Учебное пособие 2221

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

напряжения не превосходили предел текучести, т.е. 0,2 . В ходе вычислительных экспериментов, выяснилось, что для значений радиуса r0 , существует критическое r0 r0* , при котором величина достигает своего наибольшего значения сразу в двух местах клина: на углу с координатами

графики относительной невязки уравнений (1) после подстановки в них полученного решения, учитывающего в первом быстром разложении три члена ряда Фурье N1 3 , а во втором - тридцать

членов ряда Фурье N2 30 представлены на рис. 2, и, как видно из рис. 2, при любых значениях координат r0 r R , 0 0 значения максимальной относительной невязки D не превышают

1.6 10 6 .

Библиографический список

1.Чернышов А.Д. Метод быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т. 54. № 1. 2014. С. 13-24.

2.Чернышов А.Д., Павлов И.О., Воронова Е.В., Горяйнов В.В. Решение методом быстрых разложений задачи о сушке зерна // Теплофизика и аэромеханика, 2012, том 19, №6. C. 739-749.

3.http://metallicheckiy-portal.ru/marki_metallov/sti/R18

140

ВЫПУСК № 1 (19), 2020 ISSN 2618-7167

УДК 517.9

БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕЛЕЦКОГО

Аннотация: рассмотрена математическая модель колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты, представленная уравнением Белецкого. Исследование уравнения основано на применении процедуры нелокальной конечномерной редукции Ляпунова-Шмидта. Получены графические изображения, которые демонстрируют тенденции изменения амплитуд колебаний при подходе параметров к критическим и резонансным значениям

Ключевые слова: метод Ляпунова-Шмидта, ключевая функция, круговая симметрия, метод градиентного спуска

T.I. Kostina

BIFURCATION ANALYSIS OF PERIODIC SOLUTIONS BELETSKY'S EQUATIONS

Abstract: the article considers a mathematical model of satellite oscillations in the plane of an elliptical orbit , represented by the Beletsky equation. The study of the equation is based on the application of the non-local finite-dimensional LyapunovSchmidt reduction procedure. Graphic images are obtained that show trends in the variation of oscillation amplitudes when parameters are approached to critical and resonant values

Keywords: Lyapunov-Schmidt method , key function, circular symmetry, gradient descent method

Математическая3 модель колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты, представленная уравнением Белецкого имеет следующий вид [1]:

где параметр - эксцентриситет орбиты, - параметр, характеризующий распределение массы спутника, - угловая (полярная) координата центра масс спутника, - угол между фокальным радиусом и осью симметрии спутника.

Если в уравнении (1) обнулить один из параметров, = 0, то получим уравнение колебаний на круговой орбите, или, что то же самое, уравнение колебаний маятника (без внешнего воздействия):

̈

+ sin ( ) = 0.

Уравнение маятника исследовалось методом Ляпунова-Шмидта локально и не локально, получены соответствующие результаты [4]-[5].

Рассмотрим линеаризованное уравнение (1)

Уравнение (3)– уравнение типа Хилла, с периодическими коэффициентами, в котором имеется периодическая правая часть. В случае = 1 уравнение (3) можно проинтегрировать, причем этот случай является резонансным. За счет правой части уравнения (3) получаются вынужденные колебания, которые выражаются, если пренебречь членами с в левой части уравнения, следующим образом:

© Костина Т.И., 2020

141

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Из последнего уравнения понятно, что при = 1 получается резонанс. Компьютерная реализация уравнения (4) в среде Maple получается фиксированием параметра ( ≠ 1).

Рис. 1. Компьютерная визуализация резонанса при = 1, = 0.999 ≠ 0

Колебания в области резонанса при малых будут велики, но ограничены. При больших уравнение может иметь неограниченно возрастающие решения, то есть при больших спутник может перейти из колебательного режима движения во вращательный режим.

В случаи ≠ 0 и ≠ 1 уравнение (3) не интегрируется, поэтому для его решения используются приближенные методы, например метод Ляпунова-Шмидта. Для его применения было доказано [3], что уравнение Белецкого является вариационным, был найден интегрирующий множитель (1 +cos ( )), при умножении на который уравнения (1) получается уравнением Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала действия

2

( ) = ∫ ( ̇, ) ,

0

с лагранжианом ( ̇, ):

2̇(1 + cos ( ))2 + (1 + cos ( ))4 sin ( ) + (1 + cos ( )) cos ( ). 2

Следовательно, уравнение Белецкого является вариационным, а значит к нему можно применить метод Ляпунова-Шмидта [2]-[4). В работах Сапронова Юрия Ивановича и его учеников, например, задача о прогибах упругих систем, о фазовых переходах в кристаллах и о движении жидкости в диффузорах [6], можно найти математическое обоснование применения метода Ляпунова-Шмидта. Суть которого заключается в переходе к эквивалентному уравнению, так называемой ключевой функции.

Затем ставится задача построения алгоритма получения и исследования ключевой функции. Приближенное построение ключевых функций осуществляется на основе аппроксимации ГалеркинаРитца и редукции Пуанкаре, с помощью численного метода градиентного спуска в точку минимума функционала энергии

Получаются сходящиеся итерационные процессы, позволяющие строить ключевую функцию с любой требуемой точностью.

142

где 1 = √2 cos ( ), 2 = √2 sin ( ).

В связи с развитием современной компьютерной техники и методов численного анализа стало возможным получить фазовые портреты решений и провести качественный анализ. При компьютерной реализации вычисления и анализа возникает существенные технические трудности. Требуется наличие большого объема оперативной памяти, иначе происходит зацикливание или зависание программ. Исследование облегчает наличие круговой симметрии, возникающей из-за того, что функционал действия инвариантен относительно сдвига функции. Положив 2 = 0 можно провести вторичную редукцию функционала.

Получены компьютерные изображения поверхностей линий уровней редуцированных приближений ключевой функции для уравнения Белецкого при двух различных значениях параметра:

Рис. 2. Семейства линий уровней ключевой функции для уравнения Белецкого при = 1.1 , = 0.2 ; = 1.05 , = 0.1 

Библиографический список

1.Белецкий В.В Движение искусственного спутника относительно центра масс. – М.: Наука, 1965. – 416 с.

2.Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12

(2004) — С. 3-140.

3.Костина Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 1. 2011 – С. 181-186.

4.Ковалева М.И. Огибающие кривые, точки возврата и бифуркационный анализ нелинейных задач // М.И. Ковалева, Т.И. Костина, Ю.И. Сапронов / Воронеж: ВУНЦ ВВС "ВВА", 2015. - 242 с.

5.Костина Т.И. О ветвлении периодических решений уравнения колебаний маятника и уравнения Белецкого// Т.И. Костина , Ю.И Сапронов / Вестник Воронежского Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 1. 2018 – С.99-114.

6.Костин Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки // Доклады Академии наук. 2008. Т. 418, 4. —С. 295–299.

143

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

УДК 517.765+512.816

ОГОЛОМОРФНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ СЕМЕЙСТВ ОДНОРОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ КОМПЛЕКСНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Аннотация: посредством явно представленных формул установлено взаимно-однозначное соответствие между представителями двух семейств голоморфно однородных вещественных гиперповерхностей 3-мерных комплексных пространств. Исследованы алгебры Ли голоморфных векторных полей, отвечающих известному семейству поверхностей Картана и «новому» семейству поверхностей с 5-мерными алгебрами симметрий. Установлен способ голоморфного вложения каждой такой 5-мерной алгебры в 6-мерную алгебру, соответствующую некоторой поверхности Картана. Как следствие получено (локальное) представление Картановых поверхностей из обсуждаемого семейства в виде поверхностей второго порядка в некоторых голоморфных координатах

Ключевые слова: однородное многообразие, голоморфное отображение, векторное поле, алгебра Ли, орбита алгебры

A.V. Loboda

ON THE HOLOMORPHIC EQUIVALENCE OF TWO FAMILIES OF HOMOGENEOUS

SURFACES IN A THREE-DIMENSIONAL COMPLEX SPACE

Abstract: a one-to-one correspondence between representatives of two families of holomorphic homogeneous real hypersurfaces of 3-dimensional complex spaces is established By means of explicitly presented formulas. Lie algebras of holomorphic vector fields corresponding to the well-known family of Cartan surfaces and the "new" family of surfaces with 5-dimensional symmetry algebras are studied. A method for holomorphic embedding of each such 5-dimensional algebra into a 6-dimensional algebra corresponding to a certain Cartan surface is established. As a consequence, a (local) representation of Cartan surfaces from the discussed family is obtained in the form of second-order surfaces in some holomorphic coordinates

Keywords: homogeneous manifold, holomorphic map, vector field, Lie algebra, orbit of the algebra

В 4 задаче описания голоморфно-однородных вещественных гиперповерхностей трехмерных комплексных пространств ([2-4]) в настоящее время остается не до конца изученным случай невырожденных по Леви поверхностей, алгебры Ли голоморфных векторных полей на которых являются 5- мерными.

При этом построение однородных поверхностей, являющихся невырожденными по Леви орбитами 5-мерных алгебр Ли, не всегда приводит к простому ответу на вопрос о возможной эквивалентности этих орбит известным однородным многообразиям. Ниже обсуждается пример такого рода, связанный с орбитами голоморфной реализации неразрешимой алгебры Ли

16 = (2) + 2,

являющейся прямой суммой классической алгебры бесследных матриц 2-го порядка и нетривиальной двумерной алгебры Ли.

В 2018 г. за счет интегрирования этой алгебры было построено ([7]) семейство однородных (невырожденных по Леви) поверхностей

Замечание 1. Выколотому значению A=1 отвечает в уравнении (1) вырожденная по Леви поверхность, голоморфно эквивалентная трубке над конусом 12 + 22 − 2 = 0.

Это значение отделяет в семействе (1) поверхности с невырожденной знаконеопределенной формой Леви ( 0 < A < 1 ) от строго псевдо-выпуклых поверхностей ( A > 1), имеющих положительно определенную форму Леви.

Постановка задачи: указать известные голоморфно-однородные поверхности, эквивалентные поверхностям из семейства (1), или доказать новизну этих поверхностей в задаче об однородности.

© Лобода А.В., 2020

144

ВЫПУСК № 1 (19), 2020 ISSN 2618-7167

Теорема. При любом A, (0 < ≠ 1) поверхность (1), отвечающая 5-мерной алгебре 16, голоморфно эквивалентна поверхности

с тем же значением параметра A.

Замечание 2. Известное (см. [2]) семейство (2) обобщает однородные поверхности Картана [1] из пространства C2. Каждая поверхность этого семейства при ≠ 1 имеет 6-мерную алгебру симметрий.

Для доказательства теоремы достаточно проверить непосредственными вычислениями, что го-

переводит произвольную обсуждаемую поверхность (1) в поверхность (2) с тем же значением параметра A.

Отметим, что само отображение (3) можно получить, учитывая вложение алгебры 16 в алгебру (2,2) = (2) + (2), ассоциированную с однородными поверхностями (2). Возникающий при таком рассмотрении изоморфизм алгебр векторных полей в пространстве C3 можно превратить (за счет решения соответствующей системы уравнений в частных производных) в биголоморфное отображение орбит рассматриваемых алгебр.

Вместе с тем, в обсуждаемых задачах требуется тщательная техническая проработка подобных

не сводимых голоморфными преобразованиями к поверхностям (2). Каждая поверхность (4) является также орбитой обсуждаемой 5-мерной алгебры 16.

Замечание 3. Еще один интересный момент связан с (локальной) голоморфной эквивалентностью каждой из Картановых поверхностей (2), являющихся алгебраическими и имеющими 4-й порядок, некоторой поверхности второго порядка. Такая эквивалентность является следствием сформу-

лированной теоремы: квадратичное отображение z2* z22 превращает (1) в уравнение второго порядка

vy1 x22 y22 A | z2 |2 .

Библиографический список

1.Cartan E., Sur la geometriepseudoconforme des hypersurfaces de deux variables complexes, Ann. Math. Pura Appl., (4) 11 (1932), 17 – 90 (Oeuvres II, 2, 1231 - 1304).

2.Лобода А. В., Однородные вещественные гиперповерхности в C3c двумерными группами изотропии, Труды МИАН. 235 (2001), 114 - 142.

3.Fels G., Kaup W., Classification of Levi degenerate homogeneous CR-manifolds in dimension 5, Acta Math. 201(2008), 1-82.

4.DoubrovВ., Medvedev А., The D., Homogeneous Levi non-degenerate hypersurfaces in C3, arXiv:1711.02389v1 [math.DG] 7 Nov. 2017.

5.Beloshapka V.K., Kossovskiy I.G., Homogeneous hypersurfaces in C3 associated with a model CRcubic, J. Geom. Anal. 20 (2010), №3, 538 - 564.

6.Акопян Р.С., Лобода А.В., О голоморфных реализациях нильпотентных алгебр Матер.междунар. конф. Современные методы и проблемы математической гидродинамики-2018, Воронеж, (2018), 200-204.

7.Атанов А.В., Лобода А.В., Голоморфные реализации разложимых пятимерных алгебр Ли. Материалы Международной конференции: ВЗМШ-2019. с. 135-138.

145

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко, О.А. Соколова, В.С. Прач

РАЗРЕШАЮЩИЙ ФУНКЦИОНАЛ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ФУНКЦИОНАЛЬНО - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ НАСЛЕДСТВЕННОЙ МЕХАНИКИ

Аннотация: получены выражения для ядер обратного оператора к нелинейному аналитическому оператору с сепарабельными ядрами. Рассмотрено приложение к решению нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений определенного типа

Ключевые слова: нелинейные интегро-дифференциальные уравнения, нелинейные наследственно-упругие среды

A.P. Byrdin, A.A. Sidorenko, O.A. Sokolova, V.S. Prach

TO ALLOW FUNCTIONALITY FOR NONLINEAR FUNCTIONAL AND FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PROBLEMS HEREDITARY MECHANICS

Abstract: expressions for the kernels of the inverse operator to a nonlinear analytical operator with separable kernels are Obtained. An application to the solution of nonlinear integral and integro-differential equations of a certain type is considered

Keywords: nonlinear integrodifferential equations , nonlinear hereditary-elastic medium

Полимерные5материалы при нагружениях характеризуются сложным поведением, которое не описывается линейной теорией вязкоупругости. Явления ползучести и релаксации напряжений для металлов, сплавов и других конструкционных материалов также весьма плохо согласуется с предсказаниями линейной теории. С другой стороны, физические теории, базирующиеся на учете молекулярных взаимодействий, дают только качественное описание явлений [1].

Для описания реологических свойств материалов, согласующегося с экспериментальными наблюдениями, уравнение состояния среды задается нелинейными аналитическим по Фрише функционалом. Ядра его производных (полилинейных функционалов) должны удовлетворять известным определенным условиям.

Таким образом, определяющее соотношение для нелинейных наследственно-упругих сред в одномерном случае имеет вид

дельта – функции, то это соотношение можно обратить, и обратное соотношение представляется в виде аналитического оператора

действие которого на функции t задается аналогично равенству (1).

Рассматривая равенство (1) как уравнение относительно функции t при заданных напряже-

ниях, а соотношение (2) как решение этого уравнения, с помощью техники интегральных преобразований можно получить следующую рекуррентную систему уравнений, связывающую искомые ядра

© Бырдин А.П., Сидоренко А.А., Соколова О.А., Прач В.С., 2020

146

Развиваемый здесь метод рядов Вольтерра для решения нелинейных интегродифференциальных уравнений наследственной упругости также основан на представлении решения в виде нелинейного аналитического функционала.

Пусть закон движения наследственно-упругой системы описывается уравнениями

Разыскивая решение задачи (6) в виде (2), можно получить соотношение типа (3), в котором

нения, моделирующего задачу о колебаниях осциллятора с нелинейно-наследственной возвращающей силой.

Уравнение движения одномассового осциллятора имеет вид

147

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Определение ядер интегральных операторов K n t1, , tn (n=1,2,…) в (9) осуществляется разрешением рекуррентного соотношения для Фурье-трансформант этих ядер.

Пусть функция f t , описывающая внешнее силовое воздействие на осциллятор, представляется тригонометрическим полиномом

где N - натуральное число, fn обозначает комплексно-сопряженное для fn . Стационарное решение уравнения (7) получим из (9) и (10). Имеем

Можно показать, что (11) является решением уравнения (8) в частном случае сепарабельности весовых функций релаксации, выполнив оценку Фурье-трансформант ядер интегральных операторов

[2]

Учитывая оценку (12), получим интервалы сходимости мажорирующего ряда для двух случаев:

сходящимся рядом в интервалах (13) или (14).

Библиографический список

1.Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384

2.Бырдин А.П., Розовский М.Н. О волнах деформации в нелинейной наследственно-упругой среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1984, №4. – с. 100-104.

148

ВЫПУСК № 1 (19), 2020 ISSN 2618-7167

УДК 624.073.2.04

РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОНТАКТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ И УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ

Аннотация: предлагается разностная схема сквозного счета в сочетании с методом граничных элементов для решения задач изгиба прямоугольных плит переменной жесткости с упругим неклассическим основанием. Решение проводится без учета сил трения в области контакта. Механические свойства грунтовых оснований задаются пространственными контактными моделями с известной функцией Грина. Изучено влияние на напряженно-деформированное состояние плиты изменения функции жесткости, вида нагружения, комбинаций граничных условий на контуре и упругого основания

Ключевые слова: прямоугольная плита, упругое основание, коэффициент жёсткости

N.N. Nekrasova

COMPUTATIONAL MODEL OF SPATIAL CONTACT RECTANGULAR

PLATES AND ELASTIC BASE

Abstract: a difference scheme of end-to-end counting is Proposed in combination with the boundary element method for solving problems of bending rectangular plates of variable stiffness with an elastic non-classical base. The solution is carried out without taking into account the friction forces in the contact area. The mechanical properties of soil bases are set by spatial contact models with a known green function. The influence of changes in the stiffness function, type of loading, and combinations of boundary conditions on the contour and elastic base on the stress-strain state of the plate is studied

Keywords: rectangular plate, elastic Foundation, the stiffness coefficient

Дифференциальное6 уравнение изогнутой поверхности прямоугольной ортотропной плиты переменной жесткости, находящейся под действием поперечной нагрузки и опирающееся на упругое основание имеет вид [1]:

В данной постановке плита полностью примыкает к основанию и вертикальные перемещения плиты совпадают с осадками основания. Тогда интенсивность реактивного давления и вертикальным перемещением выражается уравнением вида:

Функция (x, y, , ) описывает ту или иную модель основания. К настоящему времени пред-

ложено большое число неклассических моделей оснований. Их развитие вызвано, стремлением приблизить результаты расчета взаимодействия фундаментных конструкций с грунтом к реальным условиям. Влияние модели грунтового основания существенно влияет на изгиб плиты и назначаемые на её усилия.

Замыкает задачу система уравнений равновесия для плиты, загруженной внешней распределенной нагрузкой q(x, y)

p( , )d d q( , )d d , p( , ) d d q( , ) d d , p( , ) d d q( , ) d d

S F S F S F

играничные условия, которые описывают зависимость между интенсивностью реактивного давления

ивертикальными перемещениями.

Дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка с переменными ко-

© Некрасова Н.Н., 2020

149