Учебное пособие 1311

приводится ниже. При числе измерений n ≥ 50 часто используется критерий согласия Пирсона (критерий χ2) или критерий Мизеса-Смирнова (ω2).

Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение

√1 ∑=1( − ̅)2

и проверятся выполнение условия

dmin ≤ d ≤ dmax , (9)

где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение.

Значения находим по табл. 4.

11

Если условие выполнятся, то дополнительно проверяются «хвосты» теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 10 ≤ n ≤ 20 считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения xi от ̅больше, чем на 2,5·σ, а при 20 < n < 50 допускается не более 2-х отклонений, т.е. проверяется условие

При 20 ≤ n ≤ 50 допускается отклонение двух значений результата измерения от среднего значения больше чем 2,5 σ. При выполнении обоих условий гипотеза о согласовании эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью

Р ≥ Р* + Р** - 1,

где Р* - вероятность, с которой определяются dmin и dmax;

Р** = 0,98.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза о нормальности закона распределения не принимается.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Из табл. 2 взять исходные данные для дальнейших вычислений.

2.Провести проверку гипотезы о нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию. Для этого провести вычисление параметра d по формуле (8).

3.Проверить соответствие найденного значения критериям (9) и (10).

4.Сделать вывод о соответствии статистики нормальному закону распределения вероятности результата измерения.

12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Зачем необходимо проводить проверку статистики на соответствие вероятностному закону распределения?

2.Какие Вы знаете критерии согласия для оценки вероятностного закона распределения? В каких случаях они используются?

3.В каких случаях можно не проводить проверку соответствия вероятностного закона распределения?

4.В чем суть критерия Пирсона?

Лабораторная работа №4

ТОЧЕЧНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛЫХ ВЫБОРКАХ

Цель работы:

1.Научиться проводить статистическую обработку результатов измерений при малых n < 30 выборках.

2.Определение основных характеристик погрешности.

3.Стандартизированная запись результата измерения.

Задание на выполнение работы:

Произведено 10 измерений постоянного тока одним и тем же прибором (класс точности прибора 1,5). Результаты измерений приведены в табл. П.1.2 прил. 1. Произвести обработку результатов измерений.

Массив данных взять в соответствии с вариантом (номер в списке группы). Задаться доверительной вероятностью Рд = 0,95.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Однократным называется измерение, проводимое один

или более раз (не более 10). Подавляющее большинство измерений однократно. Простота, высокая производительность, низкая стоимость ставят однократное измерение вне конкуренции.

Результат однократного измерения описывается

13

измерения является наличие априорной информации. К априорной относятся:

1)информация о виде закона распределения вероятности показания и мере его рассеяния, которая извлекается из опыта предшествующих измерений;

2)информация о том, насколько значение измеряемой величины может отличаться от результата однократного измерения, которая может быть представлена классом точности прибора;

3)информация о значении аддитивной и мультипликативной поправки θi. Если значение поправки не известно, то оно учитывается ситуационной моделью, согласно которой значение поправки может быть любым с одинаковой вероятностью в пределах от θimin до θimax .

На основе анализа априорной информации осуществляется подготовка к выполнению измерения: установка и подготовка средств измерений к выполнению измерения, компенсация влияющих факторов, после чего выполняется основная измерительная процедура – получение одного значения отсчета.

Единственное значение отсчета xi дает единственное значение показания Xi средства измерения, которое имеет ту же размерность, что и измеряемая величина. В это значение показания вносится поправка θi . Если значение поправки точно известно, то результат измерения Х будет представлен единственным значением:

Х = Xi + θi.

Если значение поправки не известно, то при выбранной

ситуационной модели, что он может быть любым в пределах от θi min до θi max , результат однократного измерения Хi с одинаковой вероятностью может быть любым в пределах от

Xi + θmin до Xi + θmax .

14

При анализе априорной информации необходимо учитывать:

Случай 1. Априорная информация состоит в том, что отсчет, следовательно, и показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним арифметическим отклонением σх и что значение аддитивной поправки равно θi .

В этом случае результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением σх , но смещенному по отношению к закону распределения вероятности показания на значения поправки θi .

Задавшись доверительной вероятностью Р, можно определить значение функции Лапласа:

p{ хi – t σх ≤ Хi ≤ хi + t σх }= 2F(t)−1 = 2 L(t) ,

где t является аргументом функции Лапласа.

По табличным значениям функции Лапласа можно определить ее аргумент t. Значит, задавшись доверительной вероятностью Р по табличным значениям функции Лапласа, можно определить, насколько результат однократного измерения хi может отличаться от среднего значения результата измерения Xi , равного значению измеряемой величины Х.

Обозначив половину доверительного интервала t σх через

известно, что отсчет, а следовательно, показание подчиняются равномерному закону распределения вероятности с размахом 2ε = xmax − xmin , а также известно точное значение аддитивной поправки θi .

В этом случае результат измерения подчиняется тому же закону распределения вероятности, т.е. равномерному с тем же размахом, но смещенному по отношению к закону

15

распределения вероятности показания на значение поправки ε

. Значение измеряемой величины Xi , равное среднему значению результата измерения X , находится в пределах:

Xi – ε ≤ X ≤ Xi + ε .

Случай 3. Неизвестно какому закону распределения подчиняется отсчет, следовательно, и показание. Допустим, что среднее квадратическое отклонение равно σх . Известно точное значение аддитивной поправки θi .

В данном случае неизвестен закон распределения вероятности результата измерения, а известно лишь его среднее квадратическое отклонение σх .

Вероятность того, что результат однократного измерения Xi не отличается от среднего значения при любом законе распределения не больше чем наполовину доверительного интервала, равна:

p{ хi – t σх ≤ Хi ≤ хi + t σх }= 2F(t)−1 ≥ 1 - 1/ t2.

Эта формула носит название неравенства П.Л. Чебышева. Она устанавливает нижнюю границу того, что ни при каком законе распределения вероятности случайное значение результата измерения не окажется за пределами доверительного интервала.

Задавшись доверительной вероятностью Р по табличным значениям неравенства Чебышева, можно определить значение параметра t и определить, насколько σх − результат однократного измерения Xi , может отличаться от среднего значения измеряемой величины, равного значению измеряемой величины при любом законе распределения вероятности.

Значение параметра t можно определить по графику кривой распределения Чебышева.

Обозначив, как и ранее половину доверительного интервала через ε = t σх , можно записать:

Xi – ε ≤ X ≤ Xi + ε .

Случай 4. Априорная информация: класс точности средства измерения (СИ) таков, что значение измеряемой величины не может отличаться от результата многократного

16

измерения больше чем ε ; точное значение аддитивной поправки равно θi .

В этом случае значение измеряемой величины будет равно:

Xi – ε ≤ X ≤ Xi + ε .

Случай 5. Априорная информация: отсчет, а следовательно, показание подчиняются нормальному закону распределения вероятности со средним квадратическим отклонением σх ; значение аддитивной поправки находится в пределах от θimin до θimax.

Здесь мы имеем случай, когда значение поправки неизвестно. Ситуационной моделью, учитывающей неопределенность значения поправки, является равномерный закон распределения вероятности поправки на интервале от θimin до θimax. Следовательно, можно говорить о том, что показание подчиняется нормальному закону распределения вероятности, а поправка − равномерному закону распределения вероятности. Значит, закон распределения результата измерения представляет собой композицию законов распределения показания и поправки.

В этом случае в соответствии с первой рекомендацией INS-1 «Выражение неопределенности результата измерений» МКМВ рекомендовано считать, что среднее значение композиции, в которую входит ситуационная модель, не подчиняющаяся вероятно-статистическим закономерностям, равное значению измеряемой величины, не отличается от результата многократного измерения больше чем на ε = k uQ , где

= √2 + 2 ,

а коэффициент k, аналогичный коэффициенту t, устанавливается по согласованию: k = 2…3.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Анализ априорной информации, определение поправки

θi .

17

измеряемой величины X ( ε ≈ классу точности СИ).

4. Определение пределов, в которых находится значение измеряемой величины:

Xi – ε ≤ X ≤ Xi + ε .

5.Вычислить математическое ожидание mi и СКО σi результатов измерений по формулам (1) и (2). Проверить значения на наличие ошибок.

6.Провести проверку гипотезы о нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию. Для этого провести вычисление параметра d по формуле (8).

7.Задавшись доверительной вероятностью, определить половину доверительного интервала по формуле (12).

8.Привести результат измерения в соответствии с видом (13).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В чем состоит отличие точечных и интервальных

оценок?

2.Как вычисляются точечные оценки mx и σx ?

3.Что такое «доверительный интервал»?

4.Какому закону распределения подчинены границы доверительного интервала для mx, определяемые по малой выборке?

5.Какому закону распределения подчинены границы доверительного интервала для, Dx определяемые по малой выборке?

6.Как вычисляются границы доверительного интервала

для σx ?

9.Что такое априорная информация? Как она влияет на

методику вычисления погрешности измерения?

18

увеличении числа наблюдений, она должна приближаться (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2.Оценка должна быть несмещенной, то есть ее

математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру.

3.Оценка должна быть эффективной, то есть ее

дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

Получаемые в результате многократных наблюдений отдельные наблюдения х1; х2;…; хn, где n - число наблюдений, можно рассматривать как n независимых случайных величин

содним и тем же распределением, совпадающим с распределением Fx(x).

В качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины или оценки математического ожидания

̃ используется среднее арифметическое полученных

результатов.

1̃ = ∑ .

=1

Cреднее квадратическое отклонение СКО

̃ = , √

то получаемая точечная оценка будет удовлетворять всем трем требованиям.

В качестве точечной оценки дисперсии случайной погрешности определяют величину

20