Учебное пособие 516

2π = n( 2nπ )

также их период. Очевидно, что каждый член тригонометрического ряда (1.1) является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому и любая частичная сумма ряда (1.1) 2π - периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на х + 2π, то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что, если ряд (1.1) сходится на отрезке [-π,π], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике, в частности, - в электрорадиоцепях.

Другим важным свойством тригонометрической системы функций (1.2) являются их ортогональность на отрезке [-π,π] в следующем смысле: интеграл по отрезку [-π,π] от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [-π,π] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Действительно:

2

Аналогично находим

π∫sin mxsin nxdx = 0 при m≠n.

−π

1.1.2. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Пусть тригонометрическая функция y=f(х) периода 2π разлагается в тригонометрический ряд

Это означает, что ряд, стоящий в правой части формулы (1.7), сходится и суммой его является функция f(x). В силу периодичности f(x) сходимость ряда имеет место для любой точки х числовой оси.

3

Наша задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты α0, αn, bn этого ряда, зная исходную функцию f(x).

Теорема. Если функция f(x)определена и интегрируема на отрезке [-π,π], разлагается в тригонометрический ряд, а этот ряд сходится равномерно для любого х, то разложение (1.7) единственно и

Доказательство. Интегрируя почленно (1.7) (для равномерно сходящегося ряда это законно), получаем

Для определения коэффициента αm, при cosmx (m – натуральное число, т.е. m =1,2,3,…) умножим равенство (1.7) на cosmx и проинтегрируем почленно по х от -π до π. Тогда на основании формул (1.3) – (1.6) получаем

откуда

Аналогично, умножая равенство (1.7) на sinmx и интегрируя в пределах от -π до π, на основании тех же формул получаем

π∫ f (x)sin mxdx = bmπ,

−π

откуда находим

Таким образом, переобозначив в (1.9) – (1.10) m на n, мы видим, что для разложения

f (x) = α20 +∑т∞=1 (αn cos nx +bn sin nx).

Коэффициенты α0, αn и bn определяются единственным образом по формулам

что и доказывает теорему.

5

Доказанная теорема дает основание ввести следующее определение.

Определение. Коэффициенты α0, αn и bn,определяемые по формулам (1.11) – (1.13), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд

α0 + ∑∞ (α cos nx +b sin nx)

2n=1

сэтими коэффициентами называется рядом Фурье функцииnn

f(x).

Замечание. Следует отметить, что не всякий тригонометрический ряд (1.7) является рядом Фурье. Даже если он сходится для всех х, нельзя утверждать, что этот тригонометрический ряд является рядом Фурье.

Действительно, ряд

sinln22x + sinln33x + sinln44x +...

сходится для всех х, но не является рядом Фурье, потому что его коэффициенты не могут быть определены по формулам

(1.11) – (1.13).

sinln22x + sinln33x + sinln44x +...

сходится для всех х, но не является рядом Фурье, потому что его коэффициенты не могут быть определены по формулам

(1.11) – (1.13).

1.2. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π

1.2.1. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости.

Рассмотрим теперь вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд

6

Фурье сходился (причем равномерно) и чтобы сумма построенного ряда Фурье действительно равнялась значениям данной функции в соответствующих точках.

Опуская доказательства, мы сформулируем здесь теоремы, которые дают достаточные условия представимости функции f(x) рядом Фурье.

Прежде всего, напомним, что х0 разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы слева и справа функции f(x) в точке х0:

Теорема 1 (Дирихле). Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке [-π,π ] непрерывна и имеет конечное число точек разрыва первого рода и отрезок [-π,π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f(x) монотонна, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(х), а в каждой точке х0 разрыва функции f(x) его сумма равна

f (x0 −0) + f (x0 + 0)

2

Кроме того, ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Определение. Функция, удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле (кроме условия периодичности), называется кусочно-монотонной на отрезке [-π,π].

Теорема 2. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-π,π] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его

7

сумма равна f(x), а в каждой точке х0, разрыва функции f(x) его сумма равна

f (x0 −0) + f (x0 + 0) . 2

Кроме того, ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Определение. Функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 2 (кроме условия периодичности), называется кусочно-гладкой на отрезке [-π,π].

Замечание 1. Следует иметь ввиду, что существуют и другие достаточные признаки разложимость функции в ряд Фурье, но для решения практических задач обычно пользуются приведенными здесь признаками. Заметим, что сформулированные признаки между собой, вообще говоря, не сравнимы, так как существуют функции, удовлетворяющие теореме 1 и не удовлетворяющие теореме 2, и наоборот.

Замечание 2. Если функция разлагается в ряд Фурье, то можно получить достаточно хорошее ее приближение, взяв коечную сумму членов ряда Фурье. По аналогии с рядом Тейлора эта конечная сумма членов называется многочленом Фурье:

f (x) ≈ α20 + ∑nk=1 (αn cos nx +bn sin nx).

Разумеется и здесь встает вопрос о величине ошибки этого приближенного равенства. Однако эта задача более сложная, чем при замене функции многочленом Тейлора, и мы касаться ее не будем.

1.2.2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2π.

Прежде всего отметим, что в дальнейшем нам придется использовать следующее свойство интеграла по симметричному относительно х = 0 промежутку:

8