Учебное пособие 790

Отсюда A = 0, B = − 1 и общее решение неоднородного

7

уравнения примет вид

в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y′′+ y = 0 . Корни характеристического уравнения

k 2 +1 = 0 чисто мнимые и имеют вид

k1,2 = ±i , т.е. α = 0, β =1.

Общее решение однородного уравнения будет u = C1 cos x +C2 sin x .

Поскольку правая часть неоднородного уравнения задана в виде тригонометрической функции и числа a = 0, b = 1 совпадают с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения, которое ищем в полной форме тригонометрического многочлена, следует умножить на x, т. е.

y1 = Ax cos x + Bx sin x .

Находим производную

y1′′= −2Asin x − Ax cos x +2B cos x − Bx sin x .

Подставим y1, y1′′ в исходное уравнение

−2Asin x +2B cos x = cos x

и приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрии-

ческих функциях, тогда получим, что A = 0, B = 1 . Отсюда

2

решение неоднородного линейного уравнения будет

y = C1 cos x +C2 sin x + 1 x sin x .

2

40

г) Для соответствующего однородного уравнения y′′− y = 0

составим характеристическое уравнение k 2 −1 = 0 . Его корни k1,2 = ±1. Общее решение однородного уравнения будет

u = C1ex +C2e−x .

Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме тригонометрической и показательной функций, причем m = -1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение также запишем в виде суммы

y1 = Acos x + B sin x +Cxe−x .

Находя y′′ и подставляя все в исходное уравнение, получим

−Acos x − B sin x −Ce−x −Ce−x +Cxe−x − Acos x − B sin x −Cxe−x = = sin x −e−x .

Приравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых тригонометрических и показательной функциях,

y1 = 12 (xe−x −sin x).

Следовательно, общее решение исходного уравнения будет

y = C1ex +C2e−x + 12 (xe−x −sin x).

д) Для соответствующего однородного уравнения

производные y1′, y1′′ и подставляя их в заданное уравнение, получим

41

ex (Acos x + B sin x)+ex (−Asin x + B cos x)+ex (−Asin x + B cos x)+ +ex (−Acos x − B sin x)−7ex (Acos x + B sin x − Asin x + B cos x)+

Правая часть неоднородного уравнения суть произведение двучлена на тригонометрическую функцию, поэтому частное решение представим в виде

−Asin x − Asin x −(Ax + B)cos x +C cos x +C cos x −(Cx + D)sin x − −2(Acos x −(Ax + B)sin x +C sin x +(Cx + D)cos x)= x cos x.

Таким образом, частное решение будет

42

y1 = −15 x +−145 cos x − 52 x − 15 sin x .

Отсюда общее решение неоднородного уравнения

y= C1 +C2e2 x − 15 x +−145 cos x − 52 x − 15 sin x .

8.3.Решить методом вариации произвольных постоянных уравнения:

решение однородного уравнения будет u = (C1 +C2 x)ex .

Пользуясь методом вариации произвольных постоянных, решение будем искать в виде

y = C1 (x)ex +C2 (x)xex ,

C1 (x), C2 (x) находятся из системы уравнений (9). Обозначая

Откуда C1′ = x21+1 , C2′ = x21+1 . Интегрируя последние выражения, находим

C1 = − 12 ln (x2 +1)+C1; C2 = arctgx +C2 .

Подставляя в общее решение, окончательно будем иметь y = C1 +C2 x − 12 ln (x2 +1)+arctg x ex .

43

б) Для соответствующего однородного уравнения y′′+ y = 0 составляем характеристическое k 2 +1 = 0 и находим

его корни k = ±i. Общее решение однородного уравнения будет

u = C1 cos x +C2 sin x .

Пользуясь методом вариации произвольных постоянных,

или

y = C1 cos x +C2 sin x + 2 cos1 x .

44

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:

1.y′ = 3 х2 , y(0) =1;

2.у′ = 3х , у(1) = 2;

3.y′ = e2 х , y(0) = 0;

4.y′ = sin12 x , y(π2 ) =1;

5.y′ = cos3 x, y = (π3 ) = 0; .

6.y′ = 4 +1x2 , y(2) = π8 ;

7.y' = x12 , y(1) = 0;

8.y′ = −y, y(2) = 4;

9.y′ = y12 , y(1) =1;

10.y′ = y3 , y(0) =1.

Решить данные уравнения. Найти также решения, удовлетворяющие начальным условиям (в тех задачах, где

45

16.(x +1)3 dy −( y − 2)2 dx = 0;

17.sec2 x sec ydx + ctgx sin ydy = 0;

18.( xy + x ) y′− y = 0;

19.y = y′cos2 x ln y, y(π) =1;

20.x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0;

21.yxex2 dx + (1 + y)dy = 0;

22.x(1 + y 2 )dx + e x dy = 0, y(0) = 0;

23.3 y 2 dx − 13 dy = 0;

24.y′ = y 2 cos 2x, y(π4 ) = 2;

26.costgydx2 x + costgxdy2 y = 0;

27.3e xtgydx + (1 −e x ) cosdy2 y = 0;

28.x2 (1 + y)dx + (x3 −1)( y −1)dy = 0;

29.2xdx +3ydy = 4x2 ydy − 2xy2 dx;

30.y′ = y 2 cos x;

31.(1 + x2 )dy − 2xydx = 0, y(0) =1;

32.y′ = y x+1, y(1) = 0;

33.(1 + e x ) yy′ = ex , y(0) =1;

34.y′ctgx + y = 2, y(0) = −1;

35.y′ = 33 y 2 , y(2) = 0;

36.xy′+ y = y 2 , y(1) = 0,5;30

37.2x2 yy′+ y 2 = 2;

46

38.y′− xy 2 = 2xy;

39.e−x (1 + dydx ) =1;

40.y′ =10 x+y ;

41.xydx + (x +1)dy = 0;

42.y 2 +1dx = xydy;

43.(x2 −1) y′+ 2xy 2 = 0, y(0) =1;

44.(1 + x) ydx +(1 − y)xdy = 0;

45.x2 y 2 y +1 = y;

46.y dydx + x = t.

Уравнения вида y' = f (ax +by) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z = ax +by или ( z = ax +by +c , где c - любое число).

47.y′ = cos( y − x);

48.y′− y = 2x −3;

49.(x + 2 y) y′ =1, y(0) = −1;

50.y′ = 4x + 2 y −1.

Решить уравнения:

55.y 2 + x2 y' = xyy′;

56.(x2 + y 2 ) y′ = 2xy;

47

57. xy′− y = x ln xy ; 58. xy′ = y − xe y / x ;

59. xy′− y = (x + y) ln x + y ; x

60.xy′ = y cos ln xy ;

61.( y + xy )dx = xdy;

62.xy′ = x2 − y 2 + y;

63.(2x −4 y +6)dx +(x + y −3)dy = 0;

64.(2x + y +1)dx −(4x + 2 y −3)dy = 0;

65.(x − y −1) +( y − x + 2) y′ = 0;

66.(x + 2 y)dx − xdy = 0;

67.(x − y)dx +(x + y)dy = 0;

68.( y 2 − 2xy)dx + x2 dy = 0;

69.2x3 y′ = y(2x2 − y 2 );

70.y 2 + x2 y′ = xyy′.

Найти общее решение или решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

71.y′− yctgx = sin x;

72.y'−y = e x ;

73.x2 dydx − 2xy = −3, y(−1) =1;

74.y′+ xy = x2 ;

75.y′− ytgx = cos x;

48

76.y′+ 2xy = x;

77.y′− 4 y = e2 x ;

78.y′+1 −xx2 y =1;

79.y′− ytgx = cos2xx ;

80.y′− x2x+1 y = x, y(1) = 0;

82.xy′− 2 y = 2x4 ;

83.(2x +1) y′ = 4x + 2 y;

84.y′+ ytgx = sec x;

85.(xy + e x )dx − xdy = 0;

86. y′+ y = x y;

87.x2 y 2 y′+ xy3 =1;

88.cos ydx = (x + 2 cos y) sin ydy.

Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах, и решить их:

89.2xydy + (x2 − y 2 )dy = 0;

90.(2 −9xy2 )dx + (4 y 2 −6x3 ) ydy = 0;

91.e−y dx −(2 y + xe−y )dy = 0;

92.xy dx + ( y3 + ln x)dy = 0;

49