Учебное пособие 1204

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

22 0 . Следовательно, r( A) 3.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

867.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

где b11 , b22 ,…, brr отличны от нуля. Ранг матрицы В, а следовательно, и исход-

ной матрицы равен r .

Замечание. Элементарными преобразованиями, т.е. преобразованиями не меняющим ранга матрицы, являются:

1)умножение какого-нибудь ряда матрицы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число;

3)перестановка местами двух параллельных рядов матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Минор (k+1) порядка, содержащий в себе минор k порядка, называется окаймляющим минором. Если у матрицы существует минор отличный от нуля минор k порядка, а все окаймляющие его миноры

равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Пример. Найти ранг матрицы.
А) с помощью элементарных преобразований;
Б) методом окаймляющих миноров.
В) указать один из базисных миноров.
	1	2	3	4
	1	1	4	4

A	2	1	7	4	.

	3	3	10	8

Решение.

А) производя последовательно элементарные преобразования, получим


1				2 3	4			1			2	3	1		1		2 3	1
	1			1 4	4				1		1	4	1			0	1 7
	1			1 4	4				1		1	4	1			0	1 7	2
	2			1 7	4					2	1	7	1			0	3 1
							1							2					3
																		1
	3			3 10	8					3	3 10		2			0	3 1
	3			3 10	8					3	3 10		2			0	3 1	1
		1		2 3		1				1	2	3	1
			0	1 7		2				0	1	7	2	.
				0 22 5							0 22		5	.
	3 0			0 22 5				4 0			0 22		5
		0		0 22 5						0	0	0	0

(1)– весь последний столбец умножен на 14 ;

(2)– ко второй строке прибавлена первая, умноженная на 1, к третьей – первая, умноженная на (-2), к четвертой – первая, умноженная на (-3);

(3)– к третьей и четвертой строкам прибавлена третья, умноженная на 3;

(4)– к четвертой строкам прибавлена третья, умноженная на (-1). Последняя матрица имеет трапециевидную форму и ранг ее равен 3 - коли-

чество ненулевых строк. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.

Б) Так как в матрице есть ненулевые числа, а количество строк (столбцов) не превосходит 4, то ранг 1 r( A) 4 . Выберем минор второго порядка, отличный

от нуля, например, М	2	1	2	1 0. Следовательно, r( A) 2 .

		1	1

Среди миноров, окаймляющих минор М2 , есть отличный от нуля, например,

Существует единственный минор 4-го порядка, окаймляющий минор М3 и он равен нулю. Следовательно, r( A) 3.

В) Базисным минором, например, является М3 .

5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛО КРАМЕРА

Пусть дана система n уравнений с n неизвестными

a11 x1

a12 x2

... a1n xn

a21 x1

a22 x2

... a2n xn

...............................................

... a

или, в матричной форме, Ax B , где

a ...

a21

a22 ...

a2 n

...

... ... ...

...

n 2

...

(1)

xx2 ....xn

Правило Крамера. Если в системе (1) основной определитель det A 0 , а следовательно, существует обратная матрица A 1 , то система (1) имеет единст-

венное решение x A 1 B , или в покомпонентной записи xi i , i 1,2,..., n ,

где i - определитель, получаемый из основного заменой i -го столбца на

столбец свободных членов B .

Пример. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера.

5x y z 0x 2 y 3z 14

4x 3y 2z 16.

13
Решение. Определитель данной системы	5	1	1	30 0 , то матрица
	5	1	1
	1	2	3
	4	3	2

А не вырожденная и система имеет единственное решение, определить которое возможно после вычисления вспомогательных определителей 1 , 2 и 3 :

1 =	0 1		1	30 , 2 =					5	0 1						60 , 3 =						5 1 0			90 .
	0 1		1						5	0 1												5 1 0
	14 2		3						1 14					3								1 2		14
	16	3	2						4	16				2								4	3	16
По формулам Крамера
x 1		30	1, y 2			60 2 , z 3											90				3 .
		30				30											30
		6. МЕТОД ГАУССА (ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ)
Пусть дана система m уравнений с n неизвестными
					a11 x1					a12 x2				... a1n xn						b1
					a21 x1					a22 x2					... a2n xn					b2				(2)
					...............................................																			(2)

					a		m1	x		a	m	2	x	2	...		a	mn	x	n	b
							m1	1			m	2		2				mn		n		m

С помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица (матрица, состоящая из коэффициентов левой и правой части уравнений) системы может быть приведена к виду

a		a	a	...	a	...	a
	11	12	13		1r		1n
0				...		...
		a22	a23		a2r		a2n
... ... ... ... ... ... ...
					arr		arn
	0	0	0	...		...
	0	0	0	...	0	...	0

	0	0	0	...	0	...	0
	0	0	0	...	0	...	0

b1b2

...

br , (3)br 1

...bm

которая эквивалентна исходной, т.е. система (3) имеет такое же решение что и система (2).

Если хотя бы одно из чисел br 1 ,…, bm отлично от нуля, то система (3), а,

следовательно, и система (2) несовместны.

Если же br 1 … bm 0 , то система имеет, либо строго треугольную

форму, соответственно, единственное решение, определить которое возможно обратной прогонкой; либо имеет трапециевидную форму и, соответственно,

бесконечное число решений, определить которые возможно выражением базисных неизвестных через свободные неизвестные (см. далее п. 8).

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

2x		x	2	x	3	5
	1		2		3
x1	2x2 3x3 3
		x2		x3 10
7x1		x2		x3 10
							2		1	1	5
							2		1	1	5

Решение. Составим расширенную матрицу системы. А							В	1	2	3	3	.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. А							В	1	2	3	3	.
								7	1	1	10

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, приводя ее к виду (2), получаем

1		2	3	3	1		2	3	3	1		2	3	3

	2 1		1	5		0 5		7	11		0 5		7	11

	7	1	1	10		0	15	22	31		0	0	1	2

Таким образом, исходной системе соответствует система вида:

x		2x	2	3x 3;
	1		2	3
		5x2		7x3	11; .
				x3	2
				x3	2

Из последней системы обратной прогонкой получаем:

из строки 3: x3 = 2;

из строки 2: 5x2 7 2 11, т.е. x2 5 ;

из строки 1: x1 2 5 3 2 3, т.е. x1 1.

7.РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ Рассмотрим систему (1), записанную матричным способом

АX B ,

для определения вектор-переменной X умножим обе части уравнения слева на A 1 , тогда

X A 1 B .

При решении системы линейных алгебраических уравнений матричным способом следует помнить, что решать этим методом можно только квадратные системы уравнений с невырожденной матрицей A .

Пример. Решить систему уравнений матричным способом:

5x y z 0;x 2 y 3z 14;

4x 3y 2z 16.

15
		5	1	1
Решение. Основная матрица системы имеет вид		1	2	3
Решение. Основная матрица системы имеет вид	A	1	2	3	.
		4	3	2
		4	3	2

			1			5		1			1
Найдем обратную матрицу: A	1		1		10			14			16		, тогда решение системы

		30
		30				5		19
						5		19			11
									1			1	1
	x															1
									6		30		30	0
									6		30		30	0
						1	B			1		7	8
определяется по формуле X y				A										14	=	2	.
определяется по формуле X y				A						3		15	15	14	=	2	.
										3		15	15	16
									1		19		11	16		3
	z								1		19		11			3
									6		30		30

Ответ: x 1, y 2 , z 3 .

8. РЕШЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана система m уравнений с n неизвестными

a x

...

11 1

a21 x1 a22 x2 ...

a2n xn b2

............................................

m 2

...

m1 1

или в матричной форме

AX B ,

где

a		a		...	a			b		x
	11		12	...		1n		1			1
a21		a22		...	a2n		,	b2	,	x2
A				...	...		,	B	,	X		.
... ...				...	...			...		...
a	m1	a	m2	...	a			b		x	m
	m1		m2			mn		m			m

(4)

(5)

Если B 0 , то система (4) называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы (4) называется всякий n-компонентный вектор X , обращающий каждое уравнение системы (4) в тождество.

Система называется совместной, если у нее существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система (4) была совме-

стной, необходимо и достаточно, чтобы	~
		(6)
rang( A) rang( A) ,

		a
	~	11
где	~	a21
где	А=
		...
		am1

a12 ... a1n a22 ... a2n

... ... ...

am2 ... amn

b2 - расширенная матрица.

... bm

При решении системы (4) возможны два случая:

1)	~
	rang( A) rang( A) , то система (4) несовместна,	~
2)	~
	rang( A) rang( A) , то система совместна, причем при	rang( A) n система

имеет~единственное решение (определяемое по правилу Крамера), а при
rang( A) n система имеет бесчисленное множество решений.
Можно считать, что базисный минор располагается в первых r строчках
и столбцах расширенной матрицы				~
и столбцах расширенной матрицы				A , тогда отбросив последние (m r) урав-
нений системы (4), записываем укороченную систему:
a x		a		x	2	... a		x	n	b
	11 1		12		2	1n			n	1	(7)
.......................................... ,											(7)
a	x	a	r 2	x	2	... a	rn	x	n	b
	r1 1		r 2		2		rn		n	r
которая эквивалентна исходной.
Неизвестные x1 , x2 ,..., xr		называются								базисными (зависимыми),	а

xr 1 ,..., xn – свободными. Перенося слагаемые, содержащие свободные неизвест-

ные, в правую часть уравнения (7), получаем систему относительно базисных неизвестных:

a x

... a

r 1

... a

11 1

1r 1

....................................................................

r 2

... a

rr 1

r 1

... a

r1 1

которая для	каждого	набора			значений					свободных	переменных
xr 1 с1 ,..., xn сn r	имеет единственное решение								x1 (с1 ,...,cn r ) ,…,		xr (с1 ,..., cn r ) ,
находимое по правилу Крамера.
Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной
системы имеет вид				x		(с	,..., c		)
				x		(с	,..., c	n r	)
					1	1		n r
				x2 (с1 ,..., cn r )
				.............
	X (с	,..., c				(с ,..., c				,	(8)
	X (с	,..., c	n r	) x		(с ,..., c		n r	)	,	(8)
	1		n r		r	1	с1	n r
							с1

				.............
						cn r

Формула (8), выражающая произвольное решение системы (4) в виде век- тор-функции от (n r) свободных неизвестных, называется общим решением

системы (4).

Пример 1. Установить совместность системы линейных уравнений:

x1 3x2 5x3 7x4 9x5 1x1 2x2 3x3 4x4 5x5 22x1 x2 8x3 3x4 14x5 4

		Решение. Выпишем матрицы A и												~
		Решение. Выпишем матрицы A и												A .
				1 3			5 7 9						~		1 3		5 7 9 1
					1 2		3 4				5		~			1 2	3	4 5 2
			A =		1 2		3 4				5	,	A =			1 2	3	4 5 2	.
					2 1		8 3 14									2 1	8 3 14 4
					2 1		8 3 14									2 1	8 3 14 4
Вычислим ранг				~
Вычислим ранг				A :
~	1 3 5 7 9						1		1 3					5		7	9 1
~		1 2 3			4 5		2			0	5			2		11	4 1
A =		1 2 3			4 5		2	~		0	5			2		11	4 1
		2 1 8 3 14					4			0	5			2		11	4 2
		2 1 8 3 14					4			0	5			2		11	4 2
	1	3	5		7	9		1						~
~	0	5	2	11		4								~
~	0	5	2	11		4		1	, то rang( A) 3.
	0	0	0		0	0
	0	0	0		0	0		1

В матрицу	A входят все столбцы матрицы	~	за исключением последнего
		A

(это столбец из свободных переменных), отбросив его, мы получим матрицу с нулевой последней строкой, а значит rang( A) 2 . Система несовместна.

		Пример 2.		Установить				совместность						системы				линейных уравнений и
найти общее решение.							x x			2x 3x					1
							x x		2	2x 3x				4	1
								1	2		3			4
							x1 2x2 3x3 4x4 3
							2x x			2	x	x	4	4
								1		2	3		4
		Решение. Выпишем матрицу							~		и вычислим ранг этой матрицы.
		Решение. Выпишем матрицу							A		и вычислим ранг этой матрицы.
~	1		1 2	3 1		1 1				2 3					1	1		1 2	3 1
~		1	2 3	4 3			0	3			5 7				2		0	3 5	7 2
A =		1	2 3	4 3		~	0	3			5 7				2	~	0	3 5	7 2	.
		2	1 1	1 4			0	3			5 7				2		0	0 0	0 0
		2	1 1	1 4			0	3			5 7				2		0	0 0	0 0
Следовательно,				~	rang( A) 2 , а значит система совместна. Поскольку
Следовательно,				rang( A)	rang( A) 2 , а значит система совместна. Поскольку

~ , то система имеет бесчисленное множество реше- rang( A) rang( A) 2 n 4

ний, укажем систему для определения множества решений

							18
		x x		2	2x			3		3x	4	1
		1		2				3			4
		0 x1 3x2 5x3 7x4 2 .
													0 0
													0 0
Пусть переменные x3 c1			и x4 c2							будут свободными, тогда x1 и x2 зави-
симыми и укороченная система имеет вид:
		x x				2		1 2c				3c			2
			1			2					1				2
			3x2 2 5c1 7c2
Из строки 2: x	2	2 5c1 7c2 ; из строки 1: x											x			2	1	2c 3c	2	5 c1 2c2 .
	2	3										1				2		1	2	3
		3																		3
Соответствующее общее решение исходной системы имеет вид
									5 c				2c	2
										1				2

											3
		X (с , c		)						2 5c1 7c2 .
		1	2								3
										c1
										c2
										c2

Укажем хотя бы одно решение из всего множества решений. Например, при

c1 c2	0	получаем решение X	T	5	2	0 0
				3	3		.

9. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ

Однородная система

AX 0

всегда совместна, так как заведомо имеет тривиальное решение X 0 .

Для существования нетривиального решения однородной системы необ-

ходимо и достаточно, чтобы rang( A) rang( A) r n .

Векторы a1 ,..., an называются линейно зависимыми, если существует та-

кая линейная комбинация 1 a1			2 a2
кая линейная комбинация 1 a1			2 a2		... n an 0 , при не равных нулю одно-
временно	i	i 1,..., n , т.е.	12	22	... n2 0 .	Если только при i 0
i 1,..., n
i 1,..., n	выполняется 1 a1 2 a2			... n an 0 ,		то векторы называются ли-

нейно независимыми.

Базисным набором векторов некоторого множества называется максимальный набор линейно-независимых векторов.

Пусть Q Rn - множество всех нетривиальных решений однородной сис-

темы. Из условия rang( A) rang( A) r n следует, что зависимых r перемен-

ных, а независимых переменных (n r) , т.е. базис во множестве Q состоит из (n r) векторов-столбцов

Е1 , Е2 ,..., Еn r ,

называется этот набор векторов фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид

X c1Е1 c2 Е2 ...cn r Еn r ,

где c1 , c2 ,..., cn r R .

Пример 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы.

x1 x2 2x3 3x4 0x1 2x2 3x3 4x4 02x1 x2 x3 x4 0

Решение. Выпишем матрицу ~ и вычислим ранг этой матрицы.

~	1		1 2		3	0		1		1 2		3 0		1 1			2	3	0
		1	2	3	4	0			0	3	5	7	0		0	3 5		7	0
A =								~						~						.
		2	1	1	1	0			0	3	5	7	0		0	0	0	0	0

Следовательно,						~	rang( A) 2 ,					а значит система совместна. Поскольку
					rang( A)

r 2 n 4 , то базис множества решений системы состоит из (n r) 2 векто-

ров.

Пусть базисными переменными будут x1 и x2 , а переменные x3 c1 и x4 c2 будут свободными, тогда укороченная система имеет вид:

x	x	2	2c	3c	2
1		2	1		2
3x2 5c1 7c2

Из строки 2: x	2	5c1 7c2	; из строки 1:	x	c1 2c2 . Соответствующее общее
	2	3		1	3
		3			3	c	2c		c	2c
						c	2c		c	2c
						1	3	2	1	3	2
						5c1	3		3	3
решение исходной системы имеет вид X (с1 , c2 )						5c1	7c2		5c1	7c2
												.
							3		3	3		.
							c		c	0
							1		1	c2
							c2		0	c2

Из общего решения системы находим фундаментальную систему реше-

ний

					20
			1 3					2		3

	E		5 3	, E				7		3	.
	E			, E		2					.
	1		1			2			0
			1						0
			0						1
			0						1
С использованием фундаментальной системы решений общее решение
системы может быть записано в виде
	X (c1 , c2 ) c1Е1 c2 Е2 .
Пример 2.	Даны векторы a (1; 2; 3),						b (-1; 0; 3),							с (2; 1; -1). Показать, что
векторы a , b и с	образуют базис.
Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы, други-
ми словами, если уравнение a b c 0									обращается в тождество только
при 0 . Запишем указанное тождество в виде
	1				1			2				0
		2			0				1				0
		2			0				1				0	.
		3			3								0
		3			3				1				0

2 0

Что представляет собой однородную систему 2 0 0 с основным опре-

3 3 0

делителем 4 0 , который отличен от нуля. Воспользовавшись методом Крамера, получим 1 = 2 = 3 =0, поскольку каждый из вспомогательных определителей содержит нулевой столбец. Решение системы имеет вид

04 0 .

Поскольку однородная система имеет только нулевое решение, то набор векторов a , b и с является линейно-независимым и, а следовательно, образует базис в R3 .

Замечание 1. Для проверки линейной зависимости набора из n векторов в пространстве Rn , достаточно проверить что det A 0 , где столбцами матрицы A являются координаты проверяемых векторов. Если det A 0 , то набор векторов линейно зависим.

Замечание 2. Если основной определитель квадратной однородной системы det A 0 , то система имеет бесчисленное множество решений.

10. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Рассмотрим квадратную матрицу n -го порядка A aij ,	i, j 1,2,..., n и
n-мерный вектор x(x1 , x2 ,..., xn ) .

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022288.03 Кб2Учебное пособие 120.pdf
#
30.04.2022867.08 Кб5Учебное пособие 1200.pdf
#
30.04.2022867.17 Кб14Учебное пособие 1201.pdf
#
30.04.2022867.61 Кб9Учебное пособие 1202.pdf
#
30.04.2022867.71 Кб8Учебное пособие 1203.pdf
#
30.04.2022867.73 Кб5Учебное пособие 1204.pdf
#
30.04.2022868.29 Кб9Учебное пособие 1205.pdf
#
30.04.2022870.65 Кб12Учебное пособие 1206.pdf
#
30.04.2022871.35 Кб7Учебное пособие 1207.pdf
#
30.04.2022872.31 Кб8Учебное пособие 1208.pdf
#
30.04.2022872.52 Кб9Учебное пособие 1209.pdf