Методическое пособие 769

После окончательной обработки данных итоговое уравнение запишется в

виде

которое справедливо при Re 103 2 105 ;Pr 0,7 300.

Таким образом, использование теории подобия позволяет обобщить массив экспериментальных данных и существенно снизить их требуемый объем.

Контрольные вопросы

1.Каковы требования к подобию физических явлений?

2.Что утверждает первая теорема подобия?

3.Какие числа подобия можно получить из уравнения сохранения импульса и энергии при естественных масштабах?

4.Назовитенеобходимыеидостаточныеусловияподобияфизическихявлений?

5.Каков физический смысл гидродинамических чисел подобия?

6.Что выражают числа подобия в процессах теплообмена?

7.Какие числа подобия принимают в качестве определяющих в процессах теплообмена?

8.Каков физический смысл критериев Нуссельта и Рэлея? Для анализа каких процессов они используются?

9.Почему теория подобия необходима при моделировании?

70

7. КОНВЕКТИВНЫЙ ОДНОФАЗНЫЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС

7.1. Теплообмен при наружном обтекании плоской пластины

Рассмотрим конвективный однофазный теплоперенос при движении теплоносителя около плоской пластины. Самой простейшей является внешняя стационарная задача обтекания пластины потоком несжимаемой жидкости. Поток

жидкости направлен вдоль пластины и имеет постоянную скорость w0, температура t0 постоянна во времени, внутренние источники тепловыделения отсут-

ствуют. Согласно теории пограничного слоя, вся область течения подразделяется на пограничный слой, в котором преобладают вязкостные силы, а также внешний поток, где жидкость ведет себя как идеальная. Предполагается, что толщина гидродинамического пограничного слоя существенно меньше характерного размера в направлении течения потока l0 (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Развитие гидродинамических и температурных слоев на плоской пластине

В зависимости от характера течения задача может быть записана как для ламинарного, так и турбулентного потока.

Теплообмен при ламинарном обтекании плоской пластины является классической модельной задачей. Математически данная задача может быть описана системой уравнений

c соответствующими граничными условиями:

71

Точное аналитическое решение такой задачи было получено Блазиусом, а впоследствии и Польгаузеном [10]. В результате получено выражение для определения профиля скорости в пограничном слое, коэффициента гидравлического сопротивления и толщины пограничного слоя. Изменение скорости на границе пограничного слоя относительно основного потока не превышает 1%.

где Rex w x .

Очевидно, что чем больше кинематическая вязкость жидкости, тем больше толщина пограничного слоя и тем на большем расстоянии от стенки поток ощущает ее влияние. В теплофизических задачах аналогичное влияние оказывает коэффициент температуропроводности, а в задачах массобмена – коэффициент диффузии. Отношение толщин гидродинамического и температурного пограничных слоев фактически является функцией отношения коэффици-

ентов а. Последнее отношение получило названия безразмерного критерия Прандтля Pr a cp .

В общем случае толщина температурного пограничного слоя может быть выражена как f Pr .

Для обтекания плоской пластины ламинарным потоком жидкости толщина температурного пограничного слоя определится как

В свою очередь,

Таким образом, безразмерный локальный коэффициент теплоотдачи для теплообмена на плоской пластине при граничных условиях первого рода tc const может быть определен из соотношения

а при граничных условиях второго рода qc const

72

Данные зависимости справедливы для ламинарного течения потока жид-

Следует отметить, что локальный коэффициент теплоотдачи имеет сильно выраженную зависимость от коэффициента теплопроводности , что свидетельствует о важной роли молекулярной теплопроводности. Падение интенсивности теплоотдачи в направлении потока отражает рост эффекта толщины пограничного слоя.

Осредненный коэффициент теплоотдачи на участке длиной l может быть определен как

а безразмерный коэффициент теплоотдачи при обтекании пластины при граничных условиях первого рода

На основании точного аналитического решения исходной системы уравнений могут быть получены критериальные зависимости для дальнейшего использования в инженерных расчетах. Однако на практике получение таких решений крайне затруднено. Для задач, где реализован ламинарный режим течения, при определенных допущениях возможно получение точных аналитических решений. При турбулентном течении получение точных решений наталкивается на непреодолимые сложности, связанные с заданием начальных и граничных условий, пульсаций жидкости. Наиболее распространенным в теплофизике является использование экспериментальных данных для получения критериальных уравнений либо методы численного моделирования. При использовании критериальных экспериментальных уравнений следует обращать внимание, для каких диапазонов значений они были получены (например, числа Рейнольдса и Прандтля, значения шероховатости поверхности, выбор определяющих размеров, форм-факторов и т.п.). В дальнейшем будут приведены примеры критериальных уравнений для различного рода теплофизических задач (обтекание труб, движение внутри каналов, фазовые переходы и пр.).

Для турбулентного режима течения коэффициент трения может быть определен по формуле Шлихтинга:

а локальный безразмерный коэффициент теплоотдачи

Nux 0,296Re0,8x Pr0,43 .

Выражение справедливо для Rex 3 105. Установлено, что коэффициент теплоотдачи сильнее зависит от массовой скорости при турбулентном режиме

73

течения w 0,8, в то время как ослабевает при ламинарном режиме течения w 0,5 . В то же время влияние молекулярного переноса слабее –

0,57(при ламинарном течении ), еще более слабое падение коэффициента теплоотдачи наблюдается по длине пластины – х 0,2 (при ламинарном

течении х 0,5 ).

Безразмерной характеристикой теплофизических свойств веществ является число Прандтля. Диапазон измения для широко используемых газов и жидкостей приведен в табл. 7.1. Очевидно, что диапазон изменения крайне широк, а выбор того или иного теплоносителя существенно сказывается на интенсивности теплообмена.

упругих твердых сфер возможно лишь поступательное движение молекул. Для реальных газов Pr 0,7 1, однако при больших давлениях и вблизи термоди-

намической критической точки существенно возрастает и может достигать 10. Жидкие щелочные металлы обладают достаточно высокой теплопровод-

ностью, поэтому для них характерны малые числа Прандтля.

Для капельных жидкостей число Прандтля сильно зависит от температуры, что связано с изменением вязкости. Наибольшие значения чисел обнаруживаются у масел и высокомолекулярных углеводов.

При теплообмене в условиях обтекания пластины ламинарным потоком возможны два предельных случая.

Случай 1. Pr 1,что означает что коэффициент кинематической вязкости

существенно превышает коэффициент температуропроводности. Или температурный пограничный слой пренебрежимо мал по сравнению с гидродинамическим пограничным слоем, что характерно для вязких сред. Такая задача была аналитически решена Левеком [10], а значение локального безразмерного коэффициента теплоотдачи может быть найдено как

74

Случай 2. Pr 1,что означает, что теплообмен происходит в условиях

невозмущенного потока скорости. Столь низкое значение критерия Прандтля характерно для жидких металлов. Таким образом, вязкость не влияет на теплообмен, а для жидких металлов это обычный результат. Значение локального безразмерного коэффициента теплоотдачи может быть выражено зависимостью

Схема формирования профилей температуры и скорости при критических значениях числа Прандтля представлены на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Принципиальная схема формирования гидродинамического и температурного слоев: а –Pr 1;б –Pr 1

Решения, полученные для внешнего обтекания пластины широко распространены в практике. Они применяются для расчетов при обтекании крыла и фюзеляжа самолета, автомобиля или поезда и т.д.

7.2.Теплообмен при движении потока внутри каналов различной формы

иобтекании их снаружи

При исследовании теплообмена внутри каналов или обтекании поверхностей рассматривают два типа задач. Первая из них – это внешние задачи. Это классическое обтекание одиночной трубы или пучка труб потоком жидкости или газа. К внутренним задачам относятся движение внутри труб и каналов различного поперечного сечения. На характер течения оказывает влияние шероховатость поверхности.

Рассмотрим гидродинамику и теплообмен при поперечном обтекании цилиндрической поверхности.

Если обтекание плоской пластины носит более именее прогнозируемый характер, то в случае обтекания цилиндра оно является крайне неустойчивым

(рис. 7.3).

75

в г

Рис. 7.3. Качественное влияние числа Рейнольдса на гидродинамическую картину течения внешнего обтекания цилиндра [10]:

отр 82 . На положение точки отрыва оказывает влияние степень турбулентности набегающего потока. Гидра лическо сопротивление при обтекании ци-

76

Эмпирическая формула (7.18) относится к обтеканию цилиндра под прямым углом. При обтекании под углом, отличным от 2, вводится поправка:

Наиболее распространенным в инженерной практике является не обтекание одиночного цилиндра, а движение в пучках труб. Поперечное обтекание пучков труб – широко распространенный случай конвективного теплообмена. В случае одновременного обтекания цилиндров в потоке по характеру течения различают шахматные (staggered tube bundle)и коридорные (in-line tube bundle)

пучки труб (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Шахматный (а) и коридорный (б) пучки труб

Первый ряд в обеих компоновках с определенной степенью условности находится в тех же условиях, что и при обтекании одиночного цилиндра, а средний коэффициент теплоотдачи может быть определен по формуле, изложенной выше.

Начиная со второго ряда и далее растет средний коэффициент теплоотдачи, однако с третьего ряда и далее теплообмен стабилизируется, что связано с полным разрушением ламинарного потока и переходу к устойчивому турбулентному течению.

Для третьего и последующего рядов труб эмпирическая формула для определения безразмерного коэффициента теплоотдачи может быть представлена в виде зависимости

а эмпирические зависимости представлены в табл. 7.4 [10].

78

В шахматных пучках средний коэффициент теплоотдачи всегда выше, чем в коридорных, наряду с возрастающим гидравлическим сопротивлением.

Теплофизические физические свойства жидкостей выбираются по средней температуре в пограничном слое и среднемассовой температуре по длине пучка от ряда к ряду. Это может быть сделано путем осреднения температуры (при незначительных значениях удельного теплового потока) или разбивке труб на участке по длине с вычислением среднего коэффициента теплоотдачи на каждом из участков.

При расчете чисел Рейнольдса и Нуссельта выбирается максимальная среднемассовая скорость для самого узкого сечения, а линейным размером в критериях будет являться диаметр труб.

Как и в случае одиночного цилиндра, в эмпирическую зависимость вводится поправка на переменность свойств жидкости (табл. 7.5) [10].

Таблица 7.5

Поправочный коэффициент на свойства жидкости

В случае обтекания под углом, отличным от прямого, используется вышеуказанная корректировка, также как и для одиночной трубы.

79