Учебное пособие 1651

где Jm - момент инерции масс сверхзвукового самолета как балки.

Из (2.56) следует, что

Согласно (2.55), величина y1n определяет смещение

центра масс сверхзвукового самолета под действием аэродинамических сил, вызванных аэроупругими колебаниями,

определяет угол поворота продольной оси сверхзвукового самолета под действием аэродинамических сил, вызванных аэроупругими колебаниями сверхзвукового самолета,

соответствующая n -ной форме собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки, находящейся под действием массовых и аэродинамических сил, вызванных аэроупругими колебаниями сверхзвукового самолета, определяется следующим равенством:

61

m x y2xn x dx

0

n 1,2,3...

(2.58)

С учетом (2.37), равенство (2.58) принимает вид:

формулу Релея для определения собственной частоты свободной балки, колеблющейся в пустоте.

2.5. Определение форм и частот собственных аэроупругих колебаний

Как уже отмечалось, уравнение (2.32), описывающее формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки, не имеет общих методов решения, даже если пренебречь изменением массы и жесткости по длине сверхзвукового самолета.

В силу этого решение уравнения (2.32), удовлетворявшее граничным условиям (2.33), (2.34), может быть получено только численными методами.

62

Одним из наиболее распространенных численных методов определения форм и частот собственных колебаний различных сложных устройств является метод прогонки, называемый также методом начальных параметров [9].

Суть этого метода состоит в том, что частота собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки, входящая в уравнение (2.32), рассматривается как параметр, значением которого, так же как и недостающими условиями в начальной точке, задаются при численном интегрировании уравнения (2.32).

Полученные при произвольном значении частоты как параметра численные решения уравнения (2.32) не будут, в общем случае, удовлетворять граничным условиям в конечной точке.

Однако, если надлежащим образом выбрать недостающие условия в начальной точке и численно проинтегрировать уравнение (2.32) при различных значениях частоты как параметра, т.е. выполнить прогонку по частоте, то можно найти значения частоты, при которых граничные условия в конечной точке будут выполнены с заданной точностью.

Именно эти значения частоты как параметра и являются собственными частотами аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки.

Соответствующие им численные решения уравнения (2.32) описывают формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки.

Рассмотрим алгоритм решения уравнения (2.32) методом начальных параметров.

Введем дополнительные функции, определяемые следующими соотношениями:

63

Используя равенства (2.60)-(2.63), сведем уравнение (2.13) к следующей системе из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

Используя векторно-матричную форму записи, уравнения (2.64)-(2.67) можно представить в виде

С учетом соотношений (2.62), (2.63) граничные условия

(2.33) (2.34) принимают вид:

64

Как известно, матричное уравнение (2.68), состоящее из четырех дифференциальных уравнений первого порядка, имеет четыре линейно независимых частных решения, так что его решение можно представить в виде

интегрирования уравнения ( 2. 68) при фиксированном значении частоты как параметра и при следующих начальных условиях:

65

соответствующие собственным аэроупругим колебаниям сверхзвукового самолета как свободной балки:

(2.80)

Таким образом, задача об определении частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки методом начальных параметров сведена к определению методом прогонки корней уравнений (2.80), слагаемые которого, в свою очередь, определяются в результате численного интегрирования уравнения (2.68) при начальных условиях (2.75).

Из уравнений (2.77), (2.78) следует, что при значениях частоты n , соответствующих собственным аэроупругим колебаниям сверхзвукового самолета как свободной балки,

Из равенств (2.60) и (2.82) следует, что при найденных значениях собственных частот формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки определяются следующим соотношением:

67

уравнение (2.83), определим из условия нормирования форм собственных аэроупругих колебаний на левом конце сверхзвукового самолета как балки, т.е. из условия, что нормированные формы аэроупругих колебаний определяются равенством

Из сравнения равенств (2.83) и (2.84) следует, что нормированные формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки равны

Определение собственных частот аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета, как корней уравнения (.2.80), выполняется в два этапа.

На первом этапа производится определение интервала частот, в пределах которого находится корень, уравнения

(2.80).

На втором этапе производится сужение границ этого интервала.

Определение границ интервала, содержащего корень уравнения (2.80), основано на известной теорема математического анализа, утверждающей, что если на

68

этого интервала имеют разный знак.

Сужение границ интервала, содержащего корень уравнения, производится методом деления интервала пополам. В качестве нового интервала нахождения корня принимается тот полуинтервал, на границах которого значения функции.

D имеют разные знаки.

В соответствии с изложенным алгоритмом, разработана программа определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета.

2.6. Упрощенный метод определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний

При сверхзвуковых скоростях полета из поршневой теории следует, что

где H - отношение удельных теплоемкостей воздуха;

p- статическое давление;

x - местный размах крыла;

М- число Маха.

Несмотря на разнообразие форм в плане крыльев сверхзвуковых самолетов, все эти формы близки к треугольной форме крала в плане. Поэтому в первом приближении можно принять, что

где x - размах крыльев.

69

В большинстве случаев масса и жесткость мало меняется по длине сверхзвукового самолета, так что в первом приближения можно принять, что

Рассмотренный в предыдущем параграфе метод прогонки можно в применении к уравнению (2.92) упростить, если частные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей уравнению (2.92), искать в виде следующих рядов:

70