Учебное пособие 1864

Тот факт, что ряд (6.1) сходится и его сумма равна S, записывается в виде

∞

S = ∑zn

n=1

Эта запись не означает, что были сложены все члены ряда (это сделать невозможно). В то же время, сложив достаточно много членов ряда, можно получить частичные суммы, сколь угодно мало отклоняющиеся от S.

Следующая теорема устанавливает связь между сходимостью ряда с комплексными членами zn = хп + iyn и рядов с действительными членами хп и уп.

Теорема 6.1. Для сходимости ряда (6.1) необходимо и

Тогда Sn =σn +iτn . Воспользуемся теперь теоремой 4.1: для

111

С помощью теоремы 6.1 многие важные свойства и утверждения, справедливые для рядов с действительными членами, сразу переносятся на ряды с комплексными членами. Перечислим некоторые из этих свойств.

∞

1°. Необходимый признак сходимости. Если ряд ∑zn

n=1

∞

∑(zn + wn ) тоже сходится и его сумма равна S +σ .

n=1

∞

3°. Пусть ряд ∑zn сходится и его сумма равна S. Тогда

n=1

∞

для любого комплексного числа λ ряд ∑(λzn ) тоже сходится

n=1

и его сумма равна λS .

4°. Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число членов, то получится также сходящийся ряд.

5°. Критерий сходимости Коши. Для сходимости ряда

∞

∑zn необходимо и достаточно, чтобы для любого числа ε > 0

n=1

112

существовало такое число N (зависящее от ε ), что при всех

также сходится.

(Другими словами, если ряд сходится абсолютно, то он сходится.)

Доказательство. Поскольку критерий сходимости Коши применим к рядам с произвольными комплексными членами, то он применим, в частности, и к рядам с действительными членами. Возьмем произвольное ε > 0. Так

комплексных чисел z и w это неравенство легко распространяется на любое конечное число слагаемых. Поэтому

113

n=1

требовалось доказать.

Из курса математического анализа известно (см., например, что утверждение, обратное теореме 6.2, неверно даже для рядов с действительными членами. А именно: из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость.

∞

Ряд ∑zn называется условно сходящимся, если этот ряд

n=1

неотрицательными членами. Поэтому к этому ряду применимы признаки сходимости, известные из курса математического анализа. Напомним без доказательства некоторые из них.

Признаки сравнения. Пусть числа zn и wn начиная с некоторого номера N удовлетворяют неравенствам zn ≤ wn , п = N, N + 1, ... Тогда:

114

При l = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

"Радикальный" признак Коши. Пусть существует

При l = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 6.3. Исследовать сходимость рядов

115

Применим признак Даламбера к ряду ∑∞ 1 e n : n=1 2 2

следует также из того, что его члены не стремятся к нулю и, следовательно, необходимое условие сходимости не выполнено. Можно воспользоваться и тем, что члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

расходится.

б) Покажем, что величины cos (i + n) ограничены одним и тем же числом. Действительно,

cos(i +n) = cosi cos n −sin i sin n ≤

≤ cos icos n + sin isin n ≤ cos i + sin i = M ,

где М — положительная постоянная. Отсюда

116

первых п членов, называется остатком (п-м остатком) ряда

∞

∑zk . В случае сходимости так же называется и сумма

k =1

∞

rn = ∑ zk

k =n+1

Легко видеть, что S = Sn + rn, где S — сумма, a Sn — частичная

∞

сумма ряда ∑zk . Отсюда сразу следует, что если ряд

k =1

сходится, то его п-й остаток стремится к пулю при n → ∞.

n=1

где f1(z), f2(z), ... — функции, определенные в некоторой области D (одной и той же всех функций fn(z)).

Зафиксировав точку z D , мы получим числовой ряд. Этот ряд может в одних точках сходиться, в других расходиться. Если в точке z ряд сходится (расходится), то z называется точкой сходимости (соответственно, точкой расходимости) ряда. Множество всех точек z из области D, в

∞

которых ряд ∑ fn (z) сходится, называется множеством

n=1

сходимости функционального ряда. Для каждой точки z из множества сходимости определена сумма S(z) ряда (2.1).

117

Таким образом, сумма S(z) ряда (2.1) является функцией, определенной на множестве сходимости этого ряда.

Пусть ряд (2.1) сходится во всех точках области D.

Ряд (2.1) называется равномерно сходящимся в области D к функции S(z), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N, зависящий от ε , что для всех п > N и всех точек

n

Sn (z) = ∑ fk (z) - частичная сумма ряда (2.1).

k =1

Поясним смысл этого определения. Пусть задано сколь угодно малое число ε > 0 — допустимое отклонение частичных сумм от суммы S(z), и пусть ряд (2.1) сходится равномерно. Тогда, сложив достаточно большое число п членов ряда, мы получим частичную сумму Sn(z), которая отклоняется от S(z) не более чем на ε сразу во всех точках z из D. Это и означает, что приближение суммы S(z) частичными суммами Sn(z) происходит равномерно во всей области D.

Если функциональный ряд сходится в области то вовсе не обязательно, что он сходится в D равномерно.

Пример 6.1. Рассмотрим ряд

k =0

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = z. По формуле для суммы первых п членов геометрической прогрессии имеем

118

Таким образом, ряд (20.2) сходится в круге z <1, и его сумма

S (z)= 1−1 z

Исследуем, будет ли этот ряд сходиться равномерно. Зафиксируем некоторое ε > 0. Если ряд сходится равномерно, то найдется такое N, что при п > N выполняется неравенство

выполняться для всех z из единичного круга и, следовательно, равномерной сходимости в этом круге нет.

В то же время в любом круге z < r радиуса r < 1 ряд

(6.2) будет сходиться равномерно. Это следует из того, что в силу (6.3)

119

вытекает из первого признака сравнения. Для доказательства равномерной сходимости возьмем произвольное ε > 0. Так как

нулю при n → ∞. Поэтому найдется такое К > N, что при п > К будет rn <ε . Используя неравенства fk (z) ≤ ak , верные при всех k > К, получаем

S(z) −Sn (z) = fn+1 (z) + fn+2 (z) +... ≤

≤ fn+1 (z) + fn+2 (z) +... ≤ an+1 +an+2 + ... = rn < ε

Итак, для любого ε > 0 найдется такое число К, что для всех п > К и всех точек z из D будет S(z) −Sn (z) <ε . Это и

∞

означает, что ряд ∑ fn (z) сходится в D равномерно. Теорема

n=1

6.2 доказана.

∞

Ряд ∑an называется мажорирующим рядом для ряда

n=1

∞

∑ fn (z)

n=1

Перейдем к изложению основных свойств равномерно сходящихся рядов.

Теорема 6.3. Если члены ряда (6.1) являются функциями, непрерывными в области D, и ряд (6.1) сходится в этой области равномерно, то его сумма S(z) также непрерывна в D.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε > 0 и точку z0 из D. Так как ряд (6.1) сходится в D равномерно, то найдется такое число N, что при всех п > N будет

120