Учебное пособие 1651
.pdfik u |
|
ikju j |
|
|
i 1,2 |
k 1,2,3,4 |
|||||
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.93) |
|
|
|||
Из равенства (2.93), граничных условий (2.71) и |
|||||||||||
начальных |
условий |
(2.75) |
|
следует, что частные решения |
|||||||
11 u |
и 22 |
u |
имеют вид |
|
|
|
|
||||
|
|
11 |
u |
1 |
|
Cju |
j |
|
(2.94) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
j |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
u |
1 |
d ju |
j |
|
|
(2.95) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
j |
3 |
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (2.95) и равенств (2.67), (2.71). (2.75) |
|||||||||||
следует, что частное решение |
21 u имеет вид |
||||||||||
|
21 |
u |
|
u |
|
d ju |
j |
1 |
|
(2.96) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
3 |
|
|
|
|
|
|
Заменив |
в |
равенстве |
(2.96) |
J |
1на m , получим |
||||||
следующее выражение для частного решения |
|
||||||||||
21 u |
|
u |
dm u |
m |
|
|
(2.97) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 4 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставив |
частное |
решение |
11 |
в виде (2.94) в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение (4 92), получим следующие соотношения:
71
j j 1 j 2 j 3 Cju j 4 |
B n Cju j |
A jC ju j |
j 4 |
j 4 |
j 4 |
|
(2.98) |
|
Приравняв в соотношениях (2.98) коэффициенты при одинаковых степенях u , получим следующую рекуррентную
формулу для определения коэффициентов CJ
: |
|
|
|
|
|
|
Cj |
B |
n |
jA Cj |
4 |
|
(2.99) |
j j |
1 j |
2 j |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Из соотношения (2.94) следует, что |
|
|||||
C0 1; C1 |
C2 |
C3 |
0 |
(2.100) |
Из формулы (2.99) и равенств (2.100) следует, что отличными от нуля будут только те коэффициенты CJ , у которых
значение индекса J кратно четырем, т.е. удовлетворяет соотношению
j |
4m 4 |
|
|
|
(2.101) |
С учетом соотношения (2.101) частное решение (2.94) |
|||||
можно представить в виде |
|
|
|
|
|
11 u |
1 |
Cmu |
4m |
4 |
(2.102) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
m2
Сучетом (2.101) формула (2.99) принимает вид
Cm n |
B |
|
n |
4m |
4 A Cm 1 |
(2.103) |
|||
4m |
4 |
4m |
5 |
4m |
6 |
4m |
7 |
|
|
|
|
72
Из равенства (2.102) следует, что при
m 1 |
Cm 1 |
(2.104) |
Аналогично, подставив в частное решение (2.97) в уравнение (2.92), получим следующие соотношения
:
m m 1 m 2 m 3 dmum 4 B n |
dmum |
m 4 |
m 4 |
A mdmum
m 4
(2.105)
Приравняв в соотношениях (2.105) коэффициенты при одинаковых степенях u, получим следующую рекуррентную
формулу для определения коэффициентов dm :
dm |
B |
n mA dm 4 |
(2.106) |
|
m m |
1 m 2 m |
3 |
|
|
|
|
Из уравнения (2.96) непосредственно следует, что
d0 0 |
d1 1 |
d2 d3 0 |
(2.I07)
Из формулы (2.106) и равенств (2.107) следует, что отличными от нуля являются только те коэффициенты dm , для индексов которых выполняется соотношение
j 4m 3 |
(2.I08) |
С учетом соотношения (2.108) частное решение (2.97) можно представить в виде
73
21 u |
u |
|
d ju |
4 j 3 |
(2.109) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
2 |
|
|
|
C учетом (2.108) рекуррентная формула (2.106) |
|||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
d j n |
|
B |
n |
4 j 3 A d j 1 |
|
(2.110) |
|
|
4 j 3 4 j 4 4 j 5 4 j 6 |
||||||
|
|
||||||
Из равенства (2.109) следует, что при |
|
|
|||||
|
|
j |
1 |
|
d j 1 |
|
|
Из равенств (2.102), (2.109) и равенств (2.65), (2.67)
следует, что значения частных решений k u можно представить в виде
|
12 u |
|
4m |
|
4 Cm |
n u |
4m |
5 |
|
|
|
|
(2.111) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 u |
|
4m |
4 4m 5 Cm |
|
n |
|
u |
4m |
6 |
(2.112) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
u |
4m |
4 4m |
5 4m |
6 C |
m |
n |
u 4m |
5 |
(2.113) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 u |
4m |
3 dm |
n u |
4m |
|
4 |
|
1 |
|
(2.114) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 u |
|
4m |
3 4m |
4 dm |
|
u |
4m |
5 |
|
|
(2.115) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
m |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 u |
4m 3 4m 4 4m 5 dm |
|
|
u 4m |
|
6 |
(2.116) |
|||||||
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
74
С учетом равенств (2.111)-(2.116) характеристическое уравнение для определения собственных частот сверхзвукового самолета (2.80) и уравнение (2.85) для форм собственных нормированных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета принимают вид
l
Рис. 2.2 Зависимость собственной частоты колебаний самолета от аэродинамической силы
75
Рис. 2.3 Зависимость формы колебаний от величины аэродинамической силы
D |
|
|
4m |
4 4m |
5 Cm n u 4m 6 |
4m 3 4m |
4 4m 5 |
|||||
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
dm |
|
u 4m 6 |
|
|
4m 4 4m 5 4m 6 Cm |
u 4m 7 |
|
|||||
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4m |
3 4m |
4 dm u 4m 5 |
|
|
|
|
||||||
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.117) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4m |
4 4m |
5 Cm |
4m 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u 4m 4 |
|
||||
y |
|
u |
1 |
C |
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
n |
m |
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
4m |
3 4m |
4 d |
m |
u 4m 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
u |
dm u 4m 3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.118)
В соответствии с изложенным упрощенным методом определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как однородной свободной балки разработана программа вычислений на ЭВМ.
На рис. 2.2 и 2.3 приведены, как один из результатов
исследований, зависимости параметра ,связанного с частотой собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета соотношением
2 |
EJ z |
|
|
n |
ml |
4 |
, |
|
|
|
76
и нормированной формы первого тона собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета от обобщенного параметра A, характеризующего степень аэродинамического совершенства сверхзвукового самолета.
Из приведенных графиков видно, что учет аэродинамических сил приводит к уменьшению собственной частоты аэроупругих колебаний самолета.
2.7. Уравнения вынужденных аэроупругих колебаний
Зная формы и частоты собственных аэроупругих колебаний, сверхзвуковой самолет можно рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы, обобщенные координаты которой являются функциями времени.
Действительно, зная формулы собственных аэроупругих колебаний, вынужденные аэроупругие колебания сверхзвукового самолета можно разложить в ряд по собственным формам, т.е. представить в виде :
yB |
x, t |
yx n x yn |
t , |
|
(2.119) |
|
n |
1 |
|
|
|
где yxn |
x - формы собственных аэроупругих колебаний; |
||||
yn t |
обобщенные координаты. |
|
|
||
Если формы собственных аэроупругих колебаний |
|||||
определять таким |
образом, |
чтобы |
yxn 0 |
1, то |
обобщенные координаты будут описывать поперечные перемещения начального сечения сверхзвукового самолета в процессе аэроупругих колебаний в турбулентной атмосфере.
Используя введенные обобщенные координаты, составим уравнения вынужденных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки в турбулентной атмосфере. Для этого воспользуемся уравнением Лагранжа,
77
которое для рассматриваемого случая можно представить в виде [7]:
d |
|
T |
|
T |
(2.120) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Qn |
|
|
yn |
|
yn |
|
||
dt |
|
|
|
yn |
где Т - кинетическая энергия аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета;
П - потенциальная энергия аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета;
Qn - обобщенная внешняя сила.
Выразим кинетическую и потенциальную энергию аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета, а также обобщенные внешние силы, через обобщенные координаты аэроупругих колебаний.
Из равенства (2.119) следует, что при вынужденных аэроупругих колебаниях скорость поперечного смещения любого сечения сверхзвукового самолета
yB |
yx n |
x yn |
t |
(2.121) |
t |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
С учетом равенства (2.121) кинетическую энергию бесконечно малого участка сверхзвукового самолета длиной
dx можно представить в виде:
|
1 |
|
|
2 |
|
dT |
m x dx yx n x yn t |
(2.122) |
|||
|
|||||
2 |
|||||
|
|||||
|
|
n 1 |
|
||
где m x - |
погонная |
масса сверхзвукового самолета как |
|||
балки. |
|
|
|
|
78
Из равенства (2.122), после интегрирования последнего, получим следующее, выражение для кинетической энергии аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
T |
m x |
y |
|
x y |
|
t dx (2.123) |
|
|
x n |
n |
|||||
|
2 0 |
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
где l - длина сверхзвукового самолета как балки.
Потенциальная энергия упругих деформаций бесконечно малого участка сверхзвукового самолета длиной
dx , представляющая собой работу восстанавливающих упругих сил на этом участке, равна
|
|
d |
|
1 |
|
Mизг |
x, t d |
x, t |
(2.124) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Mизг |
|
x, t - |
изгибающий |
момент, |
действующий на |
||||||||
рассматриваемом участке; |
|
|
|
|||||||||||
|
d |
x, t |
- |
угол поворота сечений рассматриваемого |
||||||||||
участка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Mизг |
x, t |
EJz x |
|
2 yB x, t |
|
(2.125) |
||||||
|
|
|
x2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
EJz x |
- |
изгибная жесткость сверхзвукового самолета |
|||||||||||
как балки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол поворота сечений выделенного элемента за счет |
|||||||||||||
изгиба осевой линии равен |
|
|
|
|||||||||||
|
|
d |
x, t |
|
|
dx |
|
|
(2.126) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x, t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
x, t |
- радиус кривизны осевой линии. |
79
Учитывая, что
1
|
x, t |
|
2 yB x, t |
, |
|
(2.127) |
|||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенство (2.126) можно приближенно представить в виде |
|||||||||||
d |
|
|
x |
|
2 yB x, t |
|
dx |
|
(2.I28) |
||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом соотношений (2.128) и (2.128) равенство |
|||||||||||
(2.124) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 yB |
x, t |
2 |
|
|
d |
EJz x |
|
dx |
(2.129) |
|||||||
2 |
|
x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Используя соотношение- (2.119), равенство (2.129) |
|||||||||||
представим в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
d |
EJz x |
|
yx n x yn t dx |
(2.130) |
|||||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
Из равенства (2.130), после интегрирования последнего, получим следующее выражение для потенциальной энергии аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:
1 |
|
2 |
|
|
EJz x |
yx n x yn t dx |
(2.131) |
||
|
||||
2 |
|
|||
0 |
n 1 |
|
Для определения обобщенных внешних сил воспользуемся равенством
80