Теория информации и кодирования. Поздышева О.В

Результатом ИКМ аналогового сигнала x(t) является по-

следовательность чисел s(1),s(2),...,s(n 1),s(n),s(n 1),.... Каж-

дое s(i) представляется в двоичной системе счисления, для чего требуется k бит. На рис. 8.5 около каждого отсчета xн(n i) указан номер уровня s(n i) в десятичной системе счисления и его двоичный код на нижнем графике. Первый бит определяет знак отсчета, остальные - его значение (младшие разряды справа).

По каналу за время t передаются k бит со скоростью, определяемой (8.4). На приемной стороне аналоговый сигнал восстанавливается с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и интерполятора (фильтра нижних частот), например, по формуле

Из-за шумов квантования и погрешностей интерполяции xˆ(t) x(t).

Для речевых сигналов числа s(i) являются зависимыми случайными величинами. Для сжатия таких последовательно-

стей широко используется кодирование с предсказанием. На рис. 8.6 показана обобщенная схема такого кодирования.

Рис. 8.6. Кодирование с предсказанием

Если известен (даже не очень точно) вид зависимости отсчетов друг от друга, то оценку текущего отсчета sˆ(n) можно вычислить (предсказать) по m предыдущим отсчетам

261

s(n m),s(n m 1),...,s(n 1). При этом в канал разумно посылать только ошибку предсказания e(n) s(n) sˆ(n). На приемной стороне с помощью такого же предсказателя вычисляется прогноз sˆ (n) и восстанавливается сначала текущий цифровой отсчет s (n) sˆ (n) e(n), а затем (с помощью ЦАП) и аналоговый xˆ(t). Сжатие данных здесь достигается за счет того, что диапазон изменения e(n) существенно меньше, чем диапазон изменения s(n). Поэтому при той же точности представления требуется меньшее, чем при ИКМ, число двоичных разрядов. Основной проблемой является разработка достаточно просто реализуемых предсказателей, обеспечивающих минимальную среднеквадратическую ошибку e(n).

На практике используется линейное предсказание, при котором

где ai – коэффициенты предсказания; m – порядок предсказа-

ния, обычно равный 8 – 10. Такое экономное кодирование называется дифференциальной ИКМ (ДИКМ).

Поскольку зависимость между отсчетами s(i) на отдельных временных интервалах может изменяться, для уменьшения e(n) необходимо подстраивать коэффициенты предсказания ai . Эти изменения должны передаваться на приемную

сторону. В этом случае дифференциальную ИКМ называют

адаптивной (АДИКМ).

Другой, полярный по отношению к ИКМ, метод кодирования называется дельта – модуляцией (ДМ). Частота дискретизации Fд выбирается в десятки раз больше верхней частоты

Fв спектра x(t). Ошибка предсказания e(n) представляется 1 битом, указывающим только знак ошибки – sˆ(n) x больше или меньше xн(n). Предсказанное значение получается из предыдущего добавлением или вычитанием фиксированного значе-

262

ния (отсюда и название метода кодирования). В зависимости от скорости изменения x(t) величину можно оперативно изменять, что соответствует адаптивной ДМ (АДМ). Говорят, что если при ИКМ сигнал x(t) квантуется грубо по времени и точно по уровню, то при ДМ – точно по времени и грубо по уровню.

Экспериментально установлено, что качество речи, восстановленной после ИКМ, остается высоким, если частота дискретизации Fд 8кГц, а каждый отсчет s(n) представлен k 8

битами. ИКМ с такими параметрами лежит в основе так называемой первичной ИКМ и формирует согласно (8.5) поток бит со скоростью Rt 64 кбит/с. Однако корреляция соседних от-

счетов при этом превышает 0,85, что говорит о высокой избыточности полученной последовательности. Использование ДИКМ, АДИКМ позволяет снизить скорость преобразования примерно в 2 раза с сохранением высокого качества восстановленной речи.

8.6. Оценка эффективности систем связи

Под эффективностью информационной системы понимается ее способность обеспечить передачу данного количества информации наиболее экономичным способом.

При выборе комплексного показателя техникоэкономической эффективности системы исходят из того, что он должен иметь прямую связь с ее целевым назначением, объективно характеризовать основные свойства, быть чувствительным к изменению определяющих параметров системы и наряду с этим должен быть достаточно простым, чтобы им можно было пользоваться. Проблема заключается в том, что не все цели системы можно адекватно отразить в количественной форме. Например, трудно численно оценить степень удовлетворения потребности людей в общении с помощью средств связи. Тем не менее, решение вопросов выбора наиболее целесообразных вариантов системы электрической связи (СЭС) в

263

конечном итоге сводится к решению задач оптимизации этих систем по выбранным критериям качества.

Обобщенной характеристикой эффективности систем связи является коэффициент использования канала по пропускной способности (информационная эффективность) ко-

торый характеризует реальную скорость передачи информации R по отношению к пропускной способности C канала связи [7]:

=.

Информационная эффективность всегда меньше единицы; чем ближе к единице, тем лучше. Для оценки эффективности систем связи вводятся также коэффициент использова-

ния канала по мощности (энергетическая эффективность)

В этих формулах Pc – мощность сигнала; N0 – спектральная плотность шума; ∆F – ширина полосы частот, занимаемой сигналом.

Предельные возможности системы передачи информации можно оценить с помощью выражения для пропускной способности гауссовского непрерывного канала связи с полосой частот ∆F:

= ∆ ∙log 1+ .

ш

Здесь Pc = Eb ·B – средняя мощность сигнала: Eb – энергия, затрачиваемая на передачу одного бита информации; B = 1 / Tb – скорость передачи информации источника; Tb – время передачи источником одного бита информации;

264

Pш = N0·∆F – средняя мощность шума в полосечастот.

В реальных СЭС скорость передачи информации R (бит/с), меньше пропускной способности непрерывного канала: R ≤ C. Можно показать, что после элементарных преобразований это неравенство приводится к виду [7, 9]:

≤ 2 −1 ,

Тогда информационная эффективность для гауссовского непрерывного канала может быть найдена по формуле [9]:

Согласно теореме Шеннона, при соответствующих способах передачи и приема величина может быть сколь угодно близкой к единице. При = 1 получаем предельную зависимость между β и γ:

= 2 −1 .

Наглядно данная зависимость представляется в виде кривой на β γ плоскости (см. рис. 8.7). Эта зависимость, часто называется границей (пределом) Шеннона: она отражает наилучший обмен между β и γ в непрерывном канале. Анализ соотношения (8.8) и предела Шеннона показывает, что повышение частотной эффективности (т.е. снижение затрат полосы 1 / γ) требует увеличения энергетических затрат (снижения энергетической эффективности).

265

Рис. 8.7. Связь частотной (γ) и энергетической (β) эффективности

Для непрерывного канала частотная эффективность изменяется в пределах от 0 до ∞, в то время как энергетическая

Аналогичные предельные зависимости β = f(γ) можно получить и для других моделей канала, если в (8.1) и (8.2) вместо скорости R подставить выражение для пропускной способности соответствующего канала. Предельные зависимости β γ - номограммы позволяют определить системы, удовлетворяющие заданным требованиям по энергетической и частотной эффективности, и установить, насколько эти показателя близки

кпредельным.

8.6.1.Эффективность аналоговых и цифровых систем

В системах передачи дискретных сообщений сигнал формируется с помощью кодирования и модуляции. При этом ко-

266

дирование осуществляется обычно в два этапа: кодирование источника с целью сокращения его избыточности и кодирование канала с целью уменьшения вероятности ошибки за счет введения избыточности кода. При этом выражение для информационной эффективности системы передачи дискретных сообщений можно представить в виде произведения [9]:

щая от вида модуляции и способа обработки сигнала в канале. Средняя скорость передачи информации в системе при

– энергия, затрачиваемая на передачу одного бита информации.

Значения = можно определить по известным фор-

мулам или графикам, рассчитанным для вероятности ошибки

ош = ( = log ).

На рис. 8.6 приведены предельные кривые β = f(γ) для

267

симметричных двоичных дискретных и дискретнонепрерывных каналов. При этом выходом ДНК считается согласованный фильтр в оптимальной схеме приема дискретных сообщений при примитивном кодировании (Rxx = 1).

Для двухпозиционных систем m = 2 предельное значение полосы пропускания канала равно частоте манипуляции. В этом случае частотная эффективность (предел Найквиста) будет иметь наибольшее значение, равное γmax = 2 . Было показано, что в двоичных симметричных каналах с различными видами модуляции максимум энергетической эффективности наступает при pош = 0,5 , однако удельная скорость передачи при этом стремится к нулю. Предельные значения показателей эффективности достигаются при R = C и при малой вероятности ошибки. Для определения β и γ могут использоваться при-

ближенные формулы:

где n – размерность сигнала, в m-позиционной системе. В таблице 8.1 приведены значения m и формулы для приближенных расчетов γ некоторых ансамблей сигналов.

Таблица 8.1 Формулы для приближенных расчетов частотной эффективности некоторых ансамблей сигналов

В реальных системах вероятность ошибки всегда имеет ненулевое значение и ƞ < 1 . В этих случаях при заданном значении pош = const можно определить отдельно β и γ и построить кривые β = f(γ).

Эффективность передачи непрерывных сообщений в зна-

268

сигнала, т.е. за счет частотной избыточности. При больших индексах ФМ и ЧМ приближаются по помехоустойчивости к идеальной системе (выигрыш составляет десятки и сотни раз), но информационная эффективность таких систем мала (0,12 – 0,17) из-за большой частотной избыточности. Основными способами повышения эффективности передачи непрерывных сообщений являются устранение избыточности, статистическое уплотнение и применение цифровых видов модуляции.

Аналоговые системы ОМ, AM и узкополосная ЧМ обеспечивают высокую частотную эффективность при сравнительно низкой энергетической эффективности. Применение этих систем целесообразно в каналах с хорошей энергетикой (при больших значениях pвх) или в тех случаях, когда требуемое значение pвых мало. Цифровые системы обеспечивают высокую β -эффективность при достаточно хорошей γ -эффективности. В каналах с ограниченной энергетикой (при малых значениях pвх) преимущества цифровых систем особенно заметны. При высоком качестве передачи, когда требуемые значения pвых велики, широкополосная ЧМ и цифровые системы обеспечивают примерно одинаковую эффективность.

В многоканальных системах эффективность связи снижается за счет несовершенства системы разделения сигналов.

Расчеты показывают, что наиболее эффективным является метод временного разделения каналов; менее эффективен метод частотного разделения. При временном разделении пропускная способность не зависит от числа каналов, т.к. в каждый момент времени передается только один сигнал. При ЧРК пропускная способность канала с ограниченной средней мощностью сигнала также не зависит от числа каналов. При разделении по форме между n парциальными каналами делится только мощность, полоса частот и время передачи используются одновременно всеми сигналами. В этом случае информационная эффективность уменьшается с увеличением n, причем амплитудное ограничение сигнала слабо влияет на эту зависимость.

270