Учебное пособие 1491

157

4.4.4. Лабораторное задание и методические указания по его выполнению

Предположим, что распределение функции поля U=U( x , y ) в конструкции РЭС описывается дифференциальным уравнением

где = [a,b]x[c,d] прямоугольная область.

Рис. 4.15

Линейка меню состоит из следующих компонент:

158

Рис. 4.16

А. Меню ―Файл‖, в котором можно загрузить и списать параметры дифференциального уравнения и разностной сетки:

Б. Меню ―Опции‖, в котором можно сохранить результаты расчета значений дифференциального уравнения на разностной сетке, создать журнал записей и изменить направление интерполяции.

159

После выбора в меню пункта ―Направление интерполяции‖ на экране появится окно следующего вида:

Рис. 4.18

160

Влевой части окна выбирается направление интерполяции по оси Х и по оси Y соответственно, а в правой части окна выводится визуальное отображение направления интерполяции.

Впанели дифференциального уравнения непосредственно

Рис. 4.19

Вводимые коэффициенты представляют собой конечную суперпозицию элементарных функций двух переменных х и у. В программе реализованы следующие функции и операции:

операции сложения, вычитания, умножения, деления;

тригонометрические функции - sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg;

натуральный логарифм - ln, экспонента – exp; модуль - abs, знак числа – sgm;

степенная и показательные функции реализуются знаком ^, например, x - будет записываться в виде x^ .

Замечание: эта операция реализована на x, R , поэтому для

реализации степенной функции с целой степенью рекомендуется использовать знак умножения. Панель задания разностной граничных условий имеет вид:

161

Рис. 4.20

Задание значений функции на границе разностной сетки производится аналогично заданию коэффициентов при производных функции. В редакторах min x, max x, min y, max у производится задание границ разностной сетки. Сохранение значений границ и значения шага сетки производится после нажатия кнопки ENTER в соответствующем редакторе. После задания дифференциального уравнения значений на границе разностной сетки и шага разностной сетки можно произвести вычисление значений функции во внутренних точках разностной сетки посредством нажатия кнопки CALCULATE.

162

Рис. 4.21

Результатом работы с программным комплексом является протокол пользователя - файл имя.log , где ―имя‖ задается студентом при сохранении данных в режиме включенного журнала записей. По результатам расчета следует оценить эффективность метода конечных разностей и качество полученных решений.

4.4.5. Контрольные вопросы

1. Какова цель лабораторной работы?

163

2. В чем заключается лабораторное задание? Пояснить ход его выполнения.

3. Какие данные являлись исходными для Вашего варианта?

4.Какую разностную сетку Вы построили? Поясните выбор шага сетки.

5.Какие разностную схемы Вы выбрали и почему?

6.Какие разностные схемы не обеспечивают требуемой точности для Вашего варианта?

7.Какие шаблоны имеют выбранные Вами разностные схемы?

164

11. Сформулируйте выводы по данной лабораторной работе.

4.4.6. Указания по оформлению отчета

Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать наименование и цель работы, краткие теоретические сведения в виде ответов на вопросы домашнего задания, ход и результаты выполнения лабораторного задания, где приводятся исходные данные, промежуточные расчеты и результаты работы с программным комплексом с необходимыми пояснениями. Отчет

5.Курсовая работа на тему Получение математической модели методом ОЦКП

Задание на курсовую работу Получить модель технологического процесса

по экспериментальным данным варианта, проверить модель на адекватность и оценить значимость факторов, влияющих на качество технологического процесса.

165

Исходные данные для ОЦКП

l-номер опыта, от 1 до15

X1 X 2 X 3

d1 0.1 d2 0.2 d3 0.3

X1 X 2 X3

Задана матрица планирования эксперимента и результаты эскпериментов. Для каждого эксперимента проведено 3 дублирующих опыта. Обозначим

n=3 – количество факторов,

m=3 – количество дублирующих опытов, N 2n 2n 1

общее количество экспериментов.

L – порядковый номер эксперимента, L = 1,…,N .

N=15 (15 экспериментов). Результаты всех опытов запишем в виде матрицы размерности 15х3, обозначим еѐ элементы

Y lj, l-номер эксперимента, j-номер дублирующего опыта. Результаты опытов

Y11Y12Y13

Y21Y22Y23

Y15,1Y15,2Y15,3

Находим среднее значение в каждой серии опытов

Найдѐм дисперсию в каждой серии опытов.

АналогичнонайтиD2 , D3 ,..., D15

Кокрена.

Gкрит по табл. 1.6 на с.140 книги Львович, Фролов при

168

f1 m 1 3 1 2 f2 N 15

Если Gрасч.<Gкрит., то условие воспроизводимости опытов выполнено и можно применять метод ОЦКП, иначе расчѐт окончен.

II.Найдѐм коэффициенты нормированной модели

Y 0 1 X1 2 X 2 3 X 3 12 X1 X 2 13 X1 X 3 23 X 2 X 3 11 X12 22 X 22 33 X 32 , (1)

X1, X2, X3-нормированные значения факторов, x1, x2 , x3 реальныезначенияфакторов

по формулам:

(C1,C2,C3 из таблицы 7.13 с. 87 Львович,Фролов)

ЛИНЕЙНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

15

j C1 Zel Yl , j 1,2,3.

l 1

1 C1 Z11 Y1 Z21 Y2 ... Z15,1 Y15 C1 ( 1) Y1 1 Y2 ( 1)Y3 ( 1) Y4 ... 0 Y15

Zlj - элементы матрицы планирования экспериментов

Т.е. 1-й столбец матрицы планирования скалярно умножается на столбец средних значений.

Коэффициенты 2, 3 рассчитываются аналогично, но вместо первого столбца берутся соответственно второй и третий.

СМЕШАННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ12, 13, 23 находят по формуле:

Т.е. перемножаются 2 столбца i-ый и j-ый из матрицы планирования и столбец средних значений.

169

Например Аналогично найти 13 и 23.

КВАДРАТИЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

находят по формуле: Аналогично 22, 33

(j=2) (j=3)

III.Проверим значимость найденных коэффициентов по t-

критерию Стьюдента.

Дисперсии коэффициентов находят по формулам: для линейных коэффициентов:

Dв =( D1 + D2 + … + D15)/15 – дисперсия воспроизводимости, была рассчитана в пункте I.

171

для смешанных коэффициентов

Для всех коэффициентов находят одно значение t крит. По таблице П1.4 с. 139 (Львович, Фролов) при

f=N(m-1)=15(3-1)=30

Если t расч( )<t крит, то коэффициент незначимый, его исключают

из модели, приравнивая к нулю.

Например, если t расч(12)<t крит., то 12=0

172

Для свободного члена

Если t расч ()>t крит, то коэффициент значимый и его оставляют в модели.

IV. После того, как в модели остались только значимые коэффициенты, нужно проверить адекватность полученной математической модели по критерию Фишера, то есть

L 1,15

Y 0 1 Z 1 2 Z 2 3 Z 3 12 Z 1 Zl 2 13 Z 1 Z 3

23 Zl 2 Zl 3 11 Z 12 22 Z 2 2 33 Z 3 2

173

V.сравнить значения Y, полученные при расчѐте по нормированной модели (1) с средними результатами эксперимента (значениями Y).

При расчете по нормированной модели в качестве значений X1, X2, X3 выбирают L-ую строку матрицы

планирования и находят при L==1,…,15Сравнить между собой значения

Расчѐтное значение критерия Фишера Dв-дисперсия воспроизводимости, которую мыиспользовали при проверке значимости коэффициентов.

174

Табличное (критическое) значение критерия Фишера F крит находят по таблице П1.3 на с.138 при числах Степеней свободы f1 и f2, выбираемых по правилу

1) Если DА<Dв, то f1=N-d=15-d f2=N(m-1)=15(3-1)=30

2) Если Dв<DA, то f1=N(m-1)=30 f2=N-d=15-d

Если F расч. < F крит., то получена адекватная нормированная модель (1)

Если F расч. > F крит., то модель неадекватна, еѐ использовать нельзя. Для получения адекватной модели рекомендуется уменьшить шаги варьирования (X1= d1, X2= d2, X3= d3).

Повторный расчѐт не проводить

VI. Если нормированная модель (1) адекватна, то нужно перейти к реальным физическим величинам.

Для этого в модель (1) с учѐтом того, что незначимые