Учебное пособие 1311

отдельных наблюдений, то есть степень их концентрации относительно среднего арифметического. Последнее имеет дисперсию в n раз меньшую дисперсии случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение

которое называется оценкой среднего квадратического отклонения от результатов измерения.

Многократное измерение одной и той же величины постоянного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то, увеличивая n, можно добиться выполнения наперед заданного условия

На практике беспредельно повышать таким способом точность измерения не удается, так как рано или поздно

определяющим становится не рассеяние отсчета и, следовательно, показания средства измерений, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения поправок и т. п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического значения показания имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию (14) им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации. Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Используя исходные данные (10 значений), провести вычисления и заполнить табл. 5.

21

Задание на выполнение работы:

По данным, полученным в лабораторных работах №1 и №2, провести обработку статистических данных многократных измерений с равноточными значениями отсчетов. Задаться доверительной вероятностью Рд = 0,98 (данный параметр рассчитан для n = 30).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При многократных измерениях результат находят путем статистической обработки ряда экспериментальных данных, часто называемых параллельными измерениями. Результат измерения может содержать не только случайную погрешность, но и систематическую, и поэтому называется неисправленным результатом измерения. Систематическую погрешность стараются исключить, используя специальные приемы. Если представляется возможным оценить систематическую погрешность с, то часто в экспериментальные данных вносят поправку, равную оценке систематической погрешности, взятой с обратным знаком:

= − ∆ .

Значение называют исправленными результатами измерений. При этом данный результат содержит случайные составляющие погрешности и неисключенные систематические погрешности (НСП).

Результат измерений также должен содержать вероятностную оценку результата измерения Рд. Суть интервальной оценки параметров распределения состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется доверительным, а его границы – верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р = 1 – α доверительный интервал содержит известное значение параметра.

Вероятность Р называют доверительной, а α – уровнем

значимости.

Порядок получения результата измерения следующий:

23

1. Определяют оценку среднего значения результата измерения (совпадает с математическим ожиданием для

нормального закона распределения).

1̅= ∑ .

=1

2. Определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения

1̅ = √ − 1 ∑( − ̅)2 .

=1

3.Устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим.

4.Если закон распределения результата измерения нормальный, то определяют стандартное отклонение или оценку среднего квадратического отклонения от результатов измерения по формуле:

отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле:

1= √∑( 2 − ̅2) .

=1

6.Задаются доверительной вероятностью Р = 1 – α.

7.Для доверительного интервала используют соотношение:

= ∙ ,

где ε – полуширина доверительного интервала;

t – аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности (1+Р)/2, который называют квантилью распределения.

Выбор доверительной вероятности Р и определение

24

параметра t зависит от вида закона распределения вероятности результатов измерения.

Если статистика подчиняется нормальному закону распределения, то параметр t определяется по табличным значениям функции Лапласа при заданной доверительной вероятности.

При числе измерений n < 20 при поиске границ пользуется распределение Стьюдента. Коэффициент Стьюдента также находится табличным методом в зависимости от выбранной доверительной вероятности Рд и числа проведенных экспериментов n – t(Рд ,n).

В остальных случаях параметр t определяется по табличным значениям неравенства Чебышева.

При нормальном распределении значение параметра t может быть найдено по графикам или табличным методом. Согласно формуле для нормированного закона распределения:

(− < < ) = Ψ(z) = 2Φ(z),

где Ψ(z) – интеграл вероятностей, Φ(z) - функция Лапласа.

Зная значение доверительной вероятности Рд, можно из выше приведенной формулы выразить Φ(z) и используя таблицу значений функций Лапласа - найти параметр t. Так, для Рд = 0,95 значение параметра t = 1,96; для Рд = 0,98 – t = 2,33.

8. Определение интервалов, в которых находится значение измеряемой величины, где:

̅− ≤ ≤ ̅+ ,

где ε – определяет погрешность измерения .

9. Окончательная запись результата измерений должна соответствовать следующему виду:

̅ . Х = Х ± ∆ , = д

Правила округления результатов измерений и вычислений приведены в приложении 3.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

25

1.Провести обработку результатов многократных измерений согласно методике, приведенной в пп. 1-8, с учетом результатов, полученных в лабораторных работах №1 и №2 (в соответствии со своим вариантом).

2.Записать результат измерений в соответствии с правилами и формами представления результатов измерений.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие Вы знаете методы исключения систематических погрешностей?

2.Из каких составляющих состоит общая погрешность измерения?

3.Правила определения доверительной вероятности и доверительного интервала.

4.В каких случаях используется функция Лапласа? Что она показывает?

5.Перечислите правила округления результатов измерений.

Лабораторная работа №7

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫПОЛНЕНИЯ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы:

1.Ознакомиться с методиками обработки многократных косвенных измерений и нахождения погрешности результатов косвенных измерений.

2.Стандартизированная запись результата измерения.

Задание на выполнение работы:

Прямые измерения проведены в нормальных климатических условиях цифровым мультиметром с параметрами σU = 1,5 мВ, σR = 0,015 кОм. Исходные данные измерений приведены в табл. П.1.3 прил. 1 (номер варианта i соответствует последней цифре в списке группы). Измерения напряжения проводились на шкале 1000 мВ; при этом для

26

цифрового мультиметра cU = 0,10, dU = 0,05. Сопротивление измерялось на шкале 10мОм; соответственно cR = 0,20, dR = 0,05. Результаты измерений не коррелированы. Задаться доверительной вероятностью Рд = 0,95.

Определить и записать результаты измерения тока.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Косвенным измерением называют определение значения

физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной. Эти исходные величины чаще всего определяют в результате прямых измерений и их можно назвать измеряемыми аргументами (в краткой форме - аргументами).

При выполнении линейных косвенных измерений за оценку измеряемой величины X естественно принять

εj, где θj , εj − реализация систематической и случайной составляющих погрешности соответственно.

т.е. при косвенных измерениях путем суммирования составляющих находят не только границы систематической погрешности результата, но и случайной погрешности.

Без учета корреляционных связей оценку СКО Sx вычисляют по формуле:

Считая, что погрешность результата косвенного измерения образуется путем сложения случайных погрешностей результатов измерений аргументов, распределенных по нормальному закону, и также подчиняется нормальному закону, можно найти доверительный интервал

27

для истинного значения измеряемой величины X.

Если погрешности результатов измерения всех аргументов функции Х = f(x1, x2, …, xm) имеют нормальный закон распределения, то для доверительного интервала используют соотношение:

= ∙ .

Граница θ неисключенных систематических погрешностей результата косвенного измерения определяется без учета знака по формуле:

где k – поправочный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа m составляющих θj.

При однократных измерениях аргументов процедура определения результата косвенно измеряемой величины сохраняется такой же, как и при многократных измерениях.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Значение тока определяется на основании точных однократных измерений напряжения и сопротивления на участке цепи с последующим вычислением по известной формуле:

Ix = Ux / Rx .

2.Определить оценку СКО оценки математического ожидания по формуле (18).

3.Определить относительную систематическую погрешность измерения по формуле:

28

5. Полученные в п.4 данные подставляем в формулу п.3 для нахождения относительной систематической погрешности измерения тока .

6. Перейти к абсолютной погрешности измерения тока I по формуле:

∆ = ± ∙ .

7. Записать результат измерения тока в стандартном

виде:

I = (Ix ± I) , Рд= .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Как различаются косвенные измерения по виду функциональной зависимости от аргументов?

2.Чем отличается методика обработки данных при линейных и нелинейных косвенных многократных измерениях?

3.В предположении какого закона распределения производилась обработка экспериментальных данных?

4.При линеаризации нелинейных зависимостей используется разложение в какой ряд?

5.Какие два способа представления результатов измерения были использованы в данной работе?

Лабораторная работа №8

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Цель работы:

1.Ознакомиться с методиками, применяемыми при обработке результатов совместных измерений по методу наименьших квадратов.

2.Стандартизированная запись результата измерения.

Задание на выполнение работы:

Пусть зависимость электрического сопротивления

29

композиционного материала от температуры выражается формулой R = R0(1+ βt2). Для определения коэффициента β было проведено n равноточных измерений сопротивлений при различной температуре, приведенные в таблице П.4. Используя МНК, вычислить оценку коэффициента β с доверительной вероятностью P=0,9.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Совместные измерения – одновременные измерения

нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Уравнение совместного измерения можно представить как

F(A, B, C , …, х, y, z, ... ) = q (19)

где x, y, z, q – измеряемые величины; A, B, C – величины которые необходимо определить. Наибольшее распространение при обработке совместных измерений нашел метод наименьших квадратов (МНК).

При обосновании МНК в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям:

-значения аргументов известны точно;

-результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии;

-погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение.

Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном n - m, или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными.

Для случая равноточных измерений y и x, связанных линейным уравнением

предполагает, что для всех результатов измерений i значений

30