Методическое пособие 640

Оценка качества канала, как правило, осуществляется по трём основным показателям: средней скорости передачи, достоверности и сложности технической реализации. Хотя с практической точки зрения сложность технической реализации может иметь решающее значение, при определении предельных (потенциальных) информационных возможностей системы целесообразно оценивать качество канала достоверностью и средней скоростью передачи. Достоверность дискретного канала обычно оценивается вероятностью ошибочного приема одного символа, а о достоверности непрерывного канала судят по значению среднеквадратической ошибки при передаче сообщения. Скорость передачи характеризует среднее количество информации, передаваемое по каналу в единицу времени.

Математически канал задается множеством допустимых сообщений на входе, множеством допустимых сообщений на выходе и набором условных вероятностей P(y/x) получения сигнала y на выходе при входном сигнале x. Условные вероятности описывают статистические свойства “шумов” (или помех), искажающих сигнал в процессе передачи. В случае, когда P(y/x) = 1 при y = x и P(y/x) = 0 при y ≠ x, канал называется каналом без “шумов”. В соответствии со структурой входных и выходных сигналов выделяют дискретные и непрерывные каналы. В дискретных каналах сигналы на входе и выходе представляют собой последовательность символов одного или двух (по одному для входа и выхода) алфавитов. В непрерывных каналах входной и выходной сигналы представляют собой функции от непрерывного параметра времени. Бывают также

смешанные или гибридные каналы, но тогда обычно рассмат-

ривают их дискретные и непрерывные компоненты раздельно. Канал связи является составной частью системы связи, в состав которой могут входить несколько каналов, а также устройства уплотнения канала, которое обеспечивает передачу

сообщения по одному каналу от нескольких источников. Если вредным воздействием помех в канале можно пре-

небречь, то при анализе процессов передачи сообщений используют модель канала в виде идеализированного канала,

91

называемого каналом без помех. Такому каналу присуще полное соответствие сообщений на входе и выходе канала. Эта модель используется для описания каналов с закрытым распространением малой протяженности (кабель, провод, волновод и т.п.).

Если же влияние помех значительно и пренебрежение неоднозначностью соответствия входного и выходного сообщения недопустимо, то используется более сложная модель канала — канал с помехами. На практике имеет смысл рассматривать только процессы передачи сообщений по каналам с шумами.

Канал с гауссовским белым шумом представляет собой идеальный канал, в котором на сигнал накладывается аддитивная помеха

yр(t) sр(t ; 0) n(t)

Коэффициент передачи и запаздывание постоянны и известны в точке приема. Такая модель, например, соответствует радиоканалам, работающим в пределах прямой видимости.

Гауссовский канал с неопределенной фазой сигнала отли-

чается от предыдущего тем, что фаза несущего колебания в точке приема предполагается случайной с плотностью распределения W( ) на интервале . Эта неопределенность вызвана либо отсутствием устройств оценки и предсказания фазы, либо ошибками в оценке фазы при их работе. Как правило, считается, что фаза равномерно распределена в указанном интервале.

Возможно дальнейшее усложнение модели непрерывного канала, учитывающее линейные и нелинейные искажения сигнала, многолучевость распространения, отклонение помехи от гауссовского распределения, а также более сложную помеховую обстановку.

Дискретный канал считается заданным, если известны множества символов (алфавиты) на входе и выходе, а также вероятностные свойства формирования (передачи) этих симво-

92

лов.

Для передачи по каналу сообщение из знаков алфавита источника x1, x2,..., xN преобразуется в дискретные последовательности символов из другого алфавита y1, y2,...ym, как правило, меньшего объёма.

Модель дискретного канала связи обычно изображают в виде графа, в узлах, которого находятся формируемые и выявляемые символы, а дуги или ребра отображают вероятности перехода одного символа в другой при передаче его по дискретному каналу связи [22]. На рис. 5.1 представлен граф модели дискретного канала связи в случае, когда множество символов X на входе имеет размерность Кх, а множество символов Y на выходе имеет размерность Кy.

В каждом состоянии канал характеризуется некоторой переходной вероятностью p(yj / xi) того, что переданный символ xi будет восприниматься на выходе как символ yj. Если указанные вероятности не зависят от времени, то канал называют

стационарным, если зависят от времени, то - нестационарным.

Если эти вероятности зависят от предшествующего состояния, то имеет место канал с памятью, если не зависят, то это канал

без памяти.

Рис. 5.1. Граф модели дискретного канала связи

Вероятности переходов, связывающие входные и выходные символы в дискретном канале связи, могут быть записаны в виде матрицы

93

Вероятности, расположенные по диагонали, характеризуют собой правильность прохождения символов и по отношению к другим должны иметь наибольшие значения.

Переходная матрица канала обладает следующими свой-

ствами [8]:

1)Ее i-ая строка соответствует i-ому входному сигналу хi.

2)Ее j-ый столбец соответствует j-ому выходному сигна-

лу yj.

3) Сумма элементов строки равна 1, т.е.

Это означает, что каждый входной символ обязательно перейдет в некоторый выходной символ, и p(yj / xi) распределение вероятностей переходов.

4) Если p(xi) – вероятность появления входного символа

xi , то

⁄ ( ) = 1 .

Это означает, что если в систему ввести какой-либо символ, то какой-то символ из нее обязательно выйдет.

5) Два множества p( xi) и p(yj ) связаны следующими соотношениями:

…………………………………………………..

94

Если число символов на входе и на выходе канала одинаково и равно k, такой канал называют k -ичным. Стационарный двоичный канал без памяти характеризуется четырьмя переходными вероятностями (рис. 5.2). Если p(0/0) = p(1/1) и p(1/0) = p(0/1), то канал называется симметричным.

Рис. 5.2. Схемы каналов: а) двоичный; б) двоичный со стиранием

Если вероятности, входящие в строку матрицы, являются перестановками одних и тех же чисел, то канал называется симметричным по входу. Если это же относится к вероятностям, входящим в столбцы, то канал является симметричным по выходу. Модель симметричного дискретного канала связи (ДСК) является наиболее простой. Матрица двоичного симметричного канала имеет вид:

ятность правильного прохождения сигнала.

Схемы и матрицы основных симметричных каналов приведены на рис. 5.3.

Для улучшения свойств двоичного симметричного канала может быть введена зона стирания. На рис. 5.3, б приведена схема двоичного канала со стиранием (ДСтК). То есть на приемной стороне появляется некоторая дополнительна область стирания.

95

а) ДСК

б) ДСтК

в) Симметричный по выходу канал

Рис. 5.3. Примеры симметричных каналов

В этом случае порог срабатывания, разделявший ранее зоны приема единиц и нулей, превращается в зону неопределенности. Попадание символа в зону неопределенности означает неясность в выявлении символа, и это может быть использовано как оценка места ошибки в принятой кодовой комбинации. Введение зоны стирания, разделяющей зоны приёма

96

единиц и нулей, позволяет повысить возможность коррекции ошибок и притом же кодовом расстоянии становится возможным кроме обнаружения исправлять ошибки.

Для оценки нестационарных каналов в настоящее время используются модели стационарных каналов, т. е. нестационарный канал рассматривается как некоторая последовательность стационарных, оценивается множество возможных аппроксимирующих стационарных состояний и указываются вероятности попадания канала в каждое аппроксимирующее состояние.

Таким образом, граф, отображающий дискретный канал связи, является моделью, или математическим отображением, реального канала связи. Если все вероятности, входящие в матрицу Р, кроме стоящих по диагонали равны нулю, то такой канал является каналом без шума. Основная проблема передачи информации в канале без шума – это выбор оптимального кода,

который по своим свойствам согласуется с источником информации и имеет наименьшую среднюю длину, а в каналах с шумом – выбор кода, который обеспечивает передачу с заданной верностью при максимальной скорости передачи.

Двоичный симметричный канал реализует схему Бернулли, поэтому вероятность передачи n бит по двоичному симметричному каналу с k ошибками равна

Пример. Вероятность передачи одного бита информации с ошибкой равна q = 0.01 и нас интересует вероятность без-

ошибочной передачи 1000 бит (125 байт). Искомую вероятность можно подсчитать по формуле P1000(0) = C10000p1000q0 = 0.991000 ≈ 4.32 10−5, т.е. она ничтожно мала.

Добиться минимальности вероятности ошибки при передаче данных можно используя специальные коды.

97

5.2. Скорость передачи информации по дискретному каналу

Различают техническую и информационную скорость передачи по дискретному каналу. Под технической скоростью понимают число элементов сообщения (символов), передаваемых в единицу времени:

где τср - средняя длительность передачи одного символа. Единицей технической скорости передачи является бод - один символ за одну секунду.

Она зависит от свойств линии связи и быстродействия аппаратуры канала.

Под информационной скоростью, или скоростью пере-

дачи информации, понимают среднее количество информации, передаваемое по каналу в единицу времени. Она определяется как

( ) = ( ) = ∙ ( ) , (5.2)

ср

где I (XY) - среднее количество информации, переносимое одним символом.

Она зависит как от характеристик данного канала связи, таких, как объем алфавита используемых символов, техническая скорость их передачи, статистических свойств помех в линии, так и от вероятностей поступающих на вход символов и их статистической взаимосвязи.

Для сообщений, составленных из равновероятных взаимонезависимых символов равной длительности, скорость передачи информации

В случае неравновероятных символов равной длительно-

сти

В случае неравновероятных и взаимозависимых символов разной длительности

5.3. Пропускная способность дискретного канала без помех

Для теории и практики важно выяснить, до какого предела и каким путем можно повысить скорость передачи информации по конкретному каналу связи. Предельные возможности канала по передаче информации характеризуются его пропускной способностью.

Пропускная способность дискретного канала без помех – Сd определяется, как максимальная скорость передачи информации по данному каналу, которая в принципе может быть достигнута при самых совершенных способах передачи и приема:

В соответствии с (5.3) при фиксированной технической скорости передачи (Vt = Const) пропускная способность канала определяется максимумом среднего количества информации I(XY), приходящейся на один символ принятого сигнала.

Пропускная способность канала, как и скорость передачи информации по каналу, измеряется числом двоичных единиц информации в секунду (дв.ед./с).

При отсутствии помех имеет место взаимно однозначное соответствие между символами на входе и выходе канала, а

I(XY) = H(X).

С другой стороны, как было показано ранее, при фикси-

99

рованном объеме алфавита m максимум H (X) имеет место при равновероятности символов и определяется как max H(X) = log2 m и, следовательно пропускная способность дискретного канала без помех

=∙log .

Теорему кодирования для дискретного канала без шумов в случае источника с управляемой скоростью можно сформулировать следующим образом:

Если источник сообщения имеет энтропию Н(Х), то можно закодировать сообщения таким образом, чтобы передавать их сколь угодно точно по дискретному каналу без шумов со средней скоростью

∙log

Н(Х)

− ,букв/сек ,

где ɛ - сколь угодно малая положительная величина.

Передавать их сколь угодно точно со скоростью, боль-

Применительно к источнику с фиксированной скоростью:

Сообщения источника с энтропией Н(Х) можно закодировать так, чтобы передавать их сколь угодно точно по дискретному каналу без шумов, при условии, что

( ) < ∙log .

И это невозможно, если

( ) > ∙log .

Эти теоремы являются частными случаями теоремы кодирования Шеннона.

Таким образом, для увеличения скорости передачи информации по дискретному каналу без помех необходимо осуществлять такое преобразование сообщений, при котором элементы сообщений оказываются независимыми и равновероятными. Из последнего равенства видно, что пропускная способ-

100