Учебное пособие 790
.pdfx = ∫ |
ϕ′(p) |
dp +C; y =ϕ(p). |
(10) |
|
p |
||||
|
|
|
Если есть возможность, то в решениях (8), (10) следует исключить параметр р.
4°. Если дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет
вид |
|
|
y =ϕ(x, y′), |
(11) |
|
то, полагая y′ = p получим уравнение |
|
|
y =ϕ(x, p). |
(12) |
|
Дифференцируя (12) по х, считая p функцией х, получим |
||
p = ∂ϕ |
+ ∂ϕ dp . |
(13) |
∂x |
∂p dx |
|
Система уравнений (12), (13) является общим решением уравнения (11) в параметрическом виде. Определяя из (13) параметр p и подставляя в (12), если это возможно, находим общее решение уравнения (11) в явном виде.
5°. Если дифференциальное уравнение имеет вид
x =ψ (y, y′), |
(14) |
то, полагая p = y′, решение его находим из решения системы уравнений
x =ψ (y, p); |
1 |
= |
∂ψ |
+ |
∂ψ dp . |
(15) |
|
p |
∂y |
||||||
|
|
|
∂p dy |
|
|||
5.1. Решить уравнения: |
а) y = xy′2 + y′2 ; |
|
б) xyy′2 +(x2 + y2 )y′+ xy = 0 .
Решение. а) Найдем решения, отличные от нуля. Решим уравнение относительно y′
|
|
|
y′ |
2 |
|
|
y |
dy |
y |
||
|
|
|
|
= |
|
; |
dx = ± |
|
. |
||
|
|
|
|
x +1 |
x +1 |
||||||
Разделим переменные и проинтегрируем |
|||||||||||
|
dy |
= ± |
dx |
|
; ∫y−1/ 2dy = ±∫(x +1)−1/ 2d (x +1). |
||||||
|
y |
x + |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Откуда
2 y1/ 2 = ±2(x +1)1/ 2 +C или y = ± x +1 +C .
Общий интеграл (5) примет вид
( y + x +1 +C )( y − x +1 −C )= y −( x +1 +C )2 = 0
или y = ( x +1 +C )2 .
Для нахождения особого интеграла воспользуемся системой (4), тогда получим
p2 = x y+1; 2 p = 0 ,
откуда y = 0. Проверка показывает, что у = 0 является также решением исходного уравнения.
б) Полагая у' = t, решаем уравнение вида xyt2 +(x2 + y2 )t + xy = 0 относительно t:
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
2 |
+ y |
2 2 |
2 |
+ y |
2 |
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
||||
t1,2 = − |
|
|
± |
|
x |
|
|
|
−1 = − |
x |
|
|
± |
|
|
. |
||||||
|
2xy |
|
|
2xy |
|
|
2xy |
|
|
2xy |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда
|
|
|
|
t |
= |
−x2 − y2 + x2 − y2 |
= − |
y |
; |
t |
|
= |
−x2 − y2 − x2 + y2 |
= − |
x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
|
|
|
y |
|
|
|
y |
′ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
= − x ; |
и |
|
= − y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение |
первого |
уравнения |
|
|
имеет |
вид |
|
dy |
= − dx |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
ln |
|
|
y |
|
= −ln |
|
x |
|
+ln |
|
C |
|
; y = |
C - семейство гипербол. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ydy = −xdx ; |
|||||||
|
|
|
|
Решение |
второго |
уравнения |
будет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y2 |
|
= − |
x2 |
+C; x2 |
+ y2 = C - семейство окружностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5.2. Решить уравнения: а) |
+ y |
′ |
|
′ |
б) y = y |
′2 |
e |
y′ |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= ln y ; |
|
|
|
|
|
21
Решение. а) Приведем уравнение к виду |
x = 2(ln y′− y′) |
|||||||||
и положим у' = p, тогда |
x = 2(ln p − p). |
|
|
|
|
|||||
Продифференцируем это равенство |
|
|
|
|
||||||
|
dx = 2 dp −dp = |
2 |
1 |
−1 dp. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
||
Так как dy = pdx, то получим dy = 2(1- p)dp. Интегрируя, |
||||||||||
будем иметь y = 2 p − p2 +C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, общее решение в параметрическом виде |
||||||||||
будет x = 2(ln p − p); y = 2 p − p2 +C. |
|
|
|
|
|
|
||||
б) Полагаем |
y′ = p . Тогда |
y = p2e p . Дифференцируя это |
||||||||
выражение по x, |
будем иметь |
|
|
′ p |
2 |
e |
p |
′ |
||
p = 2 pp e |
+ p |
|
p . Откуда |
|||||||
|
dp |
|
1 |
|
или |
p = 0. |
|
|||
|
dx = |
|
; |
|
||||||
|
e p (2 + p) |
|
||||||||
Разделяя переменные в первом уравнении, получим |
||||||||||
(2 + p)ep dp = dx; |
|
ep (1+ p)= x +C. |
||||||||
Общее решение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = e p (1+ p)+C; |
|
y = p2e p . |
|
|
|
|
Особое решение (4) легко получить, подставляя p = 0 в уравнение y = p2e p , т. е. y = 0.
6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
1°. Пусть уравнение разрешено относительно старшей производной, а правая часть является функцией только от
аргумента x, т. е. y(n) = f (x). Это уравнение решается
последовательным интегрированием. Умножая обе части на
dx и интегрируя, получим уравнение (n - 1) - го порядка y(n−1) = ∫ f (x)dx +C1 =ϕ1 (x)+C1.
Снова умножая на dx и интегрируя, получим уравнение (n - 2) - го порядка
22
y(n−2) = ∫ϕ1 (x)+C1x +C2 =ϕ2 (x)+C1x +C2 .
После n - кратного интегрирования получим общий интеграл в виде функции от x и n произвольных постоянных интегрирования
y =ϕn (x)+C1xn−1 +C2 xn−2 +... +Cn .
Для отыскания частного решения необходимо найти постоянные интегрирования (задача Коши). Для этого
требуется n |
начальных условий y = y0 , |
y′ = y0′,..., y(n−1) = y0(n−1) |
||||||
при х= x0 . |
Иногда |
для |
нахождения |
частного |
решения |
|||
начальные условия задаются не в одной точке |
х= x0 , а на |
|||||||
концах |
некоторого промежутка |
x [x1, x2 ]. Такие |
условия |
|||||
принято называть граничными условиями. |
|
|
||||||
При |
нахождении |
частных |
решений |
постоянные |
||||
интегрирования C1,C2 ,...,Cn |
находятся из системы уравнений |
y0 =ϕn (x0 )+C1x0n−1 +C2 x0n−2 +... +Cn ;
y0′ =ϕn−1 (x0 )+C1x0n−2 +C2 x0n−3 +... +Cn−1;
...................................................................
y0(n−1) =ϕ1 (x0 )+C1
или непосредственно после того, как они появляются в процессе решения.
2°. Уравнение второго порядка вида f (x, y′, y′′)= 0 не содержит явным образом искомой функции y. Обозначим
dy |
= p, тогда |
d 2 y |
= |
dp |
и уравнение примет вид |
|
dx |
dx2 |
dx |
||||
|
|
|
fx, p, dp = 0.dx
Это уже уравнение первого порядка. Интегрируя его, найдем p = p (x,C1 ), откуда
y = ∫p (x,C1 )dx +C2 .
23
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Для определения значений постоянных C1, C2 при нахождении
частного решения, используем начальные условия y (x0 )= y0 ; y′(x0 )= y0′. Первое условие означает, что из семейства
интегральных линий выделяется такая линия, которая проходит через данную точку. Второе условие определяет направление линии заданием угла наклона касательной в этой точке.
3°. Уравнения второго порядка вида f (x, y′, y′′)= 0 не содержат явным образом независимого переменного х.
Сделаем замену dydx = p, но теперь будем считать р функцией,
т.е. |
d 2 y |
= |
dp |
= |
dp dy |
= p |
dp |
. |
Подставляя |
в |
исходное |
|||
dx2 |
dx |
dy dx |
dy |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
уравнение, |
получим |
f y, p, |
p dp |
= 0 . Интегрируя его, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
найдем p = p( y,C ) . Откуда |
dy = p( y,C ) или |
dy |
|
= dx . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
1 |
p( y,C1 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя еще раз, получим общее решение y = y(x,C1,C2 ) .
4°. В ряде случаев понизить порядок уравнений можно с помощью подстановок:
1. Если уравнение не содержит явно искомую функцию,
т.е. имеет |
вид |
|
|
|
′ |
′′ |
y |
(n) |
) = 0 , |
то |
с |
помощью |
||
F ( y, y , y ,..., |
|
|||||||||||||
подстановки |
y′ = p(x) |
порядок |
|
уравнения понижается |
на |
|||||||||
|
′ |
|
(n−1) |
) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
единицу F (x, p, p ,..., p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Если |
уравнение |
|
не |
содержит |
явно |
независимую |
||||||||
переменную, |
т. е. имеет вид |
|
|
′ |
′′ |
(n) |
) = 0 , то |
с |
||||||
F ( y, y , y ,..., y |
|
|||||||||||||
помощью подстановки |
y′ = p( y) , |
где |
за новый |
аргумент |
24
принимается |
у |
и y′′ = p dp |
, y′′′ = |
|
p d |
2 |
p2 |
|
|
|
2 |
||||||
p |
|
+ dp |
|
и т.д., |
|||||||||||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dy |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
порядок уравнения понижается на единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Если уравнение имеет вид |
y(n) = f ( y(k ) ) , то с помощью |
||||||||||||||||
подстановки |
y(k ) |
= p(x) порядок уравнения понижается на к |
|||||||||||||||
единиц p(n−k ) = f ( p(x)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Если |
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
(n) |
) = 0 |
|
|
является |
||||
уравнение F (x, y, y , y |
,..., y |
|
|
|
|
||||||||||||
однородным |
относительно |
′ |
′′ |
|
y |
(n) |
, |
|
то при |
замене |
|||||||
y, y , y ,..., |
|
|
|||||||||||||||
y′ = ty , |
где |
t(x) - новая |
неизвестная |
функция, |
порядок |
||||||||||||
уравнения уменьшается на единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
||||||
6.1. Решить уравнения: а) |
y(4) |
= e2 x ; б) |
y′′′ = |
при x=1, |
|||||||||||||
x2 |
|||||||||||||||||
y=0, y′ =1, y′′ = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Поскольку правая часть зависит только от х, то интегрируем правую и левую части последовательно четыре раза. Будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′′ = ∫e2 x dx = |
1 |
e2 x +C1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = |
∫ |
|
1 |
|
2 x |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
+C1 |
dx |
= |
|
|
|
|
e |
|
|
|
+C1x |
+C2 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y′ |
|
|
∫ |
|
1 |
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
e |
|
+C1x +C2 dx = |
|
|
e |
|
|
+ |
|
|
C1 x |
|
+C2 x +C3 , |
|||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
8 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
|
1 |
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|||||
y = |
|
|
|
e |
|
|
+ |
|
|
C1x |
|
+C2 x +C3 dx = |
|
|
|
|
e |
|
|
+ |
|
C1x |
|
+ |
|
C2 x |
|
+C3 x +C4 . |
|||||||||||||||||
8 |
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Поскольку правая часть зависит только от х, то решение находится непосредственным интегрированием правой и левой части. Постоянные интегрирования будем определять сразу же после интегрирования. Интегрируя по частям, будем иметь
y′′ = − 1 ln x − 1 +C1 при x =1, 2 = −1+C1, C1 = 3 . |
|
x |
x |
Интегрируя еще раз, получим
25
|
|
y′ = − |
1 |
|
ln2 x −ln x +3x +C2 |
при x =1, |
|
1 = 3 +C2 , C2 |
= −2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Наконец, интегрируя по частям, окончательное решение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
y = − |
x |
ln2 x + |
|
3 |
x2 −2x +C |
при x =1, |
|
0 = |
3 |
−2 +C , C = |
1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = − |
x |
ln2 x + |
3 |
x2 −2x + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
6.2. Проинтегрировать уравнения: а) x (y′′+1)+ y′ = 0 ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
xy′′ = |
1+ y′2 , |
|
y(1) = 0, |
|
y(e2 ) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Решение. а) |
|
Данное |
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
не |
|
|
содержит |
|
|
y, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
понизить |
|
его |
|
|
порядок можно |
|
с |
помощью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановки y |
′ |
= p(x) , тогда |
|
y |
′′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= p (x) . Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (p′+1)+ p = 0 |
|
или p′+ |
p |
|
= −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Это линейное уравнение, поэтому делаем замену p = uv; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
′ |
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= −1; |
|
|
|
= − |
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= u v +v u |
и интегрируем u v +u |
v |
|
|
|
|
v |
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
v = |
1 |
; |
|
|
u′ |
= −1; du = −xdx; u = − |
|
x2 |
|
+C |
|
; p = − |
x |
+ |
C1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Но |
p = |
dx |
, |
|
поэтому |
имеем |
dy = |
− |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
dx , |
|
|
откуда, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интегрируя, находим y = − |
|
|
+C ln |
x |
+C |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Поскольку уравнение не содержит у, то делаем замену |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ' = p, y '' = p '. |
Тогда xp ' = |
1+ p2 |
или |
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
= dx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ p2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
26
|
Отсюда |
|
|
|
ln |
|
|
p + |
|
|
1+ p2 |
= ln |
|
x |
|
+ln C ; |
|
|
|
|
p + |
|
1+ p2 |
= C x; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
1+ y '2 = C1x − y '; |
|
2C1xy ' = C12 x2 −1; dy = |
|
1 C1x − |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2C1x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
y = |
|
x2 |
C − |
1 |
ln |
|
x |
|
+C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
1 |
|
2C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Используя граничные условия, получим систему |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
C |
|
+C2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
C |
|
− |
+C |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
C1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
решая которую, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
C = |
|
2 |
|
|
,C |
|
|
|
= − |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
и C = − |
2 |
|
|
|
,C |
|
= |
|
|
1 |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
e2 −1 |
|
|
|
|
2(e2 −1) |
e2 +1 |
|
|
2(e2 −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решения системы С3 и С4 следует отбросить, так как С3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величина сугубо отрицательная и ln С3 |
не существует. |
Таким |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, частный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
x2 |
−1 |
|
− |
|
e2 −1 |
ln |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(e2 |
−1) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
1°. Линейным однородным уравнением называется
уравнение |
|
|
|
y(n) + P y(n−1) |
+... + P |
y '+ P y = 0, |
(1) |
1 |
n−1 |
n |
|
все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты Р1,Р2,...,Рп - постоянные величины.
Общий интеграл линейного уравнения п-го порядка имеет
вид
y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn , |
(2) |
27
где у1,у2,...,уп —линейно независимые частные решения этого уравнения.
Если искать частные решения в виде у = екх, то получим
характеристическое уравнение k n + Pk n−1 |
+... + P |
k + P = 0. |
1 |
n−1 |
n |
Порядок характеристического уравнения совпадает с порядком дифференциального уравнения. В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие общие решения дифференциального уравнения:
1. Если все корни k1, k2 ,..., kn характеристического уравне-
ния действительные и различные, то общий интеграл имеет вид
y = C ek1x +C |
ek2 x +... +C |
ekn x ; |
(3) |
|
1 |
2 |
n |
|
|
2. Если действительный корень к1 имеет кратность r
(k1 = k2 =... = kr ) , то в решении соответствующие члены заме-
няются слагаемым
ek1x (C1 +C2 x +... +Cr xr −1 );
3. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно-сопряженных корней k1,2 =α ± βi , то в
решении соответствующая пара членов заменяется слагаемым eαx (C1 cos βx +C2 sin βx);
4. Если пара комплексно-сопряженных корней k1,2 =α ± βi
имеет кратность r, то соответствующие r пар членов в решении заменяются слагаемым
eαx (C1 +C2 x +... +Cr xr −1 )cos βx +(Cr +1 +Cr+2 x +... +C2r xr −1 )sin βx .
2°. Если решением характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка у" + ру +qy = 0 является пара комплексно-сопряженных корней, то общее решение имеет вид
|
y = eαx (C cos βx +C |
2 |
sin βx). |
(4) |
|
|
1 |
|
|
|
|
Приведем еще |
одну форму |
записи этого |
решения. Пусть |
||
C1 = Asinϕ, C2 |
= Acosϕ , где А и ϕ новые произвольные по- |
28
стоянные. Подставляя вместо С1 и С2 их значения, общее решение примет вид
y = Aeα x sin(βx +ϕ). |
(5) |
Если в дифференциальном уравнении р = 0, то оно имеет вид y ''+qy = 0 и называется дифференциальным уравнением сво-
бодных гармонических колебаний. Корни его характеристичес-
кого уравнения чисто мнимые k1 = qi ; k2 = − q i , поэтому общее решение будет y = Asin ( q x +ϕ).
7.1. Найти решение уравнений: а) y′′−5y′−6 y = 0 ;
б) y′′−6 y′+9 y = 0; в) y′′+6 y′+13y = 0;
г) y |
′′ |
+16 y = 0, y(0) = |
′ |
|
|
1, y (0) = 2. |
|||
Решение. |
а) Составляем |
характеристическое уравнение |
||
к2 - 5к - 6 = 0 |
и находим его корни. По теореме Виета к1 = 6, |
к2 = -1. Поскольку корни действительные и разные, то общее решение имеет вид
|
y = C e6 x |
+C |
e−x . |
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
б) Составляем характеристическое уравнение к2 - 6к + 9 = 0 |
|||||||
и находим его |
корни |
к1 = к2 = 3. |
Поскольку |
корни |
|||
действительные и кратные, то общее решение имеет вид |
|
||||||
|
y = e3x (C +C |
x). |
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
в) Составляем характеристическое уравнение к2+6к+13=0 |
|||||||
и находим его корни k1,2 |
= −3 ±2i. В |
этом случае |
корни |
||||
комплексно-сопряженные |
α = −3, |
β = 2. |
Общее решение |
||||
уравнения имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
y = e−3x (C1 cos 2x +C2 sin 2x) |
|
||||||
или, согласно равенству (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = Ae−3x sin(2x +ϕ). |
|
|
||||
г) Составим характеристическое уравнение к2 +16 = 0 и на- |
|||||||
ходим его корни k1,2 |
= ±4i. В этом случае корни чисто мнимые |
||||||
α = 0, β = 4. Общее решение имеет вид |
|
|
|||||
y = C1 cos 4x +C2 sin 4x |
или y = Asin(4x +ϕ). |
|
29