![](/user_photo/_userpic.png)
- •Введение
- •1. Сведения из теории вероятностей
- •Значение статистических методов исследования
- •1.2. Экспериментальные основы теории вероятностей
- •1.3. Вероятность события. Свойства вероятности событий
- •1.4 Соединения или комбинации
- •1.4.1. Размещения и перестановки
- •1.4.2. Соединения и выборки
- •1.4.3. Сочетания
- •1.4.4. Задачи о размещении элементов по ячейкам.
- •2. Распределения вероятностей
- •2.1. Биномиальное распределение
- •2.2. Гипергеометрическое распределение
- •2.3. Расчеты вероятностей числа дефектных изделий в выборке
- •2.4. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины
- •2.5. Распределение Пуассона.
- •2.5.1. Применение распределения Пуассона в задачах качества
- •2.6. Показательное распределение времени ожидания сбоя
- •2.6.1. Функция надежности.
- •2.6.2. Функция распределения времени ожидания сбоя.
- •2.6.3. Метод дополнительной вероятности.
- •2.6.4. Зависимость интенсивности отказов от времени. Практические случаи - кривая в форме «ванны».
- •2.6.5. Среднее время между отказами
- •2.7. Нормальный закон распределение и его приложения в задачах качества
- •2.7.1. Нормальная плотность вероятности и ее параметры.
- •2.7.2. Функция Лапласа и расчеты вероятностей при нормальном распределении
- •Значение функции
- •2.7.3. Возможность (осуществимость) процесса.
- •2.7.4. Статистическое управление качеством (процессами).
- •3. Статистическая выборка [7]
- •3.1. Выборочный контроль и оперативная характеристика.
- •3.2. Планы выборочного контроля
- •Планы типа однократной выборки
- •Планы типа двукратной (многократной) выборки
- •Планы типа последовательного анализа
- •3.3. Оперативная характеристика
- •3.4. Методы выборочного контроля
- •3.5. Программы выборки на основе риска производителя
- •3.6. Программы выборки на основе риска потребителя
- •Процент брака
- •3.7. Соотношение между различными программами выборки
- •3.8. Решение задач с использованием таблиц выборочного контроля
- •3.9. Общие требования, предъявляемые к стандартам выборочного контроля
- •4. Контрольные карты статистически управляемых процессов [7]
- •4.1. Примеры построения контрольных карт
- •4.1.1. Карта динамики процесса
- •4.1.2. Карта (диаграмма) управляемости процесса
- •4.2. Методика выбора формы контрольной карты
- •4.3. Контрольная карта числа дефектных единиц продукции .(np – карта)
- •4.4. Контрольная карта числа дефектов (с-карта)
- •4.5. Сигнальные признаки. Предельные отклонения
- •Сигнальные отклонения
- •Дополнительные признаки
- •5. Контрольные карты количественных и интегрально-суммарных признаков [7]
- •5.1. Вычисление предельных отклонений для нормального закона распределения
- •5.2. Контрольные карты для средних арифметических значений и размахов: и r
- •5.3. Диапазон как замена стандартного отклонения
- •Задание № 1 для самостоятельной работы
- •Алгоритм построения контрольных карт и r
- •Задание № 2 для самостоятельной работы
- •Сигнальные отклонения
- •5.4. Интегрально-суммарные контрольные карты
- •5.3. Интегрально-суммарная карта,
- •6. Cтатистические методы анализа динамических рядов [7]
- •6.1. Метод скользящей средней
- •6.2. Метод взвешенной скользящей средней
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.7. Нормальный закон распределение и его приложения в задачах качества
Нормальное распределение - это основной закон статистики.
Кривая нормального распределения носит также название кривой Гаусса (1777—1855)—по имени знаменитого немецкого математика, положившего основы теории случайных ошибок и метода наименьших квадратов, широко используемых в науке и технике.
Нормальное распределение выделяется своим фундаментальным значением среди остальных распределений. Ему подчиняются непрерывные случайные величины , значения которых зависит от большого числа случайных воздействий. Это в равной степени могут быть случайные ошибки эксперимента и множество случайных воздействий на технологический процесс.
Важным для практики
свойством нормального закона является
то, что он является хорошей аппроксимацией
биномиального и пуассоновского
распределений при достаточно больших
и
.
Распределение вероятностей для среднего
значения
выборки обычно
близко к нормальному закону даже, если
отдельные выборочные значения
распределены существенно иным
образом.
2.7.1. Нормальная плотность вероятности и ее параметры.
Нормальной плотностью вероятности называется плотность, определяемая равенством
для
любого значения
,
где
—произвольные
числа [параметры
распределения),
причем
положительно.
Рис. 2.6.
Нормальная плотность вероятности называется также дифференциальной функцией нормального распределения. График дифференциальной функции нормального распределения показан на рис. 2.6.
В соответствии с выше доказанным ранее, интегральная функция нормального распределения определяется в виде
Легко
видеть, что при любом
каковы
бы ни были параметры
и
всегда
С другой стороны, полная площадь под всей кривой выразится интегралом
который
путем замены переменного
на
откуда
и
преобразуется
в интеграл
Ввиду
того, что
в двух последних равенствах верхнему
пределу
соответствует
такой же верхний предел и аналогичное
соответствие
имеется между нижними пределами этих
интегралов.
Очевидно,
что площадь под «любой» нормальной
кривой (при любых
и
)
такова же, как под нормальной кривой с
параметрами
и
.
Другими
словами, эта площадь не зависит от
параметров; и значение интеграла
равно
единице.
Таким
образом, выполнены
условия для плотности распределения
вероятности
и функция n
(х; а;
)
при
всех возможных значениях параметров
является
плотностью распределения.
График интегральной функции распределения показан на рис. 2.7.
……рис.
2.7.
Из рисунка видно, что плотность нормального распределения симметрична относительно ординаты, отвечающей значению x=a
Это значение является поэтому центром группирования (математическим ожиданием) распределения.
Если
изменять
,
то кривая
будет
перемещаться вдоль оси х,
сохраняя
свою форму.
С
возрастанием абсолютной величины
отклонения
т.
е. по мере
удаления точки
от
точки
,
ордината кривой
быстро
убывает; наибольшая ордината, отвечающая
значению
и
меет
величину
Эта
ордината и является осью симметрии
кривой. При
имеем
семейство центрированных (т.
е. с центром в начале координат) нормальных
кривых
зависящих
от одного параметра
Когда
параметр
уменьшается,
начальная ордината кривой растет.
Подъем
кривой в центральной части компенсируется
более резким спадом
ее к оси
,
так что общая величина площади, как мы
видели, остается
неизменной и равной единице.
При
очень малых значениях
кривая становится
похожей на тонкую иглу, направленную
вдоль оси
Почти
вся площадь под кривой сконцентрирована
на небольшом
интервале с центром в нуле.
При
возрастании
наоборот,
происходит
«сплющивание» кривой, принимающей все
более плосковершинную
форму (рис. 2.8).
Чаще
всего, однако, рассматривая величину,
подчиненную нормальному закону
переходят
к нормированному распределению.
Рис. 2.8
Нормирование
распределения, вообще говоря, заключается
в
переходе от величины
к
вспомогательной линейной функции
для которой
При нормальном распределении будем иметь:
откуда
после замены переменной интегрирования
на
новую переменную
и
подстановки
получим:
Дифференцируя по верхнему пределу, получим:
Таким
образом, если произвести
нормирование распределения
т.
е. осуществить переход от величины
к
величине
то
плотность вероятности
выразится
полученным равенством, в котором уже
отсутствуют параметры
и
Все
вопросы, связанные с нормальным
распределением величины
решают,
переходя к вспомогательной
величине
,
т.
е. нормируя это распределение.
Нормирование
распределения, как нетрудно понять,
ведет просто к
перенесению начала координат в центр
группирования, т. е. к
«центрированию», и к выражению абсциссы
в долях
которое,
как
мы дальше увидим, представляет
среднеквадратическое отклонение
величины
т.
е.