Учебное пособие 1204

21

Если линейное преобразование (задаваемое матрицей A ) ненулевого вектора x , тождественно операции умножения вектора на некоторый скаляр , т.е.

то вектор x называется собственным вектором квадратной матрицы A , а скаляр называется собственным значением указанной матрицы.

Покажем, как определяются собственные значения и соответствующие им

Приравнивая правую и левую части равенства, получим однородную систему

Для того чтобы однородная система (10) имела отличное от нуля решение и, следовательно, имела хотя бы один отличный от нуля собственный вектор, необходимо, чтобы ее определитель

(См. замечание 2 на стр.19).

Определитель представляет собой полином n -ой степени относительно . Этот определитель называется характеристическим определителем матрицы A , а уравнение (10) именуется характеристическим (вековым) уравнением той же матрицы. Вековым оно называется потому, что в небесной механике оно служит для определения неравенств в описании движения планет, периоды которых весьма велики.

22

Пусть 1 , 2 ,..., k ( k n , т.к. среди корней могут быть кратные) вещест-

венные корни характеристического уравнения (11), тогда каждая однородная система

(A i E)x 0 , i 1,2,..., k ,

имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Эти решения будут собственными векторами, соответствующими собственным числам 1 , 2 ,..., k .

Укажем без доказательства основные свойства собственных значений и собственных векторов квадратных матриц различных порядков.

1.Число различных собственных значений не превышает ее порядка.

2.Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

3.Симметричная матрица всегда имеет действительные собственные зна-

чения.

4.Собственные векторы симметричной матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

5.Собственный вектор матрицы имеет единственное собственное значение.

6.Собственный вектор матрицы определяется с точностью до постоянного множителя (если xp собственный вектор собственного значения p , то axp то-

же собственный вектор того же собственного значения, множитель a 0 ). Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы сле-

дующей несимметричной квадратной матрицы.

Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы.

дем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

Собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 2 , является ненулевым решением системы

или

x1 2x2 0,x1 2x2 0.

Последняя система эквивалентна одному уравнению с двумя неизвестнымиx1 2x2 0 . Свободной переменной пусть будет x2 , тогда x2 с, а x1 2с

( с 0 ). Ненулевое решение системы при с R / 0 имеет вид e1 (2с;c) и являет-

23

ся искомым собственным вектором, соответствующим собственному значению1 2 . Аналогично находим при d R / 0 собственный вектор e2 (d; d ) , соот-

Решение. Запишем характеристическое уравнение матрицы.

Его корни 1 1 (простой), 2,3 1 (двукратный) являются собственными зна-

чениями матрицы A . Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям.

Вектор, соответствующий собственному значению 1 1, является не-

Последняя система эквивалентна системе из двух уравнений с тремя не-

имеет вид e1 ( с;0;c) , оно является искомым собственным вектором, соответст-

вующим собственному значению 1 1.

Вектор, соответствующий собственному значению 2,3 1, является ненулевым решением системы

менная x2 входит в уравнение с множителем ноль, а значит может принимать

любое действительное конечное значение, на решение уравнения это никак не отражается, т.е. x2 d , где d R / 0 . Таким образом, ненулевое решение сис-

24

темы при с, d R / 0 , имеет вид e2 (с; d;c) , оно является искомым собственным вектором, соответствующим собственным значениям 2,3 1.

Заметим, что вектор e2 (с; d;c) можно представить в виде суммы векторов e2 (с;0;c) e2 (0; d;0) , а значит, собственным значениям 2,3 1 соответствует два собственных вектора e2 (с;0;c) и e2 (0;d;0) .

Ответ. Собственному значению 1 1 соответствует собственный вектор e1 ( с;0;c) , а собственным значениям 2,3 1 соответствуют собственные векторы e2 (с;0;c) и e2 (0;d;0) , где с, d R / 0 .

25

Характеристика задания

Предлагаемые задания индивидуальны для каждого студента. Каждый вариант состоит из 14 задач, которые необходимо выполнить четко, с кратким описанием решения.

Первая задача: вычислить а A b B c C .

Вторая задача: найти произведение матриц.

Третья задача: найти матрицу X , удовлетворяющую условию

а A X b B .

Четвертая задача: найти значение многочлена f (x) от матрицы A . Пятая задача: вычислить определитель.

Шестая задача: найти x из уравнения.

Седьмая задача: найти det A B и проверить, что det A B det A det B . Восьмая задача: найти обратную матрицу A 1 .

Девятая задача: решить уравнение в матричной форме.

Десятая задача: найти ранг матрицы и указать какой-нибудь базисный минор.

Одиннадцатая задача: найти значение параметра , при котором ранг данной матрицы равен указанному числу r .

Двенадцатая задача: решить данные системы уравнений по формулам Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Тринадцатая задача: исследовать данные системы уравнений и в случае их совместности их решить.

Четырнадцатая задача: найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей A .