Числовые и функциональные ряды. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика для студентов направления Техносферная безопасность. Пантелеев И.Н

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +... +

f (n) (0)

x

n

+ Rn

(x),

(3)

1!

n!

где

R (x) =

f (n+1)

(q × x)

x

n+1

(0

< q <1).

(4)

n

(n +1)!

lim Rn (x) = 0

(5)

n®¥

f (x) = f (a) +

f '(a)

(x - a) +... +

f (n) (a)

(x - a)

n

+...

(6)

1!

n!

Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. В

случае а = 0 ряд Тейлора принимает вид

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +... +

f

(n) (0)

x

n

+...

(7)

1!

n!

Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции.

Разложение функции в степенной ряд единственно, т.е.,

если

функция

f (x)

разложена

каким-либо

образом

в

степенной ряд

f (x) = a + a (x - a) +... + a

(x - a)

n

) +... ,

то a

=

f (n) (a)

.

0

1

n

n

n!

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой

функции, которая в

окрестности

точки

а

имеет

производные

любого

порядка.

Однако

этот

ряд

будет

сходиться к породившей его функции f (x)

только при

тех

значениях х, при которых остаточный член Rn (x)

при

неограниченном возрастании п стремится к нулю.

значения

этой

функции

и

её

производных x =приa ,

подставить их в общее выражение ряда Тейлора (6);

2) исследовать

остаточный

член Rn

формулы Тейлора для

данной функции и определить те значениях, при которых

полученный ряд сходится к данной функции, т.е. при которых

lim Rn (x) = 0.

n®¥

При

разложении

функций

в

степенные

ряды час

используются

разложения

в

ряд

Маклорена

следующи

функций:

¥

x

n

x

x

2

x

n

ex = å

= 1+

+

+ ... +

+...

(-¥ < x < +¥)

(8)

n!

n!

n =0

1!

2!

¥

n

x2n-1

x3

x5

x7

sin x = å(-1 )

= x -

+

-

+... (-¥ < x < +¥) (9)

3!

5!

7!

n=1

(2n -1)!

¥

x

2n

x

2

x

4

x

6

cos x = å(-1)n

=1-

+

-

+... (-¥ < x < +¥)

(10)

6!

n=0

(2n)!

2!

4!

¥

x

n

x

2

x

3

x

4

ln(1+ x) = å(-1)n-1

= x -

+

-

+... (-1 < x £1)

(11)

n=1

n

2

3

4

(1+ x)a

=1 +

a

x +

a (a -1)

x2 +... +

a(a -1)...(a - n +1)

xn

+...

1!

2!

n!

(-1 < x <1)

(12)

1

=1+ x + x2 +... + xn +...

(-1 < x <1)

(13)

1

1- x

= 1- x + x2 - x3 +... + (-1)n × xn +...

(-1 < x <1)

(14)

1+ x

В скобках указаны промежутки, на которых верны данные

разложения.

Пример 1.

Разложить

в

ряд

Маклорена

функцию

f (x) = arcsin x, используя разложение функции

1

.

1- x2

1

Разложим

в

ряд

Маклорена,

для

чего

1- x2

формуле x на

воспользуемся

формулой (12), заменив в этой

Получим:

1×3

1×3

×5 ×...×(2n -

1

=1+

1

x2 +

x4 +... +

1)

x2n +...

1- x2

×4 ×6 ×...×2n

2

2 ×4

2

[0, x] где

0 < x <1,

находим:

x

dx

x

æ

1

2

1×3

4

ö

ò

= ò

ç1+

x

+

x

+...÷dx =

1- x

2

2

2 ×4

0

0

è

ø

= x +

1

x3

1×3

x5

1×3 ×5 ×...×(2n -1)

x2 n+1

×

+

×

+ ... +

×

+ ...

2

3

2

×4

5

2 ×4 ×6 ×... ×2n

2n +1

x

dx

Так как ò

= arcsin x ,

то

1- x

2

0

arcsin x = x +

1

× x

3

1×3 ×5 ×... ×(2n -1)

x2n+1

+... +

×

+...

6

2 ×4 ×6 ×

...×2n

2n +1

Полученный ряд сходится при

x

<1 .

элементарных

функциях.

Решения

некоторых

из

этих

уравнений

могут

быть

представлены

в

виде

степенных

рядов, сходящихся

в

определённых интервалах. Ряд,

являющийся решением дифференциального уравнения, можно

найти или способом неопределённых коэффициентов, или

способом,

основанным

на

применении

ряда

Тейлор

(Маклорена). Способ

неопределённых

коэффициентов

особенно удобен в применении к линейным уравнениям.

1 4

Пример 1. Вычислить интеграл ò e- x2 dx с точностью 10-4 .

0

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для

этого в основное разложение (8),

подставим

-x2

вместо x :

e-x2

=1-

x2

+

x4

-... + (-1)n

x2 n

+...

(-¥ < x < +¥).

n!

1!

2!

1 4

1 4 ¥

x

2n

¥

(-1)

n 1 4

ò e-x2 dx = ò å(-1)n

dx =

å

ò x 2ndx =

n!

n!

0

0 n=0

n=0

0

¥

(-1)

n

æ

x

2n +1

1 4 ö

¥

(-1)

n

2 n+1 .

= å

×ç

0

÷

= å

n=0

n! è

2n +1

ø n=0

n!×(2n +1) ×4

Полученный

числовой

ряд

есть

знакочередующий,

удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница,

поэтому если

1

=

1

< 10

-4

.

2!×5 ×45

10240

Следовательно, чтобы

вычислить

интеграл с точностью

1 4

1

1

1

1

ò e-x2 dx »

-

=

-

» 0, 2448.

4

1!×3×4

3

192

0

4

2

Искомое решение запишем в виде ряда Маклорена:

y( x) = y(0) +

y '(0)

x +

y ''(0)

x

2

+

y '''(0)

x

3

+... +

y(n) (0)

x

n

+...

1!

2!

3!

n!

Найдём выражения для

трёх

производных,

дифференцируя

исходное уравнение:

y '' = 2x + 2 yy ',

y ''' = 2 + 2

×( y ')2 + 2 yy '',

y(4)

= 6 y ' y ''+ 2 yy '''.

внимание y(0) =

1

и данное уравнение y ' = x2 + y2 , откуда

2

y '(0) = 0 +

æ 1

ö

2

1

;

y ''(0)

= 2 ×0 + 2 ×

1

1

1

;

ç

÷

=

×

=

2

2

2

4

4

è

ø

y '''(0) = 2 + 2 ×

1

+ 2 ×

1

×

1

=

19

;

y(4) (0) =

1

+

1

+

19

=

11

.

42

2

4

8

4

8

8

4

y( x) =

1

+

1

x +

1

x2 +

19

x3 +

11

x4 +...

2

4

8

48

96

a0

¥

np x

np x

f (x) :

+ å(an cos

+ bn

),

(1)

l

где

2

n =1

l

l

a

=

1

f (x) cos

np x

dx, (n = 0,1, 2, 3,...),

(2)

n

l -òl

l

b

=

1

l

f (x) sin

np x

dx, (n =1, 2, 3,...).

(3)

n

l -òl

l

Знак ~ означает,

что функции f (x) ставится в

соответствие

тригонометрический ряд по данной формуле.

В случае, когда

l = p , то

есть

f (x) задана

на интервале

(-p,p ) , ряд Фурье функции

f (x)

записывается в виде

a0

¥

np x

f (x) :

+ åan cos

,

(7)

где

2

n=1

l

l

a

=

2

f (x) cos

np x

dx, (n = 0,1, 2,3,...).

(8)

n

l

ò0

l

Аналогично,

если

функция f (x) является

нечётной

на

интервале (-l, l) , то получаем

¥

np x

f (x) : åbn

sin

,

(9)

где

n=1

l

l

b

=

2

f (x) sin

np z

dx, (n =1, 2,3,...).

(10)

n

l ò0

l

Точка x0 Î(-l,l)

называется регулярной точкой функцииf (x),

определённой на интервале (-l, l) , если существуют конечные

пределы

lim f (x) = f (x0 + 0),

lim f (x) = f (x0 - 0)

(11)

x®x0 +

x®x0 -

и

1

f (x ) =

( f (x

+ 0) + f (x -0)).

(12)

0

0

0

lim

f (x0 + h) - f (x0 + 0)

,

lim

f (x0 - 0) - f (x0 - h)

.

h®0+

h

h®0+

h

Чтобы ряд Фурье (1) функции

f (x)

на интервале(-l, l)

сходился к функции f (x), заданная функция

f (x) на (-l, l)

должна

удовлетворять

определённым

.

ус

Сформулируем теорему разложения.

Если функция f (x) является кусочно-гладкой на интервале

(-l, l) , то для любой регулярной точки x0 Î(-l, l)

ряд Фурье

(1) функции f (x) в точке x0 сходится к

f (x0 ):

a

¥ æ

np x

0

np x

ö

f (x0 )=

0

+ åçan

cos

+ bn sin

0

÷ .

l

l

2

n=1 è

ø

Теперь

находим

коэффициенты an (n = 1, 2,3,...)

по формуле

(5).

a

1

æ 0

-2 cos nxdx +

p

3cos nxdx

ö

1

æ

é

-2nx ù0

é

3x ùp ö

=

=

ç

+

÷ = 0 .

ç ò

ò

÷

ê

ú

ê

ú

n

p

p

ç

n

÷

è-p

0

ø

è

ë

û-p

ë

n û

0 ø

Пользуясь формулой (6) определим коэффициенты bn .

1 æ

0