Учебное пособие 790

Решим теперь задачу Коши. Согласно первому начальному

чения произвольных постоянных в общее решение, получим

частное решение y = cos 4x + 1 sin 4x.

2

7.2. Найти решение уравнений: а) y′′′−6 y′′+13y′ = 0 ;

Поскольку один корень действительный, а два комплексносопряженные, то общее решение имеет вид

y = C1 +e3x (C2 cos 2x +C3 sin 2x).

б) Составляем характеристическое уравнение k 4 −1 = 0 и находим его корни (k 2 −1)(k 2 +1)= 0, k1,2 = ±1, k3,4 = ±i . Два

корня действительные и разные, а два корня мнимые, следовательно, решение имеет вид

y = C1ex +C2e−x +C3 cos x +C4 sin x .

в) Данному дифференциальному уравнению соответствует

30

8. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных

Это уравнение отличается от однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции q от независимой переменной х.

Общий интеграл у линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла y1 и общего

интеграла u, соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при q = 0), т. е. y = u + y1 .

1°. Для некоторых специальных видов функции q(x) частный интеграл y1 , можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части q(x) можно заранее указать вид частного интеграла y1 , где неизвестны лишь

числовые коэффициенты. Рассмотрим эти случаи:

1) q(x) = emx P(x) , где P(x) – многочлен. В частности, если

m = 0, то q(x) = P(x), а если P(x) есть постоянная величина С (многочлен нулевой степени), то q(x) - показательная функция

Cemx .

2)q(x) = eax (Acos bx + B sin bx).

3)q(x) = P(x) cos bx + f (x)sin bx; P(x) и f (x) - многочлены.

4)q(x) – есть сумма рассмотренных выше случаев.

В этих случаях y1 , есть функция, подобная q(x), т. е.

отличающаяся от q(x) только числовыми коэффициентами. Если число m (для первого случая) или числа а±bi (для второго случая) являются корнями характеристического уравнения кратности r (соответствующего однородного уравнения), то

y1 , отличается от q(x) множителем xr .

31

Написав по виду правой части q(x) выражение функции y1

с неопределенными буквенными коэффициентами, находят производные y1′, y1′′ и т. д. и подставляют y1, y1′, y1′′,... в данное

неоднородное уравнение. Сравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей, составляют систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов, решение которой и определяет частное решение неоднородного уравнения.

. Если по виду правой части q(x) указать вид частного интеграла y1 затруднительно, то его можно найти с помощью п квадратур по формуле

В случае комплексных сопряженных корней бывает удобнее выражать тригонометрические функции через показательные по формулам Эйлера

3°. Метод вариации произвольных постоянных. Пусть требуется решить неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

32

где y1 и y2 — частные решения однородного уравнения. Будем считать C1 и C2 неизвестными функциями х. Для их определения необходимо решить систему

Подставляя C1 и C2 в выражение (8), получим общее

решение.

Если решается неоднородное уравнение n-го порядка и известна фундаментальная система решений y1, y2 ,..., yn

соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения (1) берем в виде

где C1 (x),C2 (x),...,Cn (x) определяются из системы уравнений

C1′y1 +C2′y2 +... +Cn′yn = 0,C1′y1′+C2′y2′ +... +Cn′yn′ = 0,

.....................................................

C1′y(n−2)1 +C2′y(n−2)2 +... +Cn′y(n−2)n = 0,C1′y(n−1)1 +C2′y(n−1)2 +... +Cn′y(n−1)n = q(x).

8.1. Найти решение уравнений: а) y′′−2 y′−3y = 3x −1 ;

б) y′′−2 y′ = 2 −5x2 ; в) y′′+6 y′+5y =8e3x ; г) y′′−6 y′+9 y = 4e3x ;

33

Решение. а) Найдем решение соответствующего

Поскольку правая часть неоднородного уравнения представляет многочлен второй степени, то частное решение y1 следует искать в полной форме многочлена второй степени

2A −4Ax −2B −3Ax2 −3Bx −3C = 3x2 −1 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой части

Отсюда А = - 1, В = 4 , С = −11 . Следовательно, имеем

3 3

y = −x2 + 4x − 11 .

y′′ - 2y′ = 0. Составляем характеристическое уравнение k2-2k=0 и находим его корни k1=0, k2=2. Общее решение получаем в

форме u = C1 +C2e2 x .

Определяем форму частного решения y1 . Поскольку в правой части неоднородного уравнения m = 0 и m совпадает

34

с корнем характеристического уравнения, то частное решение y1 в форме многочлена второй степени умножается на х, т. е.

y1 = x (Ax2 + Bx +C ).

Находим y1′ = 3Ax2 +2Bx +C, y1′′= 6Ax +2B и подставляем y1, y1′, y1′′ в заданное уравнение

6Ax +2B −6Ax2 −4Bx −2C = 2 −5x2 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

в) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y′′ + 6y ′ + 5y = 0. Составим характеристическое

Поскольку правая часть уравнения представляет показательную функцию, то частное решение ищем в

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

35

y = C1e−x +C2e−5 x + 1 e3x .

4

г) Найдем решение соответствующего однородного уравнения у'' - 6у' + 9y = 0. Составляем характеристическое

уравнение k 2 −6k +9 = 0 и находим его корни k1,2 = 3 . Так как корни кратные, то решение имеет вид u = (C1 +C2 x)e3x .

Поскольку в правой части m = 3 и совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то частное решение

исходное уравнение. После приведения подобных членов

д) Составляем характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения k 2 −3k +2 = 0 . Его корни k1 =1, k2 = 2 . Решение однородного уравнения будет

u = C1ex +C2e2 x .

Поскольку правая часть уравнения представляет произведение многочлена второй степени на показательную функцию и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищем в

виде y1 = (Ax3 + Bx2 +Cx)ex . Находя производные y1′ и y2′′ и подставляя их в исходное уравнение, будем иметь

(6Ax +2B +3Ax2 +2Bx +C +3Ax2 +2Bx +C + Ax3 + Bx2 +Cx)ex −

−(9Ax2 +6Bx +3C +3Bx2 +3Cx)ex +(2 Ax3 +2Bx2 +2Cx)ex =

= (x2 + x)ex .

Приведя подобные члены и сравнивая неопределенные коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему относительно А, В и С, решая которую, будем иметь

36

A = −1 , B = − 3 , C = −3 .

корни k1 =1, k2 = −5 . Общее решение однородного уравнения примет вид u = C1ex +C2e−5 x .

Поскольку правая часть исходного уравнения равна сумме двучлена и показательной функции и m = 1 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение запишем также в виде суммы двучлена и показательной функции, причем показательную функцию

Таким образом, частное решение будет

y1 = −53 x + 54 − 43 xex ,

а общее решение исходного уравнения примет вид y = C1ex +C2e−5 x − 53 x + 54 − 43 xex .

37

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями. Находя производную

Решение. а) Найдем общее решение соответствующего

Правая часть неоднородного уравнения представляет тригонометрический многочлен с разными аргументами у тригонометрических функций, поэтому частное решение ищем в полной форме двух тригонометрических многочленов

y1 = Acos 3x + B sin 3x +C cos x + D sin x .

Находим производные

y1′ = −3Asin 3x +3B cos 3x −C sin x + D cos x ,

38

y2′′ = −9Acos 3x −9B sin 3x −C cos x − D sin x .

Подставляем y1, y1′, y1′′ в исходное уравнение и прирав-

ниваем неопределенные коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций

−9Acos 3x −9B sin 3x −C cos x − D sin x +6 Asin 3x −6B cos 3x + +2C sin x −2D cos x +10Acos 3x +10B sin 3x +

+10C cos x +10D sin x = 2sin 3x +5cos x ;

Общее решение неоднородного уравнения примет вид

y = ex (C1 cos 3x +C2 sin 3x)+ 372 (6cos 3x +sin 3x)+171 (9 cos x −2sin x).

б) Найдем общее решение однородного уравнения y′′−3y = 0 . Характеристическое уравнение k 2 −3 = 0 имеет

Несмотря на то, что правая часть неоднородного уравнения одна тригонометрическая функция, частное решение ищем в полной форме тригонометрического многочлена y1 = Acos 2x + B sin 2x .

Находим производные

y1′ = −2Asin 2x +2B cos 2x; y1′′= −4Acos 2x −4B sin 2x .

Подставляем y1 и y1′′ в исходное уравнение, тогда

−4Acos 2x −4B sin 2x −3Acos 2x −3B sin 2x = sin 2x .

Приравниваем коэффициенты у одинаковых тригонометрических функций

39