Учебное пособие 1864

zlimz f (z) = f (z0 ) .

→ 0

называется приращением функции.

3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 3.1. Производная и дифференциал.

Условия Коши—Римана. Аналитические функции

1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть функция ω = f (z) = u +iv определена в некоторой окрестности U точки z0 . Дадим независимому переменному z = x +iy приращение z = x +i y , не выводящее за пределы

Производной функции ω = f (z) в точке z0 называется

предел отношения приращения функции ω к приращению аргумента z при стремлении z к нулю (произвольным образом).

31

Предел в (1.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция ω = f (z) не имеет производной в точке z0 .

Функция ω = f (z) называется дифференцируемой в точке z0 , если она определена в некоторой окрестности U

Дифференциал есть главная линейная часть приращения

Решение. По условию, ω = Re z = x . В силу определения

производной, предел (1.1) не должен зависеть от того, по какому пути

Рис. 3.1 32

функция ω = Re z = x не имеет производной ни в одной точке. В то же время функция ω = z = x +iy , очевидно, имеет производную в любой точке z0 , и f ′(z0 ) =1. Отсюда ясно, что

действительная и мнимая части дифференцируемой функции f (z) не могут быть произвольными; они должны быть

связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной f ′(z0 ) существенно более

ограничено, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (1.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка z = z0 + z приближается к

z0 при z → 0 . Для вывода указанных соотношений

напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

P0 (x0 , y0 ) , если она определена в некоторой окрестности точки

33

Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (1.6) равносильно системе равенств

Равенства (1.7) означают, что функции u(x, y) и v(x, y)

удовлетворяют условию (1.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при x и y

равны частным производным по х и у соответственно, то из (1.7) получаем

u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0 , y0 ) и v(x, y) и

применяя (1.4), придем к равенствам (1.8). Из (1.8) и условия дифференцируемости функций u(x, y) , v(x, y) имеем

равенства

35

ω = u +i v = A z +α( z) z, ,

Таким образом, условия (1.4) Коши-Римана выполнены в

каждой точке; значит, функция ω = z2 будет дифференцируемой в .

Пример 3.3. Исследовать дифференцируемость функции

ω = z = x −iy .

Решение. ω = u +iv = x −iy, откуда u = x , v = −y и

Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в

одной точке, и, следовательно, функция ω = z нигде не дифференцируема.

Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (1.1).

36

Пример 3.4. Используя формулу (1.1), исследовать

точке z0 , и ее производная f ′(z0 ) = 2z0 .

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f (z) дифференцируема в точке z0 , то она

непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке z0 . Если f (z) является аналитической в каждой точке

области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

всех точках области D, в которых g(z) ≠ 0 .

37

Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция u = u(z) аналитична в

области D и отображает D в область D′ переменного u , а функция ω = f (u) аналитична в области D′, то сложная

функция ω = f (u(z)) переменного z аналитична в D.

Введем понятие функции, аналитической в замкнутой

области D . Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности,

принадлежащей D ; поэтому производная в этих точках не определена. Функция f (z) называется аналитической

(регулярной, голоморфной) в замкнутой области D , если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую

область D1 , содержащую D , до аналитической в D1 функции.

3.2. Связь между аналитическими и гармоническими функциями

Действительная функция u = u(x, y) двух переменных х и

у называется гармонической в области D, если она определена в D, имеет всюду в D непрерывные частные производные первого и второго порядков и удовлетворяет в каждой точке из D уравнению Лапласа:

Уравнение Лапласа и гармонические функции играют важную роль в физике и технике. Например, установившееся распределение температуры в области D, потенциал электрического поля в областях, свободных от зарядов, являются гармоническими функциями. В гидродинамике потенциал скоростей и функция тока безвихревых плоских

38

течений несжимаемой идеальной жидкости также являются гармоническими функциями. Связь между аналитическими и гармоническими функциями, которая будет изучена в данном разделе, используются в разнообразных приложениях аналитических функций.

Теорема 2.1. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями.

Доказательство. Пусть функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) аналитична в области D. Надо доказать, что функции u(x, y) и v(x, y) являются гармоническими в D. Нам понадобится

следующий факт: действительная и мнимая части аналитической функции имеют непрерывные частные производные первого и второго порядков.

Из курса математического анализа известно, что если действительная функция v(x, y) имеет непрерывные частные

производные первого и второго порядков, то ∂2v = ∂2v .

∂y∂x ∂x∂y

Складывая равенства (2.2), придем к уравнению (2.1), что нам и требовалось.

пример 3.1), хотя функции u = x , v = 0 — гармонические. Чтобы функция f (z) = u +iv была аналитической, функции u

и v должны не только быть гармоническими, но и

39

удовлетворять условиям (1.4). Гармоническая функция v , связанная с гармонической функцией u условиями КошиРимана (1.4), называется сопряженной с u . Из теорем 1.1 и 1.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.2. Для того чтобы две гармонические функции

сопряженной с u .

Пусть в односвязной области D задана гармоническая

Тогда для мнимой части v = v(x, y) из условий (1.4) находим

Таким образом, задав функцию u , мы можем найти частные производные функции v . Известно, что функция нескольких переменных в односвязной области D восстанавливается по своим частным производным однозначно с точностью до постоянного слагаемого (один из способов такого восстановления будет показан в примере 2.3). Итак, задав гармоническую функцию u в односвязной области D, мы можем однозначно с точностью до постоянного слагаемого найти сопряженную с ней функцию v и тем самым восстановить аналитическую функцию

Аналогично f (z) восстанавливается (с точностью до

постоянного слагаемого) и по своей мнимой части v .

Пример 2.3. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть

v = 4xy + y .

(Нетрудно видеть, что данная функция v будет

гармонической, поскольку ∂2v = ∂2v = 0 .)

∂x2 ∂y2

40