Методическое пособие 769

Таким образом, распределение температуры в стенке носит линейный характер.

Определим удельный тепловой поток через стенку:

противления стенки. Последнее понятие является крайне важным и определяющим в большинстве прикладных теплофизических задач.

Полученные решения легко могут быть трансформированы в зависимости для определения поля температур в многослойных стенках при заданной величине теплового потока (рис. 2.9). При стационарном режиме плотность тепло-

вого потока через все слои стенки одинакова q x 0. Таким образом,

При этом каждый слой имеет свою толщину и свой коэффициент теплопроводности.

20

Рис. 2.9. Физическая модель задачи теплопроводности плоской многослойной стенки при граничных условиях первого рода

Выразив в каждом уравнении перепады температур в отдельном слое, сложим правые и левые части и получим выражение для определения перепада температур в многослойной стенке:

Сумма термических сопротивлений носит название полного термического сопротивления многослойной стенки. Из полученных соотношений возможно решение обратной задачи, т.е. определение температуры на границе каждого слоя стенки:

Зачастую в прикладных задачах коэффициент теплопроводности стенки существенно различается при изменении температуры, т.е. f t . Неучет

данного фактора может существенно исказить результаты. Поэтому в таком случае расчеты корректируют, вводя линейную зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, например 0 1 bt , где 0 – коэффициент

теплопроводности материала стенки при 0°С, b – коэффициент пропорциональности.

В этом случае, распределение температуры в стенке будет носить нелинейный характер:

21

Рассмотрим решение задачи при граничных условиях третьего рода. Физическая область решения представлена на рис. 2.10.

Рис. 2.10. Физическая модель теплопроводности плоской стенки при граничных условиях третьего рода

Введем следующие допущения: -рассматривается стационарный процесс; -внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-коэффициенты теплоотдачи к жидкости постоянны и не меняются вдоль поверхности;

-длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

Исходя из того, что удельный тепловой поток через горячую, холодную жидкость и разделяющие потоки стенку одинаков, запишем

Сложив выражения и выразив q, получим

22

R 1k носит название полного термического сопротивления теплопередачи. Температуры поверхности однородной стенки могут быть определены:

В случае, если стенка будет являться многослойной, то коэффициент теплопередачи будет определяться следующим выражением:

По аналогии с однослойной стенкой температура на границе слоев определяется по формуле

Рассмотрим смешанную задачу (рис. 2.11). С одной стороны стенки подводится тепловой поток, а с другой стороны стенка омывается теплоносителем. В данном случае с одной стороны заданы граничные условия второго рода (тепловой поток), а с другой – третьего рода.

23

Рис. 2.11. Физическая модель теплопроводности плоской стенки при граничных условиях второго и третьего рода

Выражения для определения теплового потока запишутся в виде:

Температуры стенки могут быть определены по соотношениям

Для многослойной стенки, состоящей из n слоев, температура на поверхностях и между слоями может быть определена по формулам

24

2.4. Передача теплоты через плоскую стенку при наличии внутренних источников тепловыделения

В ряде практически важных случаев необходимо исследование теплопроводности при наличии внутреннего источника тепловыделения. Примерами могут служить внутреннее выделение теплоты в тепловыделяющих элементах атомных реакторов, при индукционном нагреве тел, при нагреве под действием проходящего электрического тока, а также в условиях химических реакций.

Физическая область решения представлена на рис. 2.12.

Для решения задачи введем следующие допущения:

-рассматривается стационарный процесс переноса теплоты;

-присутствуют внутренние источники тепловыделения, которые носят линейный, поверхностный или объемный характер;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-коэффициенты теплоотдачи к жидкости постоянны и не меняются вдоль поверхности, охлаждение осуществляется равномерно, т.е. температура жидкости постоянна;

-длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

Рис. 2.12. Физическая модель теплопроводности плоской стенки при наличии внутренних источников тепловыделения

С учетом принятых допущений дифференциальное уравнение теплопроводности с учетом граничных условий запишется как

25

Коэффициент теплопередачи принят постоянным в рассматриваемом интервале температур, либо его изменение носит линейный характер. На практике зачастую представлены полиномные зависимости. Также существует ряд программных комплексов для определения теплофизических характеристик различных веществ, например СТАРС, ProSim SA,а в современных математических пакетах значения определяются в любой момент времени при необходимой температуре.

2.5. Теплопроводность цилиндрической стенки

Как и в случае с плоской стенкой рассмотрим стационарный процесс теплопередачи через цилиндрическую стенку при граничных условиях первого, второго и третьего рода, а затем по аналогии перейдем к задаче с внутренними источниками тепловыделения.

Физическая область решения представлена на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Физическая модель теплопроводности в цилиндрической стенке при граничных условиях первого рода

Введем следующие допущения:

-рассматривается стационарный процесс;

-внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

27

При этом плотность теплового потока может быть определена относительно внутреннего либо внешнего радиуса трубы:

Также общепринятым является понятие линейной плотности теплового потока, Вт/м:

В случае изменения теплопроводности материала стенки в зависимости от температуры полученное решение запишется в виде

Рассмотрим решение задачи при граничных условиях третьего рода. Физическая область решения представлена на рис. 2.14.

Введем следующие допущения:

-рассматривается стационарный процесс;

-внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

-теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

-коэффициенты теплоотдачи к жидкости постоянны и не меняются вдоль поверхности

-длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

29