения № опыта. Каждый опыт при этом характеризуется сочетанием уровней и факторов.

Такая схема эксперимента реализуется на основе алгоритма, который позволяет получить линейную

(19.4)

неполную квадратичную

(19.5)

С целью уменьшения влияния случайных факторов необходимо проводить не менее трех серий опытов.

Дробный факторный эксперимент

В тех же случаях, когда количество факторов в функции очень велико, т.е. уравнение регрессии имеет очень большой порядок и размерность, т.е. количество опытов по модели ПФЭ тоже очень велико:

N=2^p, (19.6)

то тогда применяется дробный факторный эксперимент (ДФЭ), в котором для определения коэффициентов уравнения регрессии требуется гораздо меньше опытов. Количество опытов при этом сокращается в 2^m раза.

При m = 1 используется усеченная в 2 раза матрица планирования эксперимента.

При m = 3 используется 1/8 МПЭ и т.д.

19.2. Основные особенности новой технологии научных исследований

Характеризуя вычислительный эксперимент в целом, чрезвычайно важно отметить его универсальность, которая позволяет легко переносить эту технологию на исследование других объектов. Это обстоятельство характерно вообще для математического моделирования и порождено тем, что многие явления и процессы имеют одни и те же математические модели.

Отмеченная многоцелевая направленность и методологическая универсальность вычислительного эксперимента позволяет на основе накопленного опыта математического моделирования, банка вычислительных алгоритмов и программного обеспечения быстро и эффективно решать новые задачи. Второй особенностью вычислительного эксперимента, как технологии научных исследований, является его междисциплинарный характер. Мы постоянно подчеркиваем это обстоятельство, говоря о том, что прикладной математик объединил теоретика и экспериментатора для более быстрого достижения общей цели.

Вычислительный эксперимент может рассматриваться как удобная форма кооперации умственного труда, повышения его производительности. В едином цикле вычислительного эксперимента работает и теоретик, и экспериментатор, и прикладной математик, и программист. Можно отметить следующие отличительные особенности и преимущества вычислительного эксперимента перед натурным экспериментом. Во-первых, вычислительный эксперимент проводится даже тогда, когда натурный эксперимент невозможен. Такая ситуация имеет место с крупномасштабными экологическими экспериментами.

Отметим в этой связи моделирование глобальных климатических изменений при использовании атомного оружия. Другой пример - исследование процессов при термоядерных параметрах (кроме взрыва атомной бомбы пока нет других возможностей достичь их).

Во-вторых, при использовании вычислительного эксперимента резко снижается стоимость разработок и экономится время. Это обеспечивается многовариантностью выполняемых расчетов, простотой модификации математических моделей для имитации тех или иных реальных условий.

В качестве иллюстрации отметим то, что расчеты на компьютерах в большой степени заменили эксперименты в аэродинамических трубах при создании космического корабля многоразового использования «Шатл».

Создание новых изделий и технологий с необходимостью связано с тяжелой, дорогостоящей и длительной доводкой. Вычислительные средства позволяют в значительной степени сэкономить время и деньги именно на этой стадии. Данные экспериментальных исследований используются для калибровки математических моделей, контроля точности приближенного решения задачи.

В традициях экспериментального исследования мы воздействуем на математическую модель и обрабатываем результаты (вот почему мы говорим об эксперименте, хотя и вычислительном). И лишь изредка мы контролируем точность своего "прибора", сравнивая его с эталоном. В традициях теоретического исследования в вычислительном эксперименте мы имеем дело с математической моделью, а не с самим объектом.

Эти общие черты мы рассматриваем как дополнительные аргументы в пользу интерпретации вычислительного эксперимента в широком (методологическом) смысле как интегрирующей технологии научных исследований.

Вычислительный эксперимент необходимо рассматривать как новую технологию научных исследований в перспективе, как тенденцию, как логику развития организации научных исследований. В настоящее время он, зачастую, реализуется в узком смысле по цепочке "заказчик - прикладной математик". Более тесная увязка теоретических и экспериментальных исследований в единой технологии научных исследований является ярко выраженной тенденцией нашего времени. И примечательно, что основным связующим звеном этой методологии является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

19.3. Таблицы испытаний

Как правило, не существует машины или конструкции, оптимальной по всем критериям одновременно, поэтому результаты анализа таблиц испытаний используют для обоснования выбора компромиссного (рационального) решения. В ходе проектирования после выделения ряда критериев строят таблицы испытаний, в которых критерии качества располагают в порядке убывания, т.е. первой стоит лучшая модель по данному критерию.

Так как каждой модели соответствует определенный набор параметров, то из таблицы испытаний наглядно видно, что нужно сделать, чтобы получить наилучшую машину по тому или иному критерию качества.

Составление множества таблиц испытаний для того или иного варианта конструкции позволяет решить важные задачи механики машин: параметрического и динамического синтеза по конструктивно-техническим, производственно-технологическим, экономическим и другим критериям качества, акустики машин с ограниченной мощностью источника энергии, оптимизации технологических режимов работы вибрационных машин, исследованы экологические аспекты проектирования машин качественно нового уровня. В этом методе проектируемая система зависит от r варьируемых параметров ₁, ..., _r - жесткостных, инерционных и т.п., которые являются координатами точки  = (₁, ..., _r) в r-мерном пространстве параметров.

Обычно ее координаты входят в дифференциальные или конечные уравнения, описывающие функционирование системы, в частности динамику (кинематику) механизмов, машин и конструкций. В общем случае при этом имеется два вида ограничений: параметрические и функциональные. Исходя из сложившейся практики исследование пространства параметров может состоять из трех этапов:

1. составление таблицы испытаний. ЭВМ осуществляет выбор N пробных точек ₁, ..., _N равномерно расположенных в подмножестве G. В каждой из точек _i вычисляются все локальные критерии, по каждому из которых в порядке возрастания составляется таблица испытаний;

2. выбор критериальных ограничений. Этот этап предполагает вмешательство конструктора (или заказчика). Рассматривая поочередно каждую из таблиц конструктор должен назначить соответствующие ограничения;

3. проверка разрешимости задачи. ЭВМ фиксирует какой-либо из критериев и рассматривает соответствующую ему таблицу. Путем перебора имеющихся значений при всех значениях рассматриваемого фактора можно убедиться, что существует хотя бы одна такая, для которой справедливы одновременно все неравенства, составляющие параметрические ограничения.

Рассматриваемый метод выполняется на ЭВМ и позволяет выявить следующие недостатки или достоинства спроектированной конструкции:

- учесть столько критериев качества, сколько необходимо для полного исследования функционирования машины;

- определить допустимое множество решений;

- обнаружить несущественные критерии, значения которых мало меняются;

- выявить зависимые или, наоборот, противоречивые критерии;

- определить влияние параметрических ограничений на интегральный критерий;

- выделить несущественные по отношению к какому-либо критерию параметры;

- сформировать интегральные критерии и определить на допустимом множестве решений оптимальные параметры проектируемой машины.

Вопросы для самоподготовки:

1. С помощью чего можно выполнить анализ полученных на основе математического моделирования характеристик объекта проектирования?

2. Охарактеризуйте основные особенности новой технологии научных исследований?

3. Для чего применяются таблицы испытаний?