Учебное пособие 1864

Пример 4.4. Найти дробно-линейную функцию, отображающую единичный круг z <1 на единичный круг

ω <1.

где А — комплексная постоянная. Константа А не

61

Здесь также отображение определено не однозначно. На рис. 4.5 изображен прообраз сетки полярных координат плоскости ω . Прообразами диаметров (рис. 4.5, б) служат дуги

окружностей, перпендикулярных окружности z =1 (рис. 4.5, а); прообразами окружностей ω = r , r <1, являются также

Рис. 4.5

окружности (но не концентрические) плоскости переменного z.

4.2. Степенная функция. Понятие римановой поверхности

Поэтому отображение, осуществляемое функцией (2.1),

62

(мы уже рассматривали отображение (2.1) для случая n = 2 в

вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 <θ < nα па плоскости ω . Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (2.1) не является конформным и в точке z = ∞.

отображение (2.1) не является однолистным во всей комплексной плоскости , но является таковым внутри любого угла величиной α < 2πn с вершиной в начале

координат.

Чтобы ввести функцию, обратную степенной, нам нужны следующие определения.

Многозначной функцией комплексного переменного

называется правило (закон), по которому комплексному числу z из множества D соответствует несколько (возможно, бесконечно много) комплексных чисел ω .

Все функции, рассмотренные ранее (кроме функции Arg z ), были однозначными. Функция Arg z является

многозначной:

Arg z = arg z +2πk ,

где arg z — главное значение аргумента и k — любое целое

число. В дальнейшем под термином функция, используемым без каких-либо пояснений, подразумевается однозначная функция; многозначность изучаемых функций всегда будет оговариваться дополнительно.

Пусть функция ω = f (z) отображает область D на область Е. Обратной к функции ω = f (z) называется функция (вообще говоря, многозначная) z = g(ω) , определенная на

63

области Е, которая каждому комплексному числу ω E ставит в соответствие все комплексные числа z D , такие что f (z) =ω .

Другими словами, функция, обратная к ω = f (z) , — это

правило, по которому каждой точке ω E соответствуют все ее прообразы z D .

Если функция ω = f (z) однолистна в D, то обратная функция однозначна (и также однолистна) в Е; если ω = f (z) не однолистна, то обратная функция будет многозначной. Например, обратной к функции ω = zn является многозначная функция z = n ω : каждому значению ω , отличному от 0 и ∞, соответствует n различных корней n-й степени, определяемых

ω → 0 . Отсюда

64

области D1 : нижний край разреза области D1 склеим с верхним краем разреза области D2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза Dn−2 с верхним краем разреза Dn−1 .

Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области Dn−1 (на рис. 4.6, а это D3 ) с верхним краем разреза

области D0 . В трехмерном пространстве такую склейку

невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 4.6, б.

Рис. 4.6, б

Она называется римановой поверхностью функции ω = n z .

Над каждой точкой комплексной плоскости, отличной от 0 и ∞, расположено ровно n точек римановой поверхности. Точки x > 0 действительной полуоси не составляют исключения, так как все склейки, расположенные над ней, считаются непересекающимися. Лишь две точки не обладают этим свойством: z = 0 и z = ∞. Все листы римановой поверхности

66

расположенной на верхнем крае разреза листа D0 . Так как r =1, ϕ = 0 , k = 0 , то ω = n z =1 . При обходе первого витка

приближались, подходя к нижнему берегу разреза по листу D0 . Значит, в точках склейки D0 c D1 функция n z будет непрерывной. Аналогично показывается непрерывность корня

т.е. то самое значение, с которого мы начинали на верхнем крае разреза листа D0 . Таким образом, функция n z будет

непрерывной во всех точках римановой поверхности. Как функция, обратная к аналитической, она является также однозначной аналитической функцией на этой поверхности (кроме точек z = 0 и z = ∞).

Возьмем любую окружность z = r на комплексной

плоскости, охватывающую точку z = 0. Эта окружность будет охватывать также и точку z = ∞. Обходя контур на римановой поверхности, состоящий из точек, расположенных над этой окружностью, мы будем переходить с одного листа римановой поверхности на другой. Поэтому точки z = 0 и z = ∞ называются точками ветвления. Ни одна другая точка описанным свойством не обладает: если взять окружность с центром в точке z ≠ 0 , z ≠ ∞, не содержащую внутри себя точку 0, то соответствующие точки на римановой поверхности

68

образуют n окружностей, не связанных друг с другом. Обходя каждую из них, мы не выйдем за пределы одного и того же листа.

Однозначная аналитическая в области D функция f (z) называется регулярной ветвью многозначной функции F(z) , определенной в этой же области, если значение f (z) в каждой точке z области D совпадает с одним из значений F(z) в этой

точке.

Многозначная функция F(z) является однозначной и

аналитической на своей римановой поверхности (за исключением точек ветвления). Поэтому возможность выделить в области D регулярную ветвь означает возможность расположить эту область на римановой поверхности, не разрезая D и не задевая точек ветвления. Область D должна при этом целиком укладываться на одном листе или спускаться по склейке с одного листа на другой (как ковер по

лестнице). Например, кольцо 1 < z < 2 нельзя без разрывов

расположить на римановой поверхности функции F(z) = n z ,

n ≥ 2 , поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в

D n различных ветвей функции n z ). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Пример 4.5. Выделить регулярную ветвь f (z) функции

69

Решение. Область D является комплексной плоскостью с

положительной полуоси. Отметим, что выбор линии разреза не является принципиальным: аналогичную конструкцию можно было проделать, разрезая , например, вдоль любого луча, исходящего из начала координат.

4.3. Показательная и логарифмическая функции

1. Показательная функция ez определяется следующими соотношениями: для любого комплексного числа z = x +iy

70