Учебное пособие 1864

Для точек z γ3 (R) имеем z = R(cosϕ+i sin ϕ) , dz = Rdϕ, 0 ≤ϕ≤π , и

Заметим, что ∫ e−t Rsinϕdϕ= ∫ e−t Rsinϕdϕ; этот факт легко дока-

На участке [0, π2] график синуса лежит выше отрезка прямой

181

Таким образом, в случае a > 0 теорема доказана. Если a ≤0 ,

отсутствуют. Для γ(R) справедливы рассуждения, проведенные выше для γ3 (R), и теорема 4.6 полностью доказана.

Смысл теоремы 4.6 состоит в том, что функция F (z) может стремиться к нулю сколь угодно медленно (заметим, что в примере 4.5 убывание функции f (z) при z →∞ было

окружности z = R , лежащую в полуплоскости Im z ≤−a (на рис. 7.3 показана пунктиром). Доказательство в этом случае

182

Таким образом, действительная и мнимая части функции f (x) и являются теми функциями, интегралы от которых нужно

возьмем от него действительную и мнимую части, то получим искомые величины.

расположенная в полуплоскости Im z ≥0 , то согласно теореме

4.6

z1 = 3i — полюс первого порядка. Вычет в этой точке можно найти либо по формуле (7.5), либо по формуле (7.6).

183

Действительная и мнимая части полученного числа и будут искомыми интегралами:

(Заметим, что равенство нулю первого из этих интегралов непосредственно следует из того, что он является интегралом от нечетной функции по интервалу, симметричному относительно начала координат.)

7.4. Логарифмический вычет и принцип аргумента

Рассмотрим многозначную функцию

L n f (z)= ln f (z) +i Arg f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk),

k = 0,±1,±2,...

Во всех точках z , в которых f (z) аналитична и не обращается в нуль, Ln f (z) будет многозначной

аналитической функцией. Каждая ее ветвь, получаемая выбором конкретного значения k , является однозначной аналитической функцией в некоторой окрестности точки z . Эти ветви отличаются на постоянное слагаемое, и поэтому их

производные совпадают. Производная функции Ln f (z), равная

184

(Ln f (z))′ = f 1(z) f ′(z)= ff ′((zz)) ,

называется логарифмической производной функции f (z); она является однозначной аналитической функцией всюду, за исключением особых точек и нулей функции f (z). Вычет

f ′(z)= ((z −z0 )n ϕ(z))′ = n(z −z0 )n−1 ϕ(z)+(z −z0 )n ϕ′(z),

185

следовательно, раскладывается в этой окрестности в ряд Тейлора:

коэффициент c−1 при (z −z0 )−1 равен n . Следовательно, (см. (7.4))

Отсюда и из определения вычета (27.1) получаем

что и требовалось доказать.

В следующих далее теоремах будет установлена связь между количеством нулей и полюсов функции f (z) внутри

области и поведением f (z) на границе области. При подсчете количества нулей и полюсов мы примем следующее

186

соглашение: каждый нуль и полюс считается столько раз, каков его порядок.

Теорема 4.2 (теорема о логарифмическом вычете). Пусть

Γ — замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках

внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда

внутри Γ, подсчитанных с учетом кратности; обход контура Γ предполагается таким, что точки, лежащие внутри Γ, остаются слева.

полюсов, то функция G(z) аналитична во всех точках контура Γ. Внутри Γ функция G(z) имеет лишь конечное число особых точек, являющихся нулями и полюсами функции f (z). Значит, к функции G(z) применима теорема 4.1 о

где ak , k =1, 2,...,l и bk , k =1, 2,..., m , - соответственно нули и полюсы функции G(z). В силу теоремы 4.1

187

где nk и pk — порядки нуля и полюса ak соответственно. Подсчитывая нули и полюсы с учетом кратности, получим

Подставляя эти равенства в (7.28), приходим к соотношению (7.27), что нам и требовалось.

Величина в левой части (7.27) называется логарифмическим вычетом функции f (z) относительно

контура Γ; этим и объясняется название теоремы 4.2. Мы покажем, что эта величина имеет геометрический смысл и, следовательно, теорема 4.2 выражает определенное геометрическое свойство отображения, осуществляемого

функцией ω = f (z).

Зафиксируем на Γ произвольную точку z0 (рис. 7.4, а). Ей соответствует точка ω0 = f (z0 ) плоскости переменного ω (рис. 51, б). Если точка z движется по Γ начиная от z0 , то соответствующая точка ω = f (z) будет описывать некоторую

188

них, чтобы при движении по C аргумент числа ω менялся непрерывно. Это значение аргумента обозначим ϕ(ω) . При

возвращении в ω0 после обхода пути C значение ϕ(ω) будет приближаться к некоторому числу ϕ(ω0 ), которое не обязано совпадать с исходным значением arg ω0 . Таким образом, при

очевидно, равно числу оборотов вокруг точки ω = 0 , которое сделает вектор ω при обходе точкой ω пути C , умноженному на 2π (при каждом обороте аргумент изменяется на 2π). На рис. 7.4, б число оборотов равно 2.

функции f (z). Пусть, далее, f (z) аналитична во всех точках

внутри Γ, за исключением конечного числа полюсов, и не имеет на Γ ни нулей, ни полюсов. Тогда приращение

аргумента числа ω = f (z) при обходе точкой z контура Γ равно 2π(N −P):

189

где N и Р — число нулей и полюсов функции f (z) внутри Γ, взятых с учетом кратности. Другими словами, число оборотов вектора f (z), сделанных им при обходе точкой z контура Γ, равно N −P .

Доказательство. Пусть, как и выше, ϕ(ω) — непрерывно изменяющийся аргумент числа ω . Рассмотрим функцию Φ(z)= ln f (z) +iϕ( f (z)). В окрестности каждой точки z Γ

функция Φ(z) совпадает с одной из ветвей многозначной аналитической функции

Ln f (z)= ln f (z) +i(arg f (z)+ 2πk). Поэтому Φ′(z)=(Ln f (z))′ = ff′((zz)) .

Следовательно, непрерывная на Γ функция Φ(z) является

непрерывной функцией на Γ, то при возвращении точки z в z0 этот логарифм примет начальное значение ln f (z0 ) и его

190