Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Методическое пособие 769

.pdf
Скачиваний:
23
Добавлен:
30.04.2022
Размер:
8.47 Mб
Скачать
☆

Рис. 2.14. Физическая модель теплопроводности в цилиндрической стенке при граничных условиях третьего рода

Исходя из того, что линейная плотность теплового потока через горячую, холодную жидкость и разделяющие потоки стенку одинакова, запишем

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

q

 

d

ж1

t

c1

;

 

l

 

1 1

 

 

 

 

 

ql

 

 

t

c1

t

c2

;

 

 

(2.64)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ln d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ql 2 d2 tc2 tж1 .

Выразив из каждого уравнения системы разность температур, а затем, сложив левые и правые части, получим

 

 

1

 

1

 

d2

 

1

 

 

tж1 tж2

ql

 

ln

 

.

(2.65)

1d1

2

d1

 

 

 

 

 

 

2d2

 

Линейная плотность теплового потока в итоге определится выражением

ql kl tж1 tж2 ,

(2.66)

где kl

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

.

 

1

 

 

1

ln

d

2

 

1

 

 

d

2

d

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

kl , Втм К является линейным коэффициентом теплопередачи, а величина, обратная ей, является линейным термическим сопротивлением.

30

Если тепловые потоки отнести к внутренней или наружной площади стенки, то получим следующие зависимости:

 

 

 

 

 

 

q1 k1 tж1

tж2 , q2

k2 tж1

tж2

,

 

 

 

 

 

 

 

(2.67)

где k1 kl d1;

k2 kl

d2;

 

kl

k1d1

k2d2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, коэффициенты теплопередачи k1

и k2

определяются

k1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

; k2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

.

(2.68)

1

 

d

 

d

 

 

d

 

 

 

1

d

 

 

d

2

 

 

d

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

ln

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ln

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

d

 

2

 

 

 

1

d

 

 

d

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Следует отметить, что в практически важных расчетах при небольших толщинах стенки возможно использование зависимостей, полученных для плоской стенки. Для принятия решения следует оценить возможную погрешность расчетов и ее влияние на окончательный результат.

Физическая область решения задачи теплопроводности для многослойной цилидрической стенки приведена на рис. 2.15.

Рис. 2.15. Физическая модель теплопроводности в многослойной цилиндрической стенке при граничных условиях третьего рода

31

Линейный удельный тепловой поток для таких стенок определяется как

ql

 

 

 

 

tж1 tж2

 

 

 

 

 

 

,

(2.69)

 

1

 

i n

1

ln di 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

2

 

 

d

 

 

 

 

 

1

i 1

d

i

 

2

n 1

 

 

1

 

 

i

 

 

 

 

 

а температуры на границах внешних и внутренних стенок как

t

 

t

 

ql

1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

ж1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1d1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

1

 

 

1

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

tc2 tж1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1d1

2 1

 

d1

 

 

 

 

 

 

tж1 ql

 

 

1

 

i

 

1

 

 

di 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tc n 1

 

 

 

 

 

ln

.

d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

d

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

По аналогии с плоской стенкой рассмотрим задачу при наличии внутренних равномерно распределенных источников тепловыделения. Предположим, что имеется бесконечно длинная труба (т.е. ее длина существенно превышает

внешний r2 и внутренний радиусы r1) с заданным коэффициентом теплопроводности.

Уравнение, описывающее процесс теплопроводности, может быть записано в следующем виде:

d 2t

 

1 dt

 

q

0.

(2.71)

 

 

 

V

dr 2

r dr

 

 

 

 

 

Общее решение может быть представлено как

t

q r

2

C

lnr C

 

,

(2.72)

V

 

2

 

 

 

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аконстанты интегрирования определяются граничными условиями, которые в свою очередь зависят от того, какая поверхность является тепло-

отдающей (внутренняя, внешняя или обе).

Для случая, когда теплота отводится с наружной поверхности трубы (рис. 2.16), плотность теплового потока определяется как

q tc2

tж2

 

qV r2

 

 

r1

2

 

 

1

 

 

 

,

(2.73)

 

r

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

32

а температура внутренней поверхности трубы определяется в предположении r r1, выражением

tc1 tж2

 

 

qV r2

 

 

 

 

 

r1

2

 

 

 

qV r2

 

 

 

 

r1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

r1

2

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2ln

 

 

 

.

(2.74)

 

2

r

 

4

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.16. Физическая модель теплопроводности через цилиндрическую стенку при наличии внутренних источников тепловыделения.

Отвод теплоты через внешнюю поверхность

Изменение температуры внутри стенки при этом составит

 

 

 

2

 

 

2

 

r2

 

 

t

t

 

 

qV r1

 

r2

 

2ln

1 .

(2.75)

c2

 

 

 

 

 

c1

 

 

4

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В предположении, что коэффициент теплоотдачи достаточно велик, температуру в любой точке стенки можно определить из соотношения

 

2

 

 

r1

2

 

r

 

r

2

 

t tc2

 

qV r2

1

 

 

2ln

 

 

.

(2.76)

4

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

 

Для случая, когда теплота отводится с внутренней поверхности трубы (рис. 2.17), температура в любой точке стенки определяется как

33

 

 

qV r1

 

r2

2

 

 

2

r

 

r1

2

 

r

2

 

 

t tж1

 

 

 

1

 

qV r2

2ln

 

 

 

 

 

,

(2.77)

2

r

2

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

а разность температур внутри стенки и потока жидкости при этом составит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tс1 tж1

 

 

 

 

qV r1

 

r2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

(2.78)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.17. Физическая модель теплопроводности через цилиндрическую стенку при наличии внутренних источников тепловыделения.

Отвод теплоты через внутреннюю поверхность

В случае, если коэффициент теплоотдачи достаточно велик температура в любой точке стенки может быть определена как

 

2

 

r

 

r1

2

 

r

2

 

 

t tс1

 

qV r2

2ln

 

 

 

 

 

,

(2.79)

2

r

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

2

 

 

 

а разность температур на внутренней и наружной поверхности стенок составит

 

 

2

 

r2

 

r1

2

 

 

tс2

tс1

 

qV r2

2ln

 

 

1 .

(2.80)

2

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

34

Наиболее распространенным является случай, когда тепловой поток отводится одновременно через внешнюю и внутренние стенки (рис. 2.18).

Рис. 2.18. Физическая модель теплопроводности через цилиндрическую стенку при наличии внутренних источников тепловыделения.

Отвод теплоты через внешнюю и внутреннюю поверхности

Поскольку источник тепловыделения находится внутри стенки, обозначим максимально значение температуры на изотермической поверхности как t0,

а радиус, на котором располагается изотерма, как r0 (рис. 2.18). Перепад температур внутри цилиндрической поверхности определяется как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV r0

 

r2

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

2ln

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

0

 

с2

 

 

 

 

4

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.81)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

qV r0

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ln

 

 

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

0

 

с1

 

 

 

4

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а между стенками

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

r2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

r0

 

 

r0

 

 

tс1 tс2

qV r0

 

 

 

 

 

r1

 

 

2ln

 

2ln

.

(2.82)

4

 

r

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

35

Если известны температуры стенки, то значение радиуса цилиндра, соответствующего максимальной изотерме, может быть определено из выражений

r

2

 

4 tc1 tc2

 

r2

r2

 

qV r22 r12 4 tc1

tc2

 

.

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

(2.83)

 

 

r1

 

 

 

 

 

r2

 

 

 

0

 

q 2ln

 

 

2ln

r1

 

 

q 2ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

r2

 

 

 

r2

 

V

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Представленные в настоящей главе зависимости позволяют проводить расчеты теплопроводности для широкого класса инженерных задач.

Контрольные вопросы

1.В чем заключается физический смысл коэффициента теплопроводности?

2.Каким образом химический состав металлов и сплавов оказывает влияние на коэффициент теплопроводности?

3.Как влияют пористость и влажность материала на его теплопроводность и почему?

4.Как влияет давление на теплопроводность газов?

5.Возможно ли определение коэффициента теплопроводности газовых смесей методом аддитивности и почему?

6.Каков физический смысл коэффициента температуропроводности?

7.Почему при выводе дифференциального уравнения теплопроводности пренебрегают деформацией тела, вследствие изменения температуры?

8.Каким образом в дифференциальном уравнении теплопроводности учитывается влияние тепловой анизотропии?

9.Что такое условия однозначности? Приведите примеры

10.Что такое граничные условия первого рода? Приведите примеры 11.В каких случаях целесообразно задать граничные условия второго рода?

Приведите примеры.

12.Какие сложности могут возникнуть при постановке граничных условий третьего рода?

13.Что такое граничные условия четвертого рода? Приведите примеры.

14.В чем физический смысл коэффициента теплоотдачи?

15.Что такое термическое сопротивление стенки?

16.Как учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры при теплопроводности?

17.Что такое полное термическое сопротивление многослойной стенки?

18.Что представляют собой смешанные граничные условия? Приведите примеры?

19.Какие данные можно получить в ходе решения задач теплопроводности?

36

20.Какой характер носит распределение температур внутри плоской многослойной стенки?

21.Как определяется коэффициент теплопередачи?

22.Что такое внутренние источники теплоты? Приведите примеры

23.Какой характер носит распределение температу внутри плоской стенки с внутренним источником тепловыделения?

24.Как связаны линейная плотность теплового потока с внешним и внутренним радиусом цилиндра?

25.В каких случаях можно не учитывать коэффициент теплопередачи относительного внешнего и внутреннего диаметра цилиндра?

26.В чем особенности расчета температуры в цилиндрических толстых и тонких стенках?

37

3.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

3.1.Нестационарная теплопроводность плоской пластины

Вслучае, когда температура тела изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени, нагревание (охлаждение) в условиях теплопроводности является нестационарным.

Возможны два варианта:

- при нагреве (охлаждении) тело стремится к тепловому равновесию, т.е. нагревается или охлаждается к требуемой температуре среды; - процессы нагрева и охлаждения носят периодический характер.

Классическим примером первого варианта являются нагрев и охлаждение болванок, расплав металлов, охлаждение закаливаемых металлов.

Во втором случае это регенеративные нагреватели (охладители), используемые в технологических процессах.

Целью решения задач в условиях нестационарности является определение температур как на поверхности, так и внутри тела, а также расчет времени стабилизации температуры с заданными внешними условиями. При этом возможно и необходимо рассмотрение обратной задачи, т.е. при каких начальных условиях и при каком времени тело выйдет на стационарный режим.

Для аналитического описания процесса используется уравнение теплопроводности, изложенное выше. Дифференциальное уравнение теплопроводности относится к так называемому виду уравнений математической физики. Решение такого уравнения возможно методами разделения переменных, методом источников, а также методом интегрального преобразования. В настоящем пособии не будем останавливаться на последовательности действий каждого из методов для получения решения, а рассмотрим уже полученные точные решения для определенного ряда задач. С подробным ходом получения решения можно ознакомиться в работах [7, 8].

Рассмотрим задачу нестационарного процесса теплопроводности в неограниченной пластине при условии, что состояние тела стремится к тепловому равновесию. Физическая область решения представлена на рис. 3.1.

Введем следующие допущения:

- рассматривается нестационарный процесс; - внутренние источники тепловыделения отсутствуют;

- теплофизические свойства стенки изотропны по всем направлениям, а значения параметров равны средним значениям;

- длина (или высота) стенки существенно превышает ее толщину.

Расчет будем вести от температуры окружающей среды tж t .

38

Рис. 3.1. Физическая область решения задачи нестационарной теплопроводности в плоской стенке

Дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а 2 .

 

 

 

 

(3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х2

 

 

 

 

 

поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

;

 

2t

 

2 .

 

 

(3.2)

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

Для x начальные условия запишутся как

 

 

 

0 tж t0

 

при

0;

 

0

при ,

(3.3)

а граничные условия в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при x ;

 

 

(3.4)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при x ;

 

 

(3.5)

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

при x 0.

 

 

 

 

(3.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точное решение получено методом разделения переменных и может быть

записано в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin n

 

 

 

 

x

n2Fo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

cos ni

 

exp

i

,

(3.7)

0

 

 

 

 

sin ni cosni

 

 

 

i 1 ni

 

 

 

 

 

 

39

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности