Функции нескольких переменных. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н
.pdf
z = arctg(xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x2-3y2+2.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x2 +2xy-0,5y2-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.
Вариант 18
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z = ln(x2-y2); |
б) z = |
1 |
|
. |
|
|
|||
|
|
y - |
x |
|
2.Вычислить приближенно tg46° sin29°.
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z tg 2xy3 .
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = arcsin x2 , где x = sin t, y = cost при t = π, с точностью до y
двух знаков после запятой.
5.Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: ez-xyz-x+1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
6.Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e –y)
указанному уравнению |
u 2u |
|
u 2u |
0 . |
||
|
|
|
||||
x x y |
y x2 |
|||||
|
|
|
||||
30
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2-y2+z2-4x+2y = 14, M0(3,1,-4); б) S: x2+y2 = 5z, M0(1,3,2).
8.Определить градиент и производную заданной функции
z = x2+y2 в т. M0(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2+2,5y2-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 2.
|
Вариант 19 |
||
1. |
Найти и изобразить на чертеже область определения |
||
|
функций а) z = x 2 y2 -8; б) z ln(6 x y) |
x |
. |
|
|
||
|
|
y |
|
2. |
Вычислить приближенно (2,03)2/ (2,03)3 (1,05)3 7 . |
||
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y2-4xy+sin(2xy2).
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = |
y 2 |
, где x 1 2t , |
y 1 arctg t при t = 0, с точностью до |
|
x |
||||
|
|
|
двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
31
z = z(x,y), заданной неявно: x3+2y3+z3—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2-y2)
указанному уравнению |
2u |
|
2u |
0 . |
|
x2 |
|
y 2 |
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2-z2+xz+4y = 4, M0(1,1,2); б) S: x2+5y2+z2 = 10, M0(1,-1,2).
8.Найти направление наибольшего возрастания функции u = x2y2z в любой точке и в т. М0(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy-x2-y2+9.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = xy-3x-2y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 4.
Вариант 20
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z |
|
1 |
|
; |
б) z |
1 |
ln xy . |
|
x2 |
y 2 |
5 |
x 2 |
|||||
|
|
|
|
2.Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y-x2-3).
32
4. |
Вычислить |
|
значение |
производной |
сложной |
||||
|
функцииu |
y |
|
x |
, где x = |
sin t, y = cos t при |
t = |
|
, с |
|
x |
|
4 |
||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
точностью до двух знаков после запятой. |
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
|
|
||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: x2-3y2+z2-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в
данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли |
данная функция e– cos(x+3y) |
||||
указанному уравнению 9 |
2u |
|
2u |
. |
|
x2 |
y 2 |
||||
|
|
|
|||
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2-y2-z2+xz-4x = -5, M0(-2,1,0); б) S: x2-y2+z2 = 30, M0(3,2,5).
8.В направлении какой линии : y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т.М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x2-2y2+10.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 + xy-2 в области D: y = 4x2-4, y = 0.
33
Вариант 21
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z = ln(3x-y); б) z = |
xy |
|
|
. |
|
(x y) |
||
2.Вычислить приближенно 3,09e 0,09.
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x-y3)+x.
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = 
x2 y 3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2 = y-z+3, в данной точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
u = ex(xcos y-ysin y) указанному уравнению |
2u |
|
2u |
0 . |
|
x2 |
|
y 2 |
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2-xz+yz-3x = 11, M0(1,4,-1); б) S: x2+y2-4x+2y+4 = 0, M0(2,-2,0).
34
8. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M0(-1,1,-1), чтобы функция
u xy yz xz возрастала с наибольшей скоростью?
9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3-6xy +1.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2 y (4-x-y) в области D: y = 6-x, y = 0, x = 0.
Вариант 22
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) z = y- y2 x2 ; б) z = sin (x 2 y2 ) .
2.Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z x2 y sin x 3y .
4.Вычислить значение производной сложной функции
u = arcsin |
x |
, где x = sin t, |
y = cos t при t = π, с точностью |
|
2 y |
||||
|
|
|
до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2+y2+z2+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в
данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
35
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = |
y3 |
|||
x |
||||
|
|
|
||
указанному уравнению x2 2u |
y 2 2u |
0 . |
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+2y2+z2-4xz = 8, M0(0,2,0); б) S: 2x2-y+2z2 = 0, M0(1,10,2).
8.В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3+y3-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z = y 
x - y2- x+6y
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x3- y3-3xy в области D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.
Вариант 23
1.Найти и изобразить на чертеже область определения функций а) z = x 2 y2 – x; б) z = arcsin(1-x2-y2)+
+ arcsin2xy.
2.Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).
3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy)-3xy2.
36
4. Вычислить |
значение производной |
сложной функции |
||||||||||
u |
x |
|
y |
, |
где x = sin2t, |
y = |
tg |
2 |
t |
при t = |
|
, с |
y |
x |
|
4 |
|||||||||
точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2-y2-z2+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция
2 |
2 |
2u |
|
2u |
|
u = 3+ln(x |
+(y+1) ) указанному уравнению |
x2 |
|
y 2 |
0 . |
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2-y2-2z2-2y = 0, M0(-1,-1,1); б) S: x2+y2+2z2 = 10, M0(-1,1,2).
8.В направлении какой линии y2 = 4x или x2+y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3+y3 изменяется скорее в сторону
возрастания аргумента x?
9.Исследовать на экстремум функцию z = x2-xy+y2+9x-6y+20.
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4(x-y)-x2-y2 в области D: 2y + x = 4, x-2y = 4.
37
Вариант 24
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
2 2 |
|
x |
|
функций а) z = ln(25-x -y ); |
б) z = arctg( |
|
). |
x y |
|||
2.Вычислить приближенно (0,99)5,05.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
|
функции z = arcsin |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 4 |
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить значение производной сложной функции u = |
||||||||||
|
x y 3 , где x = lnt, |
|
|
y = t2 при t = 1, с точностью до |
|||||||
|
двух знаков после запятой |
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Вычислить значения частных производных функции |
||||||||||
z = z(x,y) , заданной неявно: |
|
x 2 |
y2 +z3-3z = 3, в данной |
||||||||
точке M0 (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой. |
|||||||||||
6. |
Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = |
1 |
|
||||||||
x 2 y2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
указанному уравнению |
2u |
|
2u |
0 . |
|
|
||||
|
x2 |
y 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.
а) S: x2+y2-3z2+xy = -2z, M0(1,0,1); б) S: y2-4y+z = 0, M0(1,-2,-12).
38
8. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т.
M0(-2, 2) функция |
z = 2x 2 y2 изменяется скорее в |
сторону возрастания аргумента x.
9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).
10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2- y2+2xy-4x в области D: y = x+1, y = 0, x = 3.
Вариант 25
1. Найти и изобразить на чертеже область определения
функций а) |
z |
|
x3 y |
; |
б) z = x - 2y |
1 |
|
. |
|
3 |
x y |
x y 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
2.Вычислить приближенно ( e 1,15)1,1.
3.Найти частные производные и полный дифференциал
функции z = e2 x y .
4. Вычислить значение производной сложной функции
u = arctg(x+y), где x = t2+2, y = 4-t2 при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
5. Вычислить значения частных производных функции
z = z(x,y) , заданной неявно: x2+2y2+3z2 = 59, в данной точке M0 (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e – cos(4y+x)
указанному уравнению 4 |
2u |
|
2u |
. |
|
x2 |
y 2 |
||||
|
|
|
39