Используйте данные в табл. 26, чтобы создать прогнозирующую модель множественной регрессии. Прогнозные оценки факторов, влияющих на прибыль компании, должны использоваться в моделях растяжения.
|
|
|
|
|
Таблица 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число |
Расходы на |
Среднее число зрителей за первые |
Расходы на |
|||
зрителей за пер- |
рекламу |
три дня проката фильма |
рекламу филь- |
|
||
вые три дня про- |
фильма, руб. |
|
|
ма, руб. |
|
|
ката фильма |
|
|
|
|
|
|
|
282 |
2750 |
|
305 |
4565 |
|
|
263 |
2430 |
|
328 |
5987 |
|
|
295 |
3700 |
|
335 |
6100 |
|
|
276 |
2860 |
|
251 |
2375 |
|
|
285 |
3180 |
|
292 |
3480 |
|
|
342 |
4270 |
|
290 |
3295 |
|
|
276 |
2875 |
|
387 |
7500 |
|
|
328 |
5295 |
|
326 |
5430 |
|
|
321 |
5140 |
|
347 |
6310 |
|
|
326 |
4870 |
|
234 |
2100 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прибыль |
Общее число |
Выручка на |
|
|
|
Квар- |
мобильный |
Затраты на поддержание и обновле- |
|
|||
компании, |
абонентов |
|
||||
тал |
тыс. руб. |
компании |
трафик, тыс. |
ние программного обеспечения, руб. |
|
|
|
|
|
руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
10500 |
17075 |
7670 |
|
3200 |
|
2. |
12128 |
18014 |
7993 |
|
3460 |
|
3. |
12160 |
18642 |
8281 |
|
3500 |
|
4. |
13890 |
19253 |
8746 |
|
3750 |
|
5. |
13445 |
19809 |
9040 |
|
4260 |
|
6. |
12123 |
20394 |
9310 |
|
4870 |
|
7. |
13675 |
20891 |
9555 |
|
4880 |
|
8. |
13823 |
21398 |
9800 |
|
5680 |
|
9. |
14464 |
21891 |
10045 |
|
5720 |
|
10. |
15123 |
22386 |
10290 |
|
5830 |
|
11. |
14780 |
22876 |
10536 |
|
5940 |
|
12. |
14865 |
23312 |
10781 |
|
6890 |
|
13. |
15092 |
23897 |
11026 |
|
7550 |
|
14. |
25764 |
34144 |
19263 |
|
8340 |
|
15. |
40623 |
51890 |
29709 |
|
10120 |
|
16. |
46798 |
59644 |
34270 |
|
12230 |
|
17. |
45846 |
61645 |
34571 |
|
12470 |
|
18. |
48124 |
63734 |
35278 |
|
14890 |
|
19. |
49383 |
68521 |
36079 |
|
16240 |
|
20. |
50920 |
69123 |
37542 |
|
16710 |
|
21. |
51220 |
70165 |
38906 |
|
17560 |
|
22. |
52087 |
71233 |
39244 |
|
18430 |
|
51
5. МОДЕЛЬ РЕГРЕССИИ С АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫМИ ОСТАТКАМИ
|
1. Критерий Дарбина – Уотсона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d = |
∑tn=2(et −et−1)2 |
|
. |
(5.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2. Коэффициент автокорреляции |
|
|
|
∑tn=1et2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∑eˆteˆt−1 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
pˆ = |
|
|
|
(5.2) |
||||
|
3. Преобразование исходных данных |
∑eˆt2−1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
y*= Pˆy, |
X*= PˆX . |
(5.3) |
||||||
где |
ˆ |
ˆ ˆ |
−1 |
ˆ |
представляет собой корень квадратный |
||||||||
P такое, что |
PT |
= ∑0 |
. Матрица P |
||||||||||
из матрицы, обратной к ковариационной матрице остатков∑0−1 |
и имеет вид |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1− pˆ1 |
0 0 ... 0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
− pˆ |
1 |
0 ... 0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 − pˆ |
1 ... 0 |
0 |
|
(5.4) |
||||
|
|
|
|
Pˆ = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 ...− pˆ 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1. Г-жа Арнольд, президент Incom, собирала информацию о ежемесячных продажах компании (тысячи рублей) вместе с рядом других показателей, которые, по ее мнению, могут повлиять на продажи. В качестве этих показателей он выбрал затраты на рекламу (h1t, тыс. руб.) и индекс потребительских расходов (h2t,%). Данные, собранные г-жой Арнольд, приведены в табл. 27. Необходимо оценить степень корреляции между этими показателями, установив соответствующее линейное уравнение регрессии. Гипотеза о наличии автокорреляции в остатках для построенного уравнения должна быть проверена. Если это предположение подтвердится, необходимо оценить параметры регрессии обобщенными МНК и получить прогнозную оценку продаж на следующий месяц при условии, что расходы на рекламу вырастут на 7.9 тыс. руб., а индекс потребительских расходов-на 114.9%.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
yt |
x1t |
x2t |
t |
yt |
x1t |
x2t |
|
1 |
252 |
4,0 |
97,9 |
10 |
734 |
14,6 |
109,2 |
|
2 |
274 |
5,8 |
98,4 |
11 |
642 |
10,2 |
110,1 |
|
3 |
296 |
4,6 |
101,2 |
12 |
614 |
8,5 |
110,7 |
|
4 |
382 |
6,7 |
103,5 |
13 |
662 |
6,2 |
110,3 |
|
5 |
548 |
8,7 |
104,1 |
14 |
690 |
8,4 |
111,8 |
|
52
Окончание табл. 27
|
t |
|
yt |
x1t |
|
|
x2t |
|
|
|
|
t |
|
|
yt |
x1t |
|
x2t |
|
||
|
|
6 |
740 |
8,2 |
|
|
|
107 |
|
|
15 |
728 |
8,1 |
|
112,3 |
|
|||||
|
|
7 |
764 |
9,7 |
|
|
107,4 |
|
|
16 |
768 |
6,9 |
|
112,9 |
|
||||||
|
|
8 |
790 |
12,7 |
|
|
108,5 |
|
|
17 |
791 |
7,5 |
|
113,1 |
|
||||||
|
|
9 |
734 |
13,5 |
|
|
108,3 |
|
|
18 |
832 |
7,7 |
|
113,4 |
|
||||||
|
Решение с помощью Excel |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
Ввод исходных данных с включением в модель дополнительной пере- |
||||||||||||||||||||
менной Х, принимающей единственное значение, равное 1. |
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Нахождение вектора оценок коэффициентов регрессии с использовани- |
||||||||||||||||||||
ем матричных функций Excel (МУМНОЖ, ТРАНСП, МОБР). |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
bˆ0 |
|
|
|
-2813.50 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
bˆ1 |
|
|
|
|
20.30 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
bˆ2 |
|
|
|
|
30.31 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
ˆ = |
y |
− |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расчет остатков e |
|
Xb. |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. |
Вычисление разностей |
e |
= |
y |
− |
и оформление промежуточных ре- |
|||||||||||||||
|
|
|
y |
||||||||||||||||||
зультатов в виде табл. 28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках |
|
|
||||||||||||||||||
5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках и использованием критерия Дарбина – Уотсона.
5.1.1. Вычисление (et −et−1) и et2 Оформление результатов расчетов в виде табл. 29.
|
|
|
|
|
|
Таблица 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
yt |
x0t |
x1t |
x2t |
Yt |
et |
|
1 |
252 |
1 |
4 |
97.9 |
234.74 |
17.26 |
|
2 |
274 |
1 |
5.8 |
98.4 |
286.43 |
-12.43 |
|
3 |
296 |
1 |
4.6 |
101.2 |
346.93 |
-50.93 |
|
4 |
382 |
1 |
6.7 |
103.5 |
459.27 |
-77.27 |
|
5 |
548 |
1 |
8.7 |
104.1 |
518.06 |
29.94 |
|
6 |
740 |
1 |
8.2 |
107 |
595.80 |
144.20 |
|
7 |
764 |
1 |
9.7 |
107.4 |
638.37 |
125.63 |
|
8 |
790 |
1 |
12.7 |
108.5 |
732.62 |
57.38 |
|
9 |
734 |
1 |
13.5 |
108.3 |
742.80 |
-8.80 |
|
10 |
734 |
1 |
14.6 |
109.2 |
792.40 |
-58.40 |
|
11 |
642 |
1 |
10.2 |
110.1 |
730.35 |
-88.35 |
|
12 |
614 |
1 |
8.5 |
110.7 |
714.02 |
-100.02 |
|
13 |
662 |
1 |
6.2 |
110.3 |
655.21 |
6.79 |
|
53
Окончание табл. 28
|
t |
|
yt |
|
x0t |
|
|
x1t |
|
x2t |
|
Yt |
|
et |
|
|
14 |
|
|
690 |
|
1 |
|
8.4 |
|
11108 |
|
745.33 |
|
-55.33 |
|
|
15 |
|
|
728 |
|
1 |
|
8.1 |
|
112.3 |
|
754.39 |
|
-26.39 |
|
|
16 |
|
|
768 |
|
1 |
|
6.9 |
|
112.9 |
|
748.21 |
|
19.79 |
|
|
17 |
|
|
791 |
|
1 |
|
7.5 |
|
113.1 |
|
766.46 |
|
24.54 |
|
|
18 |
|
|
832 |
|
1 |
|
7.7 |
|
113.4 |
|
779.61 |
|
52.39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
t |
|
et2 |
|
(et –et-1)² |
t |
et2 |
(et –et-1)² |
|||||||
|
1 |
|
298.00 |
|
|
|
|
10 |
3411,10 |
2460,98 |
|
||||
|
2 |
|
154.61 |
|
881.91 |
11 |
7806,06 |
896,84 |
|
||||||
|
3 |
|
2593.94 |
|
1481.98 |
12 |
10004,50 |
136,20 |
|
||||||
|
4 |
|
5970.72 |
|
693.78 |
13 |
46,17 |
11409,94 |
|
||||||
|
5 |
|
896.49 |
|
11494.40 |
14 |
3061,38 |
9859,45 |
|
||||||
|
6 |
|
20794.50 |
|
13055.69 |
15 |
696,56 |
837,36 |
|
||||||
|
7 |
|
15782.21 |
|
345.06 |
16 |
391,48 |
2132,44 |
|
||||||
|
8 |
|
3292.91 |
|
4567.16 |
17 |
602,38 |
22,63 |
|
||||||
|
9 |
|
77.38 |
|
4379.83 |
18 |
2744,81 |
775,49 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
78625,21 |
|
59521,14 |
|
|
5.1.2. Расчет статистики Дарбина – Уотсона |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d = 59521,14/78625.21= 0,757 . |
(5.5) |
||||||||||
Так как d<dL<dU , т.е. 0,757<1.05<1.53, то существует положительная автокорреляция остатков.
5.2.Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием метода рядов.
Последовательное определение знаков отклонений позволяет получить следующие ряды:
(+) (- - - ) (+ + + +) (- - - - ) (+) (- -) ( + + +)
исделать вывод о присутствии автокорреляции в остатках.
5.3.Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием графического представления зависимости остатков от времени.
Анализ построенного графика, представленного на рис. 8 показывает, что изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно сделать вывод, о том, что они автокоррелированы.
t = peet−1 +δt , т.е. не выполняются предположения классического регрессионного анализа, и, следовательно, можно найти более эффективную оценку, чем b .
54
Рис. 8. График зависимости остатков от времени
6. Преобразование исходных данных.
6.1.Оценка параметра ρ.
6.1.1.Вычисление et et-1и оформление результатов расчетов в виде табл. 30.
6.1.2.Вычисление коэффициента автокорреляции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = 47343,24/78625,21= 0,6021. |
(5.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 30 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
et |
|
|
|
|
et2 |
|
et et-1 |
|
|
t |
|
et |
et2 |
et et-1 |
|||||
|
|
1 |
17,26 |
|
|
298,00 |
|
|
|
|
|
10 |
-58,40 |
3411,10 |
513,75 |
||||||||
|
|
2 |
-12,43 |
|
|
154,61 |
|
-214,65 |
|
|
11 |
-88,35 |
7806,06 |
5160,16 |
|||||||||
|
|
3 |
-50,93 |
|
2593,94 |
|
633,29 |
|
|
12 |
-100,02 |
10004,50 |
8837,18 |
||||||||||
|
|
4 |
-77,27 |
|
5970,72 |
|
3935,44 |
|
|
13 |
6,79 |
46,17 |
-679,63 |
||||||||||
|
|
5 |
29,94 |
|
|
896,49 |
|
-2313,59 |
|
|
14 |
-55,33 |
3061,38 |
-375,95 |
|||||||||
|
|
6 |
144,20 |
|
20794,50 |
|
4317,65 |
|
|
15 |
-26,39 |
696,56 |
1460,29 |
||||||||||
|
|
7 |
125,63 |
|
15782,21 |
|
18115,83 |
|
|
16 |
19,79 |
391,48 |
-522,20 |
||||||||||
|
|
8 |
57,38 |
|
3292,91 |
|
7208,98 |
|
|
17 |
24,54 |
602,38 |
485,61 |
||||||||||
|
|
9 |
-8,80 |
|
|
77,38 |
|
-504,77 |
|
|
18 |
52,39 |
2744,81 |
1285,85 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
78625,21 |
47343,24 |
|||
|
6.2. Преобразование исходных данных и оформление результатов расче- |
||||||||||||||||||||||
тов в виде табл. 31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 31 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
y* |
x0* |
|
|
x* |
|
|
x* |
|
t |
y* |
|
x0* |
|
x* |
|
x* |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
201.19 |
0.80 |
|
3.19 |
|
78.16 |
|
10 |
292.03 |
|
0.40 |
|
6.47 |
|
43.99 |
|
|||||
|
2 |
|
122.26 |
0.40 |
|
3.39 |
|
39.45 |
|
11 |
200.03 |
|
0.40 |
|
1.41 |
|
44.35 |
|
|||||
|
3 |
|
131.01 |
0.40 |
|
1.11 |
|
41.95 |
|
12 |
227.43 |
|
0.40 |
|
2.36 |
|
44.40 |
|
|||||
|
4 |
|
203.77 |
0.40 |
|
3.93 |
|
42.56 |
|
13 |
292.29 |
|
0.40 |
|
1.08 |
|
43.64 |
|
|||||
55
Окончание табл. 31
t |
y* |
x0* |
x* |
x* |
t |
y* |
x0* |
x* |
x* |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
5 |
317.98 |
0.40 |
4.67 |
41.78 |
14 |
291.38 |
0.40 |
4.67 |
45.38 |
6 |
410.03 |
0.40 |
2.96 |
44.32 |
15 |
312.52 |
0.40 |
3.04 |
44.98 |
7 |
318.42 |
0.40 |
4.76 |
42.97 |
16 |
329.64 |
0.40 |
2.02 |
45.28 |
8 |
329.97 |
0.40 |
6.86 |
43.83 |
17 |
328.56 |
0.40 |
3.35 |
45.12 |
9 |
258.31 |
0.40 |
5.85 |
42.97 |
18 |
355.71 |
0.40 |
3.18 |
45.30 |
7. Оценка с помощью обычного МНК вектора коэффициентов регрессии bˆ = (X*'X*)−1 X*' y с использованием матричных функций Excel.
bˆ0* -2941.41
bˆ1* 14.15
bˆ2* 32.00
8. Нахождение прогнозной оценки объема продаж на следующий период При XT' +1 =(1;7,9;114,9) и с учетом того, что e T+1 коррелированно с преды-
дущим значением в выборочном периоде
' |
ˆ |
+ |
ˆ |
− |
' ˆ |
= |
815,79 |
+ |
0,60(832 |
− |
796,96) |
= |
836,39. |
(5.7) |
XT +1b |
|
p(yT |
|
XTb) |
|
|
|
|
||||||
Задание для самостоятельной работы
Задание 1. Аналитику из Воронежского филиала энергетической компании РАО ЕС РАО поручили разработать новые тарифы на электроэнергию, для чего домохозяйствам необходимо было подготовить очередной прогноз по расходам на электроэнергию. С этой целью он решил исследовать две потенциальные независимые переменные: стоимость электроэнергии для физических лиц (кВт / ч, H1) и потребление электроэнергии населением (кВт/ч, H2). За 20 временных интервалов удалось собрать информацию об этих показателях (табл. 32). Когда аналитик отчитался перед тарифной комиссией, ему задали вопрос: "Будут ли искажены ваши расчеты автокорреляцией остатков, так как данные представляют собой временную последовательность?" Ответьте на этот вопрос и рассчитайте прогноз расходов населения на электроэнергию на следующий период при условии, что стоимость электроэнергии составит 4,34 копейки. кВт / час, потребляемая мощность - 14905 кВт.
56