- •Введение
- •1. Сведения из теории вероятностей
- •Значение статистических методов исследования
- •1.2. Экспериментальные основы теории вероятностей
- •1.3. Вероятность события. Свойства вероятности событий
- •1.4 Соединения или комбинации
- •1.4.1. Размещения и перестановки
- •1.4.2. Соединения и выборки
- •1.4.3. Сочетания
- •1.4.4. Задачи о размещении элементов по ячейкам.
- •2. Распределения вероятностей
- •2.1. Биномиальное распределение
- •2.2. Гипергеометрическое распределение
- •2.3. Расчеты вероятностей числа дефектных изделий в выборке
- •2.4. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины
- •2.5. Распределение Пуассона.
- •2.5.1. Применение распределения Пуассона в задачах качества
- •2.6. Показательное распределение времени ожидания сбоя
- •2.6.1. Функция надежности.
- •2.6.2. Функция распределения времени ожидания сбоя.
- •2.6.3. Метод дополнительной вероятности.
- •2.6.4. Зависимость интенсивности отказов от времени. Практические случаи - кривая в форме «ванны».
- •2.6.5. Среднее время между отказами
- •2.7. Нормальный закон распределение и его приложения в задачах качества
- •2.7.1. Нормальная плотность вероятности и ее параметры.
- •2.7.2. Функция Лапласа и расчеты вероятностей при нормальном распределении
- •Значение функции
- •2.7.3. Возможность (осуществимость) процесса.
- •2.7.4. Статистическое управление качеством (процессами).
- •3. Статистическая выборка [7]
- •3.1. Выборочный контроль и оперативная характеристика.
- •3.2. Планы выборочного контроля
- •Планы типа однократной выборки
- •Планы типа двукратной (многократной) выборки
- •Планы типа последовательного анализа
- •3.3. Оперативная характеристика
- •3.4. Методы выборочного контроля
- •3.5. Программы выборки на основе риска производителя
- •3.6. Программы выборки на основе риска потребителя
- •Процент брака
- •3.7. Соотношение между различными программами выборки
- •3.8. Решение задач с использованием таблиц выборочного контроля
- •3.9. Общие требования, предъявляемые к стандартам выборочного контроля
- •4. Контрольные карты статистически управляемых процессов [7]
- •4.1. Примеры построения контрольных карт
- •4.1.1. Карта динамики процесса
- •4.1.2. Карта (диаграмма) управляемости процесса
- •4.2. Методика выбора формы контрольной карты
- •4.3. Контрольная карта числа дефектных единиц продукции .(np – карта)
- •4.4. Контрольная карта числа дефектов (с-карта)
- •4.5. Сигнальные признаки. Предельные отклонения
- •Сигнальные отклонения
- •Дополнительные признаки
- •5. Контрольные карты количественных и интегрально-суммарных признаков [7]
- •5.1. Вычисление предельных отклонений для нормального закона распределения
- •5.2. Контрольные карты для средних арифметических значений и размахов: и r
- •5.3. Диапазон как замена стандартного отклонения
- •Задание № 1 для самостоятельной работы
- •Алгоритм построения контрольных карт и r
- •Задание № 2 для самостоятельной работы
- •Сигнальные отклонения
- •5.4. Интегрально-суммарные контрольные карты
- •5.3. Интегрально-суммарная карта,
- •6. Cтатистические методы анализа динамических рядов [7]
- •6.1. Метод скользящей средней
- •6.2. Метод взвешенной скользящей средней
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.5.1. Применение распределения Пуассона в задачах качества
Биномиальный закон распределения относится к случаям, когда была сделана выборка фиксированного объема. Распределение Пуассона относится к случаям, когда число случайных событий происходит на определенных длинах, площадях, объемах или временах, при этом определяющим параметром распределения является среднее число событий , а не объем выборки и вероятность успеха . Распределение вероятностей для числа успехов имеет при этом следующий вид:
.
Здесь е - основание натуральных логарифмов, это иррациональное число, равно 2.718281… .
Закон Пуассона распространяется на “редко” происходящие события. При этом возможность очередной “удачи” (например, сбоя) является постоянной. Сохраняется непрерывно и не зависит от числа предыдущих “удач” или ”неудач (это называют “независимостью от прошлого”).
Для приложений важным свойством распределения Пуассона является также то, что оно аппроксимирует биномиальное распределение в пределе, когда , а так, что среднее .
Таким образом, для эффективного применения распределения Пуассона как аппроксимации биномиального необходимо, чтобы вероятность успеха была существенно меньше , а произведение была порядка единицы и более.
Учитывая указанное предельное свойство, нетрудно получить выражение дисперсии для пуассоновской случайной величины как соответствующий предел дисперсии биномиального распределения,
Таким образом, для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия имеют одно и то же значение равное .
В таблице 2.2. представлены кумулятивные пуассоновские вероятности. как в таблице 2.1 для биномиального распределения
.
Правила использования таблицы 2.2 такие же, как и таблицы 2.1..
Примеры
1. Какова вероятность получения двух бракованных изделий в выборке из 20 штук, если вероятность брака для процесса составляет 0,04 (4%)?
Применить закон распределения Пуассона для этого случая. Какова будет вероятность того, что произойдет в точности два отказа, если пользоваться таблицей для закона Пуассона.
Среднее число отказов в выборке из , при вероятности отказа , равно . В столбце, соответствующем , и в строках для и находим значения кумулятивных вероятностей и .
Их разность даст искомый ответ,
.
Сравните этот результат с ранее полученным ответом - 0.1458.
2. В течение дня 144 текстильные машины, производящие пряжу одного и того же типа, имели 216 остановок. Какова вероятность того, что одна машина в течение одного дня будет иметь 4 или более остановок?
В условии неявно предполагается, что причина остановки станка мгновенно определяется, устраняется, и он вновь включается в работу (см. ниже “момент восстановления”). В такой ситуации биномиальное распределение неприменимо, и мы должны воспользоваться распределением Пуассона.
Среднее число остановок на одну машину в день составляет 216/144 = 1.5. Итак, для использования Таблицы 3.2. мы имеем m = 1.5, .
Ответом является вероятность, равная 0.0656.