Учебное пособие 1498

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Итак, y (x)

, чтосоответствует таблицепроизводных.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Продолжение таблицы 2

x x

loga x x

loga x

loga

loga x

lim

x 0

log

см.формулу

lim

;

lna

x x 0

(2.6)

sin x x sin x

2sin

x x x

cos

x x x

sin x

lim

x 0

2sin

cos x

2sin

1 cosx;

lim

limcos x

x 0

=sin(π/2 – х))' = cos(π/2 – х)·(π/2 – х)' = –sin x;

cosx

sin x cosx cos x sin x

cos2

x sin2 x

sin x

cosx 2

cos2

tgx

cosx

Аналогично выводится производная функции котангенс.

Вывод будет приведен в разделе 4.7

–

дифференцируе-

arctgx

мость обратных функций.

Вывод будет приведен в разделе 4.7

–

дифференцируе-

arcsinx

мость обратных функций.

Примеры.

1) Вычислить производную функции y 4x5

Функция является элементарной,

так как составлена из основ-

ных элементарных функций с применением арифметических операций над ними, тогда для нахождения производной применим формулы дифференцирования:

					а) (u v w) u v w ;							б) (c u) c u ;
					в) (u ) u 1;							г) (c) 0.
		5						5						5			14
y	(4x		4	x 2)		a),б)	(4x			4	x)	(2)	4(x		)	3(x		)	(2)
			3						)	(3

в),с) 4 5x4 3 1 x 34 0 20x4 3 .

444 x3

2)Вычислить производную функции y (x3 4) (5x 1).

Применим формулу производной произведения двух функций (u v) u v u v и формулы б) и в) из примера 1.

В нашем случае u x3

v 5x 1.

4)(5x

(5x 1) (x

4) 5 20x

20.

4) (5x 1) (x

3) Вычислить производную функции

3x5

2 x4

Воспользуемся формулой производной частного двух функций

u v u v

. В данном примере u x5,

v a2

x4.

) x

)

) x

( 4x

y 3

(a2 x4 )2

a2 x4

5x4a2 5x8 4x8

5x4a2 x8

(a2 x4 )2

4) Вычислить производную функции

cos(7x 2)

В этом примере необходимо применять формулы дифференцирования частного двух функций и дифференцирования сложной функции (функции от функции), а для такой функции y u(v(x)) про-

изводная вычисляется по формуле u x uv

(v) vx (x).

(cos(7x 2)) x2 cos(7x 2)(x2 )'

sin(7x 2)(7x 2) x2

2x cos(7x 2)

x2 2

7x2 sin(7x 2) 2x cos(7x 2)

7x sin(7x 2) 2 cos(7x 2)

5) Вычислить производную функции

y arcsin

x 3

По формуле дифференцирования сложной функции имеем:

								1						1				1
								1						1				1

y	(arcsin				x	3)		1		2		x 3	1 x 3			2		x 3	(x 3)
y	(arcsin				x	3)		1	x 3	2		x 3	1 x 3			2		x 3	(x 3)
	1			1			1	1			.
							1				.
		4 x	2 x 3					2 (4 x)(x 3)
														1
		6) Вычислить производную функции												y 2	sin2 x		.

По формуле дифференцирования сложной функции имеем:

ln 2 sin 2

x (sin

2sin

ln 2 ( 2) sin 3

2sin

x cos

cos

2 ln 2 2

sin 2 x

sin 3

2 ln 2 2

sin 2 x

sin 3

v(x)

		1
7) Вычислить производную функции	y lg		sin2x .

	x

По формуле дифференцирования сложной функции имеем:

y lg

sin 2x

ln10

sin 2x

2cos

1 xsin 2x ln10

	1	sin 2x


	x

		x	1	1

xsin 2x 1			ln10
				x2

2cos 2x .

4.5. Логарифмическое дифференцирование

На практике метод логарифмического дифференцирования применяется для показательно-степенной функции y uv , где u u(x) и v v(x), или в случае, когда функция представляет собой произведение, частное, степень нескольких функций.

Суть метода заключается в следующем: 1. Логарифмируем функцию y(x) u(x) :

ln y(x) lnu(x)v(x) v(x)lnu(x);

2. Дифференцируем обе части полученного равенства ln y(x) v(x)lnu(x):

		y
			v			u (x)		;

				(x) lnu(x) v(x)
		y				u(x)
3. Выражаем y (x)	из последнего уравнения, умножив обе части
на y(x), тогда получим формулу искомой производной
	v(x)				u (x)
							.	(4.10)
y (x) u(x)		v (x) lnu(x) v(x)

					u(x)
Замечание. Запоминать				данную формулу				не рекомендуется,

проще запомнить сам прием логарифмического дифференцирования. 8) Вычислить производную функции y cos x sin x.

Так как в этом примере и основание, и показатель степени есть функции аргумента x, то имеем показательно-степенную функцию, к которой применим метод логарифмического дифференцирования:

1. Прологарифмируем y(x) cosx sin x , т.е.

ln y(x) ln cosx sin x sinxln cosx ;

2. Последнее равенство дифференцируем как сложную функцию, т.е.

sinx

(x)

ln y(x)

sin x ln cosx , тогда

cosx lncosx sin x

;

y(x)

cosx

3. Умножив обе части последнего равенства на y(x), получим

sin x

sin2 x

искомую производную y(x) cosx

cosx lncosx

cosx

9) Вычислить производную функции

x5 sin3 x 4

(1 x)2

Функция представляет собой произведение и частное большого

числа функций. Последовательно выполним все шаги метода:

1. ln y 5lnx 3lnsin x

lnx 2ln(1 x)

lnx;

cosx

;

y x

sin x

1 x

sin x

1 x

cosx

x5 sin3 x4

sin x

1 x

(1 x)2

4.6. Дифференцирование обратных функций

Пусть y f (x) дифференцируемая и строго монотонная функция. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную x как функцию, то новая функция x (y) является обратной y f (x) и по определению

(f(x)) x.				(4.11)
Теорема 4.6. Если y f (x) и	x (y)			− взаимно обратные и
дифференцируемые функции, где yx	0, то
xy	1		.	(4.12)
		yx

Доказательство. Заметим, что по условию функция y f (x) дифференцируема, тогда она непрерывна, т.е. малому приращению аргумента x 0 соответствует малое приращение функции y 0, что верно и в обратную сторону для непрерывной функции, тогда

		y	lim	1	1		1

y (x) lim						x	x (y)
	x 0 x		yx 00 x/ y		lim	x	x (y)
					lim

y 0 y

, из чего, очевидно, следует

x (y) 1 . y (x)

10) Вычислить производную функции

y arctgx.

Обратной функцией к рассматриваемой является

x(y) tgy, ее

производная x (y)

cos

, то

cos

Так как x (y)

y (x)

(x)

x (y)

1 cos

Для вычисления искомой производной осталось выразить cos2 y

через tgy x(y): cos2

cos2

cos

y sin

y 1 tg

1 x

Итак, y (x)

cos

, что соответствует таблице про-

1 x

изводных.

x (y)

11) Вычислить производную функции

y arcsinx.

Обратной функцией к рассматриваемой является

x(y) siny, ее

производная x (y) cosy.

, то есть для вычисления искомой производ-

Так как y (x)

x (y)

ной

нужно

выразить

через

x(y) siny:

x (y) cosy

x (y) cosy 1 sin2 y 1 x2 .

Аналогично вычисляются производные других обратных тригонометрических функций.

4.7. Дифференцирование функций, заданных в неявном виде

Если функция задаётся	в	виде	уравнения F(x, y) 0, где
F(x, y) выражение, содержащее	x	и y,	то y называется неявной

функцией от x (или x неявной функцией от y). В некоторых случаях уравнение удаётся разрешить относительно y (или x), и тогда можно перейти к явному заданию функции y f (x), (x (y))). В других случаях переход оказывается невозможным. Но в любых случаях найти производную возможно.

Для начала следует выбрать, какая из переменных будет считаться независимым аргументом, а значит, производную по какой переменной следует искать.

y (x)

Например, если в уравнении ln(2x y) 2x y искомой производной будет , то есть независимой переменной является x, то будем работать с уравнением вида ln(2x y(x)) 2x y(x). Далее применяем к последнему уравнению правила дифференцирования и правило дифференцирования сложной функции (см. п. 4.3). Если же в уравнении искомой производной будет x (y), т.е. свободной переменной является y, то будем работать с уравнением вида ln(2x(y) y) 2x(y) y, обе части которого будем дифференцировать по аргументу y.

Из полученного уравнения, после проведенной операции дифференцирования, выразим искомую производную.

Пример. Найти производную y (x) для функции ln(2x y) 2x y. Данная функция задана в неявном виде. Чтобы найти производную y (x), нужно обе части уравнения продифференцировать по x,

рассматривая y как функцию от x:

ln(2x y(x)) x

y(x) x

(2x y(x))x

ln2 y x

2x y(x)

для упрощения записи опустим зависимость от аргумента

ln2 y

2xy

2(y xy ) 2

ln2 y

Далееизполученногоуравнениявыразимискомуюпроизводную y :

ln2

(1 ) 2

ln2

y 1

ln2

y 1

4.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Теорема 4.7. Пусть функция задана параметрически уравнения-

x x(t),	причём в области изменения параметра t верно
ми:	причём в области изменения параметра t верно	x (t) 0
y y(t);

и обе функции дифференцируемы по аргументу t , (который называют параметром, а отсюда и название способа задания функции), тогда производная функции y по аргументу x равна:


	y (t)	.	(4.13)

y (x)

x (t)

Доказательство. Заметим, что функции x x(t) и y y(t) дифференцируемы, тогда они непрерывны в точке t0 , и сама функция непрерывна в точке М(x0;y0 ) М(x(t0 );y(t0 )). Непрерывность значит, что малому приращению аргумента t 0 соответствует малое приращение функции x 0, что верно и в обратную сторону для непрерывной функции, тогда

lim

y (t0 )

y (x0 ) lim

lim

t 0

x 0 x

tx 00 t x

lim

x (t0 )

t 0

	x 2sint2 ,
Пример. Найти производную y	(x) от функции
	y 3cost2.

Так как данная функция задана параметрически, то по формуле (4.13)

3cost2

3sint2

3 sint2

получим

tgt2 .

2sint2

2cost2 (t2 )

2 cost2

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется производной функции?

2.Какие правила дифференцирования функций Вы знаете?

3.Укажите взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции?

4.Для каких функций применяется логарифмическое дифференцирование?

5.Какая функция в точке x0 является дифференцируемой?

6.Установите соответствие между функцией и ее производной:

А)

;

y=3x arctg3x;

+arctg3x

Б)

1+9x2

y=tg3x ex ;

ln3 arctg3x+

;

1+9x2

В)

=ex

1+sin3x

;

y= arctg3x ex ;

cos2 3x

Г)

=ex

6+sin6x

;

2cos2 3x

Д)

arctg3x+

1+9x2

7. Продифференцируйте функции:

1/x

2x 33

;

у esin x 2 ln x;

3 x

у 5tgx/ 4 2x3 ;

у e 3x 2 ln x2 1 ;

у cosx/ 4x2 3 ;

у 205

;

у arctg

;

x4 3x2

6 3x x2

10. у 1 arccos4x2 .

§ 5. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции, одного из важнейших понятий высшей математики.

Пусть функция y f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x, то есть в точке x существует конечная производная f (x).

Определение 5. Главную (линейную) часть приращения функции называют дифференциалом в точке x и обозначают dy (или df (x)).

Рис. 15. Полное приращение y и дифференциал функции dy [15]

Из рис. 15 видно, что дифференциалом функции является отрезок АВ, для определения его длины рассмотрим прямоугольныйABM , в котором катет AB dy, катет AM x есть приращение ар-

гумента, то tg AB dy .

AM x

С другой стороны tg y (x0 ).

Приравнивая правые части, получим	dy	y (x0 ), т.е. dy y (x) x,
Приравнивая правые части, получим		y (x0 ), т.е. dy y (x) x,
или, что то же самое,	x
или, что то же самое,	(5.1)
dy(x) y (x)dx	(5.1)

(для функции у = х легко проверить, что дифференциал независимой переменной dx совпадает с ее приращением x, поэтому всегда

x dx).

При небольшом изменении аргумента разница между дифференциалом функции AB dy и приращением AN y очень мала (это очевидно, если значение x на рис. 15 взять поменьше). Это свойство

дифференциала используется			в приближенных	вычислениях:
dy(x) y	y y (x)dx	f (x0	x) f (x0 ) f (x0 ) x,	окончательно
получим формулу приближенного вычисления:
	f (x0	x) f (x0 ) f (x0 ) x,		(5.2)
где (x0 x) –	точка, в которой следует вычислить значение функции,

а x0 – такая точка, близкая к заданной, значение функции в которой легко вычисляется.

Пример 1. Вычислить 38,02.

Рассмотрим функцию y 3x . За x0 выбираем значение, наиболее близкое к подкоренному выражению, корень кубический из кото-

рого				есть целое								число. В								нашем		случае					x0		8,			тогда x 0,02,
				3				1												1		1
				3				1												1		1
f	(x)				x							, а f (x0 ) f 8													.


									x2
						33			x2											33 64		12						1
			Итак, по формуле (5.2) имеем: 3																					3						0,02 2,002.
																					8,02					8
																					8,02					8
			Пример 2. Вычислить cos590 .																								12
			Пример 2. Вычислить cos590 .
			Рассмотрим функцию y cos x,																				x0 600 .				Перейдем к радианам:
x0				, x 10											3,14			.


		3								180					180					sin x			и ее				значение в								точке x0 :
			Вычислим								f		(x) (cos x)							sin x			и ее				значение в								точке x0 :

														1,732			0,866.
f (x0 ) sin												3		1,732
f (x0 ) sin										2
					3					2					2
Итак, по формуле (5.2):																			0
															cos59					f (x0 )			f (x0 ) x f									f			x
															cos59					f (x0 )			f (x0 ) x f									f		3	x
																													3					3
											3,14				1																		0	0,5150.
=cos				( sin			)									0,866 0,0174 0,5150															cos59
=cos		3		( sin		3	)				180				2	0,866 0,0174 0,5150															cos59
		3				3					180				2
																				49

§ 6. Свойства дифференцируемых функций на интервале

Теорема 6.1. (Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема в интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то в интервале (а, b) существует точка , a < < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

f ( ) 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы в интервале (a, b) существует такая точка , что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Оx. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает, что существует по крайней мере одна такая точка.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно.

Пусть M m (иначе f(x)=const). Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b], без ущерба общности пусть это будет М. Обозначим через , a < < b точку, в которой f( ) = M. Так как М – наибольшее значение функции, то для любого х (будем считать, что точка ( + х) находится внутри рассматриваемого интервала) и верно неравенство:

		f( ) = f( + x) – f( ) 0.
	f ( )	0,	если	x 0,
При этом				но так как по условию про-
При этом	x		если	но так как по условию про-
	x	0,	если	x 0,

изводная в точке существует, то существует и предел lim						f ( )	. По-
изводная в точке существует, то существует и предел lim							. По-
	f ( )			f ( )	x 0	x
скольку lim	f ( )	0 и	lim	f ( )	0, то можно сделать вывод:
скольку lim		0 и	lim		0, то можно сделать вывод:
x 0	x		x 0	x
x 0			x 0

lim f ( ) 0, т.е. f ( ) 0.

x 0 x

Следствие. Если функция f(x) на отрезке a,b удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка , a < < b, такая, что f ( ) = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.24 Mб5Учебное пособие 1492.pdf
#
30.04.20221.24 Mб3Учебное пособие 1493.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1494.pdf
#
30.04.20221.25 Mб6Учебное пособие 1495.pdf
#
30.04.20221.25 Mб17Учебное пособие 1496.pdf
#
30.04.20221.25 Mб8Учебное пособие 1498.pdf
#
30.04.20221.25 Mб5Учебное пособие 1499.pdf
#
30.04.2022206.67 Кб3Учебное пособие 15.pdf
#
30.04.2022302.53 Кб5Учебное пособие 150.pdf
#
30.04.20221.25 Mб14Учебное пособие 1500.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1501.pdf