Глава 6. Балансовые модели

Под балансовой моделью понимается система уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

6.1. Экономико-математическая модель (эмм) межотраслевого стоимостного баланса (модель Леонтьева)

Предполагается, что для производства единицы продукции в j-ой отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-ой отрасли, равное a_ij. Величины a_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

(1)

где x_ij – величины межотраслевых потоков продукции, i и j – номера соответственно отраслей производящих и потребляющих, X_j – валовой продукт j-ой отрасли. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j-ой отрасли.

Валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

(2)

С учётом (1) систему уравнений баланса (2) можно переписать в виде

(3)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат вектора-столбцы валовой продукции X и конечной продукции Y:

то система уравнений (3) в матричной форме примет вид

X=AX+Y. (4)

Cистема уравнений (3), или в матричной форме (4), называется ЭММ межотраслевого баланса (моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск»). С её помощью можно выполнять три варианта расчётов:

• задав в модели величины X_i валовой продукции каждой отрасли, можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли: Y=(I-A)X, (5) где I – единичная матрица порядка n;

• задав величины Y_i, можно определить величины X_i валовой продукции каждой отрасли: X=BY, (6) где B=(I-A)^-1 – обратная матрица к матрице I-A;

• для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобней пользоваться системой линейных уравнений (3).

Элементы матрицы B будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения (6) для любой i-ой отрасли можно получить соотношение:

(7)

Коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Коэффициент b_ij полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объёмов конечной продукции всех отраслей:

(8)

где X_i и Y_j – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Основные свойства матрицы А коэффициентов прямых материальных затрат.

1. А0, т.е. для всех , от до .

2. для всех от до .

Заметим, что вектор Х валовой продукции состоит из неотрицательных компонент.

Определение. Неотрицательная матрица А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X0, что

X>АX. (9)

Очевидно, что условие (9) означает существование положительного вектора конечной продукции Y>0 для модели межотраслевого баланса (4).

Теорема. Для того, чтобы матрица А коэффициентов прямых материальных затрат была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. матрица I-A неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (I-A)^-10;

2. матричный ряд I+A+A²+A³+= cходится, причём его сумма равна обратной матрице (I-A)^-1;

3. наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения det(А- λI)=0, строго больше 1;

4. все главные миноры матрицы I-A, т.е. определители матриц, образованных элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядков от 1 до n, положительны.

Существует другое определение коэффициента полных материальных затрат.

Определение. Коэффициентом c_ij полных материальных затрат называется сумма прямых и косвенных затрат продукции i-ой отрасли для производства продукции j-ой отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Между двумя матрицами B и C коэффициентов полных материальных затрат существует следующая связь:

B=I+C,

или в поэлементной записи

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц B и C: в отличие от коэффициентов матрицы C, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы B включают в себя кроме затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу производства.

Матрица А коэффициентов прямых материальных затрат задаётся и является продуктивной. Матрицу B можно найти одним из следующих способов.

1. , где - матрица, присоединённая к матрице I-A, det(I-A) – определитель матрицы I-A. Элементами матрицы являются алгебраические дополнения элементов матрицы (I-A)^T, транспонированной к матрице I-A.

2. Метод Жордана-Гаусса. Справа к матрице I-A приписывается матрица I. В результате гауссовых преобразований слева получается матрица I, а справа – матрица .

3. Приближённое вычисление матрицы В, используя разложение в матричный ряд

Обязательным условием корректности этих расчётов является продуктивность матрицы I-A. При расчётах ограничиваются учётом косвенных материальных затрат до некоторого порядка включительно, например, до второго и третьего порядков. В этом способе коэффициенты полных материальных затрат получаются с приближением по недостатку.

Пример. Задана матрица А коэффициентов затрат трёх отраслей и вектор конечной продукции Y.

1. Проверить продуктивность матрицы I-A.

2. Построить баланс производства и распределения продукции отраслей.

Решение. Проверим выполнение первого условия продуктивности матрицы I-A. матрица А должна быть неотрицательно обратима, т.е. должна существовать обратная матрица (I-A)^-10. Чтобы проверить это, используем второе свойство: матричный ряд должен сходиться и его сумма равна . Найдём вектор-столбец X валовой продукции по отраслям.

X=BY, где B=(I-A)^-1.

Матрица В не содержит отрицательных элементов матрица А продуктивна она позволяет обеспечить определённый выпуск конечной продукции по всем отраслям.

Найдём вектор-столбец X=BY валовой продукции по отраслям.

Для нахождения первого столбца матрицы межотраслевого баланса нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на элемент x₁ вектора-столбца Х.

0,3119=35,7

0,2119=23,8

0,4119=47,6 Аналогично вычисляются элементы второго и третьего столбцов матрицы межотраслевого баланса.

0,1149=14,9 0,1338=33,8

0,3149=44,7 0,2338=67,6

0,2149=29,8 0,3338=101,4

Отрасли производящие	Отрасли потребляющие			Конечная продукция Y	Валовая продукция X
	1	2	3
1	35,7	14,9	33,8	45	119
2	23,8	44,7	67,6	30	149
3	47,6	29,8	101,4	180	338
Условно чистая продукция	11,9	59,6	135,2	255
Валовая продукция	119	149	338		606

Пример. Пусть даны три отрасли, потребляющие и производящие, и дана конечная продукция по трём отраслям. Промежуточное потребление по каждой отрасли соответственно представлено в таблице. Найти объём валовой продукции каждой отрасли, а также матрицу А коэффициентов прямых материальных затрат и матрицу коэффициентов полных материальных затрат.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция Yi	Валовая продукция Xi
	1	2	3
1	200	50	300	200	750
2	150	250	10	100	510
3	230	50	150	300	730
Условно чистая продукция	170	160	270	600
Xi	750	510	730

Решение.

Х₁=200+50+300+200=750;

Х₂=150+250+10+100=510;

Х₃=230+50+150+300=730.

Матрица А коэффициентов прямых материальных затрат состоит из коэффициентов а_ij, смысл которых заключается в том, что для производства продукции в j-ой отрасли, требуется определённое количество затрат промежуточной продукции в i-ой отрасли, равное а_ij.

Эта матрица показывает, сколько потреблено промежуточной продукции. Матрица коэффициентов полных материальных затрат В=(I-А)^-1. Вычислим её.

, .

Следовательно,

. Откуда:

Модель Неймана.

Рассмотрим более общую модель Неймана. Рассмотрим экономику, описываемую парой (С, К), где С – пространство товаров, а К – множество производственных процессов, перерабатывающих некоторые количества товаров в другие количества тех же товаров. Под товаром (продуктом) понимаем как первичные факторы производства (земля, труд) и сырьё (нефть, уголь), так и конечные продукты производства, услуги и т.п. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обозначается x_i, тогда некоторый набор товаров обозначается X=(x₁,,x_n), т.е. является n-мерным вектором. Т.к. количества товаров неотрицательны, то для любого i=1,,n x_i0 или X0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что в нём можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотрицательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев).

Предполагаем, что каждый товар имеет цену. Все цены предполагаются строго положительными. Пусть цена единицы i-го товара есть p_i, тогда вектор P=(p₁,,p_n) есть вектор цен.

Набор товаров, как вектор, имеет ту же размерность, что и вектор цен. Для набора товаров X=(x_i) и вектора цен P=(p_i) их скалярное произведение PX= =p₁x₁++p_nx_n есть число, называемое ценой набора или его стоимостью.

Множество К производственных процессов имеет в своей основе конечное число процессов (Q₁,,Q_m), которые называются базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов Q_j=(,B_j) из С. (Векторы A_j, B_j – это векторы-столбцы. Содержательный смысл процесса Q_j таков: он затрачивает вектор А_j=(a_ij) и выпускает вектор B_j=(b_ij), т.е. перерабатывает вектор А_j в вектор B_j. По смыслу все векторы A_j, B_j неотрицательны. Обозначив А=(А₁,,А_m), B=(B₁,,B_m), получаем, что технология нашей модели задаётся парой неотрицательных матриц A, B; матрица A называется матрицей затрат, B – матрицей выпуска.

Комбинируя базисные процессы, можно получить новые процессы. Так, возьмём неотрицательные числа z_i, i=1,,m, и определим новый производственный процесс z₁Q₁++z_mQ_m, в котором затраты есть вектор , а выпуск есть вектор ; полученный производственный процесс кратко обозначим (AZ, BZ). Вектор-столбец Z=(z_i) называется вектором интенсивностей. Получившееся более широкое множество процессов и обозначим К.

Можно заметить, что в то время как базисные процессы Q₁,,Q_m соответствуют, вообще говоря, реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент (X, Y)K есть некоторый фиктивный процесс, описывающий определённый режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом X есть вектор затрат, Y – вектор выпуска.

Рассмотренная ранее модель Леонтьева есть частный случай модели Неймана при n=m, B=I. Основное отличие модели Неймана состоит в том, что всякий базисный процесс может выпускать не один продукт. Модель Неймана линейна.

Пример. Решим стандартную задачу на модель Неймана. Даны матрицы , технологических процессов, вектор цен P=(1, 5) и вектор начальных запасов Найдём интенсивности технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту самую максимальную стоимость.

Решение. Пусть - вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного программирования:

AZS

Z0

или (в развёрнутой форме)

30z₁+80z₂max

z₁, z₂ 0.

Решим эту задачу графическим методом.

Рис.21. Графический метод решения задачи на модель Неймана

Найдём координаты точки максимума.

-

Откуда 21z₁=42. Следовательно, z₁=2 и z₂=2.

Точка максимума (2, 2) и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один цикл, равна 220.