Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Числовые и функциональные ряды. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика для студентов направления Техносферная безопасность. Пантелеев И.Н

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

470.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

			ì	4	при n нечётном,
=	2		(cos np -1) = íï-
	2			n2p 2
	2	2		n2p 2
	n p		ï	0	при n чётном,
			î	0	при n чётном,

cos

np x

sin

np x

ù2

1 æ 0

np x

ç ò 0sin

dx + òx sin

dx ÷

ê-x

ú =

è -2

û0

при n нечётном,

= -

cos np = ínp

n2p

при n чётном.

ï-

Подставив найденные коэффициенты в формулу(1), получим

искомое разложение заданной функции																									f (x).
f (x )=		1			4 æ						p x	1						3p x			1					5p x				ö
			-					ç cos				+				cos				+			cos						+	...÷	+
		2	-	p			2	ç cos			2	+		3	2	cos				+		2	cos				2		+	...÷	+
		2		p			è				2			3				2 5									2			ø
	2	æ				p x				1			2p x				1		3p x					1				4p x			ö
+		çsin							-		sin					+		sin				-			sin					+...÷.
+	p	çsin					2		-	2	sin			2		+	3	sin		2		-		4	sin		2			+...÷.
	p	è					2			2				2			3			2				4			2				ø
Пример 3.									Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = \|х\|
(Рис. 3) на интервале (-1;1) .

Рис. 3.

Эта функция является чётной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем l= 1 в формуле (8).

				2	1					x2			1
				2	1					x2			1
			a =	1	ò	xdx	= 2			2			= 1,
			a =			xdx	= 2						= 1,
			0
					0								0				1
					0								0
	1					é x sin (np x)									cos (np x)ù
	1

an = 2ò x cos (np x)dx = 2 ê														+		ú		=
an = 2ò x cos (np x)dx = 2 ê									np					+	2 2	ú		=
	0					ë			np						n p	û0
						ì	4					при n нечётном,
=	2		(cos np -1) = íï-
	2							n2p 2
	2	2						n2p 2
	n p					ï	0				при n чётном,
						î	0				при n чётном,

Подставив найденные коэффициенты в формулу(7), получим искомое разложение функции в ряд Фурье.

		1		4		æ	cos 3p x			cos 5p x		ö
x	=		-			çcos p x +			+			+...÷ .
		2		p	2		3	2		5	2
						è						ø

Полученное равенство справедливо при любом x Î(-1;1). Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию f (x)= х

(Рис. 4) на интервале (-p;p )

Рис. 4.

Так

как

данная

функция

является

, нечётнойто

коэффициенты an = 0 . Полагая

l = p

в формуле (6), находим

коэффициенты bn .

2 p

x cos nx

sin nx ùp

òx sin nxdx =

ê-

ú =

û0

ì2

при n нечётном,

= -

cos np = ín

при n чётном.

ï-

î n

Следовательно,

разложение

ряд

Фурье

данной

функции

имеет вид

x = 2

çsin x -

sin 2x +

sin 3x -

sin 4x +...÷ .

Функцию f(x), определённую в интервале(0;l ) и обладающую в нём приведёнными в теореме разложения

свойствами,	можно в	этом	интервале представить ка
формулой (7), так и формулой (9).			ряд по косинусам функцию
Пример	5. Разложить	в	ряд по косинусам функцию

f (x )=

на интервале

(0;p ) .

Для

коэффициентов

Фурье

ряде(7)

определения

применим формулу (8).

2 p æ p

2 ép

ùp

a0 =

÷dx =

x -

ú = 0 ,

ò0 è

4 2

û0

p æ

öcos nxdx =

p (p - 2x )cos nxdx =

4 2

2p ò0

p ò0 è

sin nx

2 cos nxdx ùp

1 -cos np

ê(p - 2x)

ú =

û0

n p

2sin2

при n нечётном,

ín2p

n2p

при n чётном.

Следовательно, получаем следующее разложение

p æ

cos 3x

cos 5x

ç cos x +

...÷.

2 è

Пример 6. Разложить функцию f (x)= х на интервале (0; 1) в ряд по синусам.

Для определения коэффициентов Фурье в ряде(9) применим формулу (10).

cos (np x)

sin (np x)ù

bn = 2ò x sin (np x)dx =2 ê-x ×

2 2

n p

û0

при n нечётном,

2cos np

= -

= ínp

при n чётном.

ï-

Следовательно, получаем следующее разложение

	2	æ	1		1		1	ö
x =		çsin p x -		sin 2p x +		sin 3p x -		sin 4p x +...÷.
x =	p	çsin p x -	2	sin 2p x +	3	sin 3p x -	4	sin 4p x +...÷.
	p	è	2		3		4	ø

Всилу одинаковой периодичности тригонометрических

функций, ряд Фурье (1), представляющий функцию f (x) на

(-l;l ) , представляет в каждом отрезке [a;b] É (-l;l ) функцию

f *(x),	полученную			2l		периодическим		продолжением
функции f (x) с интервала (-l;l ) на всю числовую прямую за
исключением		точек				вида(2m +1)l, m Î¢ .		Значения
f *((2m +1)l ), m Î¢					выбираются		произвольно. Если
определены значения f			(l - 0)			и f (-l + 0)(см. (11)), то обычно
полагают				1
	f *((2m +1)l ) =				( f (l - 0 )+ f (-l + 0)), m Î¢ .

			2			f *(x) удовлетворяет
Поэтому, если функция									условию
(12) в	точке	x = l ,		то		ряд (1)	сходится	в	точках
x = (2m +1)l, m Î¢ к функции f *((2m +1)l ).

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.1. Написать формулу общего члена ряда:


1)	1+8 + 27 + 64 +125 +...									2)		1		+		1			+		1		+		1	+ ...

										1×4 2 ×5 3×6 4 ×7
3)	1+	2	+	4	+	8	+	16	+...	4)	2	+	4		+		6	+		8	+	10		+ ...

	3		5		7		9			3		5				7		9			11

4.2. Написать четыре первых члена ряда по известному общему члену:

5) a =							3n - 2										.										6) a =						1							. 7) a =												2 + (-1 )n							.
5) a =																	.										6) a =													. 7) a =																			.
	n							n2 +1																							n				n		n													n						n2
																																	(3 + (-1 ))
				æ																	np ö
				ç2							+ sin															÷cos np																	n
				ç2							+ sin															÷cos np																	n
8) a =					è																	2 ø										.	9) a		= (-1 ) n .
8) a =																						n!										.	9) a		= (-1 ) n .
	n																					n!												n						2n2
4.3.		Доказать																					непосредственно												сходимость																	ряда					и найти
его сумму:				1										1								1																1						1					1
10)	1+			1					+					1						+		1			+...								11) 1-					1			+			1	-				1		+...
10)	1+			3					+					2						+		3			+...								11) 1-								+				-						+...
				3							3										3																3					9					27
12)	1+			1								+			1								+			1			+...				13)		1					+		1						+			1				+ ...
				3 2											3 4							3 8													1×2 2 ×3 3 ×4
14)	1					+					1							+				1					+ ...						15)		1							+					1					+			1			+ ...
14)						+												+									+ ...						15)									+										+						+ ...
	1×4 2 ×5 3 ×6																																		1×2 ×3 2 ×3×4 3×4 ×5
16)		1	+					2					+			3					+			4				+ ...					17)		1	+			2				+			3				+	4			+ ...
16)	7		+										+								+							+ ...					17)		9	+							+							+	94			+ ...
	7			72											73							74													9					92						93					94
																																		¥
18) 1+ 2a + 3a2 + 4a3 +...,																														a	<1.		19) å(								n + 2 - 2										n +1 +						n ).
18) 1+ 2a + 3a2 + 4a3 +...,																														a	<1.		19) å(								n + 2 - 2										n +1 +						n ).
4.4.																																		n=1
4.4.														Установить																			расходимость ,																						используяряда
необходимый признак сходимости:																																															2n + 3
																																										¥					2n + 3
20)	1-1-1+1+1+1-1-1-1-1+...																																		21) å																		.
20)	1-1-1+1+1+1-1-1-1-1+...																																		21) å													n +			1		.
																																											n=1					n +			1
	¥								2													1																				¥					æ 2n2 +1 ön2
22)	ån									sin																				.					23) åç																					÷ .
22)	ån									sin						n			2											.					23) åç																2	+				÷ .
		n=1														n						+ n +1																						n=1 è 2n								+			3 ø

ön2

ç1

24) å

25) å

n 1

ç n +

	¥	1		¥	1		¥	n +1
26)	å		.	27) å		.	28) å		.
					n
	n=1	n 0,3		n=1	n		n=1	3n + 2
4.5.		Используя		признаки			сравнен,	иясследовать		на

сходимость ряд:

¥	n
29) å	n			.
29) å	(n + 2)	2	n	.
n=1	(n + 2)	2
¥		1
31) å		1			.
31) å	(n + 2)(n2 +1)				.
n=1	(n + 2)(n2 +1)

¥			1
30) å			1			.
30) å						.
n=1	n (n + 2)
¥		n2 + 3n + 2
32) å								.
32) å	3n	4	+ n	3	+ 2n			.
n=1	3n		+ n		+ 2n		+1

	¥			1					¥		1				¥		2
33)	å			1			.	34)	å		1		.	35)	å			n			.
33)	å					n	.	34)	å				.	35)	å				2		.
	n=1		1+ 3						n=1	(1	+ 2n)				n=1			2n
	¥		1					¥		1				¥	n4 + 3n3
36)	å				.			37) å				.		38) åln						.
36)	å				.			37) å				.		38) åln		4				.
	n=1	ln n						n=1	(ln n		)			n=1	n		+1

	¥	n -1).
39)	å( n -	n -1).
	n=1
	¥	1
41)	ån arcsin	1	.
41)	ån arcsin	3	.
	n=1	n

4.6. Используя сходимость ряд:

¥	1		( n +1 - n -1).
40) å
		n
n=1
¥	(		n +1 - n + 2 )ln	3n +1
42) å					.

n=1				3n -1
признак		Даламбера, исследовать				на

¥	2n -1		¥	1	¥	n!
43) å		.	44) å		. 45) å		.
	n			(2n +1)!		n
n=1	2		n=1		n=1	7

(

n +1

46) å

)

. 47)

. 48) å

(2n +1)

n=1

n=1 3

49) å

50)

51)

(5n - 4)(4n -1)

n=1

n=1 n

n=1

4.7. Используя признак Коши, исследовать на сходимость

ряд:

(5 -(

æ n +1 ön

-1 ))

52) å

÷ .

53) å

n ×4

n=1

+ 5 ø

n=1

2n +1 ön

1 ön

54) åçln

÷ .

55) å

çsin

÷ .

n=1 è

n + 5 ø

n=1

n ø

3 ön3

56) åçcos

÷ .

n=1 è

n ø

4.8. Используя интегральный признак, исследовать на

сходимость ряд:

57) å

58) å

n ×ln n ×ln ln n

n=2

n ×ln

n=2

- n

59) å

60) å

61)

n=1

(2n -1)2n

n=1

3n - 2

4.9.

Применяя

различные

признаки

сходим,

исследовать сходимость знакоположительных рядов:

	¥	1			1			¥		n
62)	å	1	sin		1		.	63) å		n					.
62)	å		sin		2		.	63) å	(n +1)				2		.
	n=1	3 n			n			n=1	(n +1)
	¥							¥		n +1
65)	åne-n .							66) å		n +1		.
65)	åne-n .							66) å	n	3		.
	n=1							n=1	n	+ 5
	¥	2n -1						¥		n5 +1
68)	å					.		69) åln						.
68)	å	(n +1)		2		.		69) åln		n	5			.
	=							=		n
	n 1							n 1

¥	1
64) å		.

n=1	n -sin n

¥
67) åln5n .
n=1	n

¥arctgn

70)ån=1 10n - n .

(31n -1)sin

3n +1

71) å

72) å

73) å

n=1

n +1

arcsin 1

74) åln

. 75) å 7 n

. 76)

çln cos

n=1

+ 5

n=2

n ø

n=1

n +1 - n

ln n

77) ån10e-

n .

78) ån2e- 3 n .

79) å

n=1

n=2

ln n

+ 2

- n - 2

80) å

81) å

n=2

n=3

3 n2

82) å

(a n

- 2 + a-n

), a > 0, a ¹ 1.

83) å(

n +1 -

n )

arctg

n=1

cos

æ n + 5 ön

84) å

85) å

÷ .

86) å

arccos

n=1

è 3n -1

n=1

æ n - 3 ön

2 ×5×8 ×...×(3n -1)

æ 2n +1 ö

87) å

÷ . 88) å

. 89)

n + 3

×7 ×12 ×...×(

5n - 3)

n=4

è n +1

n=1

	¥		n
90)	å		n					.
90)	å	æ		1		ö	n	.
	n=1	æ	3 +	1		ö
		ç				÷
		ç			n	÷
		è			n	ø
	¥			1
92)	å			1					.
92)	å								.
	n=1	n	ln (n +1)

	¥	( n +1 - 4 n2 + n + 3 ).
91)	å	( n +1 - 4 n2 + n + 3 ).
	n=1
	¥	(2nn	-1)!! .	¥	1
93)	å			94) å	1	.
93)	å			94) å		.
	n=1	3	×n!	n=1	n n

-1).

95) å

96)

ålog2n (1+

97) å(n

1n3

n=1

n=2

n +1

ön

98) ån sin

99) å

n ln

. 100) åçcos

÷ .

n -1

n=1

n=2

n=1

1 ön

n n +1

101) å

. 102)

åçarcsin

÷ . 103)

n - ln n

n=2

n=1

n=2

n n n -1

7 ön

1 ö

104) åçcos

÷ .

105) åçln

- ln sin

÷ .

n=1

n ø

n=1

¥	æ	2n + 3	ön	¥	1
106) åçln			÷ .	107) å				. 108)
		n +1			n ln	a
n=1	è		ø	n=2			n

¥	¥
109) åe-a2n , a ¹ 0 .	110) åëén (31n -1)ûù . 111)
n=1	n=1

¥ ln n

ån=2 na .

¥ æ ln cos 1 ön

åç n ÷ . n=2 è ln cos 3n ø

¥											¥		3
¥	1										¥		(n! )
112) å	1						.			113) å			(n! )			.
112) å					2	ln n	.			113) å				3		.
n=2	n ×ln n ×ln					ln n					n=1 é(2n +1)!ù 2
											ë			û
4.10. Применяя признак Лейбница, показать, что данный
ряд сходится
¥		n-1					¥			n-1			¥				n-1
¥		(-1 )					¥			(-1 )			¥		(-1 )
114) å		(-1 )	. 115)				å			(-1 )		.	116) å		(-1 )				.
114) å			. 115)				å		(3n + 5)		2	.	116) å						.
n=1		2n -1					n=1		(3n + 5)				n=1		n!
¥		n								¥			n
¥		(-1 ) n .								¥	(-1		)ln n
117) å		(-1 ) n .						118) å			(-1		)ln n
n=1		n + 20								n=2			n
4.11.		Исследовать							ряд		на		абсолютную							и	условн
сходимость:
¥		n+1					¥			n			¥		n +1		3
119) å		(-1 )		.		120)	å			(-1 ).	121) å(-1 )							n .
119) å		a		.		120)	å			(-1 ).	121) å(-1 )							n .
n=1		n					n=2			ln n			n=1	n + 2

	¥			n
			(-	1 ) n( -1)
122)	å					.
			8
	n=2			n (n +1)
	¥			n	æ 3n +1 ön
124)	å	(-1 )			ç		÷ .

	n=0				è 4n + 5		ø

¥	n+1	1
123) å(-1 ) tg		1	.
123) å(-1 ) tg			.
n=1		n 3 n

¥ (-1 )n+1

125) å .

n=1 n n

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика