Релаксационный алгоритм случайного спуска

Введение возврата в алгоритм случайного спуска обеспечивает ему релаксационные свойства, т.е. не увеличивает минимизируемый функционал. Рекуррентная формула графа имеет вид:

= (23.5)EMBED Equation.3

Здесь - знак конъюнкции, требующий одновременности выполнения событий, указанных в скобках.

Случайный поиск по наилучшей пробе

Алгоритм имеет вид:

(23.6)

где _оп - случайный вектор, минимизирующий функционал в районе точки С[N]:

Q(C[N] + g _оп) = min Q(C[N] + g _j), (23.7)

^{i = 1,.,.,m}

_j - случайные независимые единичные векторы, с помощью которых обеспечивается режим случайных проб вокруг точки C[N].

Если величина g мала и функционал в районе С[N] достаточно гладкий, то можно повысить эффективность алгоритма следующим образом:

, (23.8)

где

(23.9)

и

(23.10)

В этом случае шаг делается по наилучшей пробе _, если модуль приращения функционала при этом больше модуля его приращения при наихудшей пробе ₊, и по наихудшей пробе ₊ в обратном случае.

Адаптивные параметрические алгоритмы случайного поиска

Многочисленные ситуации, складывающиеся в процессе решения задачи оптимизации типа “холм”, “яма”, “плоскогорье”, “хребет”, “овраг” и т. д. Заставляют искать средства такой перестройки алгоритма поиска, чтобы эти ситуации преодолевались бы с минимальными затратами. Такого рода перестройка алгоритма, реализуемая формально, является адаптацией этого алгоритма. Таким образом, задача адаптации процесса поиска возникает всегда, когда алгоритм необходимо изменять в процессе поиска, чтобы поддержать его эффективность на необходимом уровне.

Проблема адаптации возникает всегда при оптимизации сложных объектов, когда нельзя заранее указать на ситуацию, в которую попадает алгоритм поиска. Такого рода неопределенность типична для задач проектирования систем автоматического управления.

Параметрическая адаптация алгоритма случайного поиска опирается на то, что параметрами алгоритма случайного поиска являются величина рабочего шага a и параметра плотности распределения p( ) случайного шага .

Заметим, что случайный поиск отличается от любого детерминированного именно наличием такого распределения, изменение которого позволяет адаптировать случайный поиск. Этой “рукоятки” управления процессом поиска не имеют регулярные алгоритмы, что выгодно отличает случайный поиск. Рассмотрим адаптацию по каждому на указанных факторов отдельно.

23.2. Учет ограничений в задачах случайного поиска

Проблема многопараметрической оптимизации в задачах оптимального проектирования всегда имеет условный характер, т. е. Связана с обязательным выполнением ограничений S(15.1.2). Случайный поиск как метод решения условных задач (15.1.1) отличается рядом преимуществ по сравнению с детерминированными методами. У случайного поиска имеются возможности, связанные со случайным характером поиска, которых в принципе не может иметь не один детерминированный метод решения задачи условной оптимизации.

Рассмотрим различные виды ограничений. Они могут иметь троякий характер. К ограничениям типа неравенств и равенств (15.1.2)

S_H: h_i(C) 0, i= ; S_G: g_j(C)=0, j= , (23.11)

добавим ограничения, связанные с дискретностью ряда функций оптимизирующих параметров

S_D:f_z(C) , z= (23.12)

где f_z(^.) - заданные функции, а - заданное значение, которое может принимать 2-я функция (r= ). В частном случае при f_z(C)=c_z получаем

S_D:Cz (23.13)

где - значение, которые может принимать z-я переменная (например, целочисленные значения).

Область поиска S, вообще говоря, может быть образована путем различных комбинаций пересечения областей S_H, S_G, S_D. Разумными комбинациями в общем случае являются лишь две. Первая: S=S_H S_G как известно, связана с непрерывными задачами математического программирования, а вторая: S=S_H S_D - с задачами дискретного программирования.

Рассмотрим специфику процессов случайного поиска при учете ограничений различного рода.