Учебное пособие 1498

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

отношения функций при x 0 равен 1, т.е. lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Последнее приближенное равенство обозначает, что предел со-

Рис. 7. Графики функций y loge (1 x) и y x

С другой стороны, используя свойства логарифмической функ-

ции, можно заметить, что lim

loge (1 x)

lim

loge (1 x)

limloge (1 x)

x 0

x 0 x

x 0

т.е. limloge (1 x)

1, что возможно, только если

x 0

1 e.

аргумент функции логарифм равен e: lim(1 x)

x 0

Следствие 1. Если в формуле (2.4) сделать замену t

, то при

x 0 имеем t , что позволяет записать предел в виде:

1 t

lim 1

(2.5)

Отметим, что исторически предел (2.5) был сначала получен при натуральных значениях t = n N и назван вторым замечательным пределом.

Следствие 2. Вычислим предел

lim

loga (1 x)

, используя свой-

x 0

ства логарифма:

loge (1 x)

loga (1 x)

loge (1 x)

lim

loge a

lim

loga e.

x 0

loge a x 0

ln a

lim

loga (1 x)

loga e.

(2.6)

x 0

Следствие 3.

Вычислим предел lim

ax 1

. Введем замену пере-

x 0

менной ax 1 t, тогда x loga (t 1). При x 0, получим t 0.

Итак,

lim

ax 1

lim

lna.

(t 1)

loga (1 t)

x 0

t 0 log

t 0

lim

lna

t 0

lim

ax 1

lna.

(2.7)

x 0

Пример 4.

lim

x 1

3x – это неопределенность типа 1 .

x x 3

1 x

Применим 2-й замечательный предел

lim 1

, где ар-

гументом

может

быть

непрерывная

функция

1 (x)

Для этого приведем дробь

x 1

1 при

lim

x 3

(x)

xк виду 1 (x) , где (x) .

Выделим в неправильной дроби целую часть:

x 1	(x 3) 3 1	x 3	2		2			1	, здесь при
					1		1
x 3	x 3	x 3		x 3	1	x 3	1	x 3
								2
								2

x имеем (x) х 3 .

x 1 3x		1
			(x)

После представляем выражение

в виде 1

(x)

x 3

x 1

x 3

Так как по 2-му замечательному пределу выражение во внутренних квадратных скобках стремится к e при x , и оставшаяся сте-

x 1

пень

, тогда lim

lim

x 3

3 x

x x 3

Пример 5. lim 1 x x2 1 . Заметим, что предел вычисляется только

x 1 0

справа в точке x 1, так как значение функции слева не определено. Имеем неопределенность вида 00 , которая вычисляется с помощью логарифмирования, для этого будем считать, что

A lim 1 x x2 1.

x 1

Прологарифмируем обе части равенства ln A ln lim (1 x)(x2 1)

x 1 0

и воспользовавшись непрерывностью функции логарифма на об-

ласти определения, вынесем знак предела за знак функции

ln(1 x)

= lim

ln(1 x)x2 1 lim (x2

1)ln(1 x) (0 ) lim

x 1 0

x2 1

Для полученной

неопределенности

применимо

правило

Лопиталя, согласно которому для неопределенностей

от-

ношение функций можно заменить отношением производных этих функций (подробнее правило Лопиталя будет описано после введения

ln(1 x)

операции

дифференцирования):

lim

ln(1 x)

lim

x 1 0

x2 1 2

x 1 2 x 1 2

x 1 2 x 1

lim

1 x

lim

x 1 0

x 1 0 2x(1 x)

x 1 0

2x(1 x)

x 1 0

x2 1 2

Приравнивая начало и конец вычислений,

получим ln A 0, от-

куда A 1. Поскольку A lim 1 x x2 1, окончательно lim 1 x x2 1 1.

x 1

2.5.Вычисление пределов от рациональных дробей

ииррациональных выражений

Рациональной дробью называется отношение двух многочле-

нов Pn (x) .

Qm (x)

Если предел от рациональной дроби в конечной точке x0

привел к неопределённости типа	0	, то для ее раскрытия достаточно
	0

разложить многочлены числителя и знаменателя на простые множители и общие множители сократить.

Пример 6.

lim

5x 6

lim

(x 2)(x 3)

lim(x 2) 1.

x 3

(x 3)

x 3

Если вычисление пределов при x0 отношения двух много-

членов

Pn (x)

приводит к неопределённости типа

, то для рас-

Qm (x)

крытия достаточно разделить многочлены числителя и знаменателя на слагаемое, которое быстрее всех растет на бесконечности, то есть на xmax( n,m) и, используя арифметические свойства предела, вычислить предел.

Если степень числителя больше степени знаменателя, то предел равен бесконечности, если меньше – предел равен нулю, а если n m, то значение предела равно соотношению коэффициентов при старших степенях многочленов Pn (x) и Qm (x).

Пример7. lim	100x3 8x 1
		приводиткнеопределенноститипа	.
x	5x4 1
Для ее раскрытия поделим числитель и знаменатель			на

наибольшую из степеней многочленов числителя и знаменателя дро-

													1				100		8			1
								100x3 8x 1																.
би, то есть на x4 :						lim		100x3 8x 1						x	4	lim		x		x3			x4
би, то есть на x4 :						lim				5x4 1			1			lim
						x				5x4 1			1			x			1
																			5
			100			8				1				x	4				5		x4
		Так как	100		,	8		,		1	0 при				x ,			то вся дробь стремится к
		Так как			,		x3	,			0 при				x ,			то вся дробь стремится к
			x				x3			x4
	0	0, то есть lim		100x3				8x 1				0.
5		x					5x4		1
													24

		5x3 2x2 7				5		2	7		5
									3
Пример 8.	lim			lim				x	x			.

	x 8x3 4x 3				x	4			3		8
						8
							x2			x3
			0
Если неопределённости типа					или				получены от выраже-

			0

ний, содержащих иррациональности (выражения с квадратными корнями), то неопределённость раскрывается умножением числителя и знаменателя на сопряжённые им иррациональные выражения с последующим сокращением общих множителей (сопряжёнными называются иррациональные выражения вида a b ,a b).

В случаях, если имеются корни произвольной степени, то удобнее пользоваться заменой корня (см. пример 11).

Пример 9.

lim

6 x x

приводит к неопределенности типа

x 3

x3 27

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопря-

женное числителю

x :

6 x

6 x x2

6 x

x3 27

x .

6 x

Далее разложим на множители многочлены числителя и знаме-

нателя, где

корни

числителя

х1

= 3,

х2 =

–2,

тогда

6 x x2 (x 3) (x 2).

Разность кубов в знаменателе (x3 27) разложим по формуле

сокращенного

умножения

a3 b3

(a b) (a2

ab b2),

то

есть

x3 27 (x 3) (x2 3x 9). Окончательно получим:

6 x x2

lim

6 x

lim

x 3

x 3 (x3 27) (

6 x x)

lim

(x 3) (x 2)

lim

x 2

x 3

(x 3) (x2

3x 9) (

6 x x)

x 3 (x2

3x 9) (

6 x x)

162

Теперь

последнем выражении при

x 3 неопределенности

нет, так как были сокращены одинаковые множители (x 3), из-за которых она возникала.

Пример 10.

lim

x 4 3

lim

(

x 4 3)( x 4 3)

lim

x 5

(x 5)( x 4 3)

x 4 3

x 5

Вычислим пример 10, применяя способ введения замены переменной.

Пример 11.

x 4 3

x 4 t x t2 4

t 3

lim

x 5

при x 5: t 3

4 5

x 5

t 3 t2

lim

t 3

lim

t 3

lim

t 3 t 3

t 3 t2 9

t 3

t 3 t 3 6

2.6. Односторонние пределы

Введенные выше определения понятия предела функции в точке равносильны между собой и равносильны понятию предела функции через односторонние пределы, определение которого будет приведено далее. Зачем же нужно приводить такое количество определений одного и того же математического определения? Определение 2.7 на «языке» окрестностей визуально просто для понимания. Определение 2.8 позволяет перейти к вычислению пределов на практике. Следующие определения позволят ввести развернутое определение непрерывности и классификацию точек разрыва функции.

Определение 2.9. Число A, обозначаемое lim f (x) y(a 0),

x a 0

называется левым пределом функции y f (x) в точке x a, если для любого сколь угодно малого положительного числа 0 найдётся такое положительное число ( ), что для всех аргументов из левой

окрестности точки a: x a ;a			будет выполняться	неравенство
	f (x) A	.
	f (x) A	.
	Определение 2.10. Число A,		обозначаемое lim	f (x) y(a 0),
			x a 0

называется правым пределом функции y f (x) в точке x a, если для любого сколь угодно малого положительного числа 0 найдётся такое положительное число ( ), что для всех аргументов из правой окрестности точки a: x a;a будет выполняться неравенство f (x) A .

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны между собой

lim	f (x) lim f (x).	(2.8)
x a 0	x a 0

Равенство односторонних пределов показано на рис. 8. Однако, если условие (2.8) не выполнено, то в рассматриваемой

точке будет разрыв, их классификацию рассмотрим в следующем параграфе.

Рис. 8. Иллюстрация существования предела функции в точке x=a [9]

Замечание. При вычислении пределов такого типа следует помнить, что переменная x либо строго меньше a, либо строго больше a, а значит простой подстановки не достаточно – нужно указать из какого

интервала a ;a

или a;a выбирается x.

Вычисляя правосторонний предел

x a;a ,

задать это воз-

можно, если считать, что x a , где

- малое положительное чис-

ло, такое что 0

и 0.

предела x a ;a , имеем

Аналогично,

для

левостороннего

x a , где 0

и 0.

Пример 12.

Вычислить предел слева (односторонний предел):

при подстановке

lim

x 2 x 2

x 02 x 2

2 2

получим :

Пример 13. Вычислить предел справа (односторонний предел):


lim	ln x	lim	ln x	lim		ln 1			lim	ln 1		lim			ln 1			1		,
										2 2							2
x 1 x2 1		x 10 x2 1			0 1 2 1				0				0
т.к. по формуле (2.6)					lim		ln 1	1, то lim			ln 1				1	lim			1		1	.
														2
					0					0						0 2 2

В следующем параграфе будет предложен еще один способ вычисления односторонних пределов.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется пределом числовой последовательности?

2.Что называется пределом функции в точке?

3.Какие свойства предела функции в точке Вы знаете?

4.Сформулируйте замечательные пределы, укажите следствия.

5.Приведите примеры функций эквивалентных в точке x 0.

6.Общий член последовательности 1, 4, 9,16,... имеет вид:

1) an

;

2) an 1

;

n 1

2n 1

n 1

7. Вычислите значение пределов:

4x 4

3x 3x2

5x 5

x 9

1) lim

; 2) lim

;

lim

;

lim

x 2

x 0

x 1

x x2 1

x x 3

8. Конечный предел при x имеет только одна из следую-

щих функций:

1 x3

1 x2 x3

; 3) f (x)

; 4) f (x)

1) f (x)

; 2) f (x)

x5 1

x2 1

1 x3

2 x3

x 1

9. Значение предела lim 1

равно…

x 2

1) e2 ;

2) e1/3;

3) e1/18 ;

4) 1.

10. Значение предела lim 1 sin x ctgx

равно…

x 0

1) e;

2) 2e;

3) e1/2 ;

4) 1.

11. Вычислить односторонние пределы функции f (x)

x 1

точке x0 1.

§ 3. Исследование функции на непрерывность

3.1. Классификация точек разрыва функции

Определение 3.1. Точка а из области определения функции y y(x) называется точкой непрерывности (см. рис. 9), если верны условия:

1)оба односторонних предела функции в точке а существуют

иконечны

lim f (x)	,	lim f(x) ;	(3.1)
x a 0	,	x a 0

2) односторонние пределы равны между собой

lim f(x) lim f (x)		;	(3.2)
x a 0	x a 0

3) односторонние пределы равны значению функции в точке

lim f(x) lim		f (x) f (a).	(3.3)
x a 0	x a 0

Рис. 9. Иллюстрация непрерывности функции в точке x=a [9]

Если в определении 3.1 не выполняется хотя бы одно условие, то функция называется разрывной в точке x a, при этом вводится следующая классификация точек разрыва:

если условие (3.3) не выполняется, но выполняются условия (3.1) и (3.2), т. е. односторонние пределы конечны и равны между собой, но не равны значению функции lim f (x) lim f (x) f (a),

x a x a

или сама функция в точке а не существует, то это устранимый разрыв первого рода (см. рис. 10а);

если условие (3.2) не выполняется (не выполняется, очевидно, и условие (3.3)), но выполнено условие (3.1), т.е. односторонние пределы конечны, но не равны между собой:

lim f (x) lim f (x)),

x a x a

то это неустранимый разрыв первого рода, а разность

K lim f (x) lim f (x) называется скачком функции (см. рис. 10 б);

x a x a

если условие (3.1) не выполняется, т. е. если хоть один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует, то имеем разрыв второго рода (см. рис. 10 в).

a)	б)	в)
	Рис. 10. Классификация точек разрыва [9]

Всегда ли нужно для определения непрерывности функции в точке вычислять односторонние пределы и проверять все условия, записанные в определении 3.1?

Заметим, что все элементарные функции имеют область определения, находить которую мы уже умеем. Далее будет доказано, что если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна, поэтому все элементарные функции непрерывны в области их дифференцирования. Именно на этой области все условия определения 3.1 будут автоматически выполняться и единственную проверку, которую достаточно будет выполнить – это вычислить значение функции в точке. Если y(a) , где a D(x), то функция в этой точке непрерывна.

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию y						1
						1
в точках x 0 и x 2.						1 4 x 2

Эта функция элементарная, следовательно, она непрерывна
всюду, где определена, а так как y(0)	1		1		1 существует,
		12
то в этой точке y(x) она непрерывна.	1 4		1 2

При x 2 функция y(x) не определена и,			следовательно, имеет
разрыв. Исследуем характер разрыва,	для	этого		вычислим		левый
y( 2 0) и правый y( 2 0) пределы в точке x 2.
При вычислении правого предела	y( 2 0), то есть при					x 2
справа, х остается больше ( 2), отсюда следует,				что x 2 0, при

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.24 Mб5Учебное пособие 1492.pdf
#
30.04.20221.24 Mб3Учебное пособие 1493.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1494.pdf
#
30.04.20221.25 Mб6Учебное пособие 1495.pdf
#
30.04.20221.25 Mб17Учебное пособие 1496.pdf
#
30.04.20221.25 Mб8Учебное пособие 1498.pdf
#
30.04.20221.25 Mб5Учебное пособие 1499.pdf
#
30.04.2022206.67 Кб3Учебное пособие 15.pdf
#
30.04.2022302.53 Кб5Учебное пособие 150.pdf
#
30.04.20221.25 Mб14Учебное пособие 1500.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1501.pdf