Методическое пособие 638

4 sin t cost

cos2 t

sin 2 t sin 2 t cos2 t

0 .

8sin 3 t cos3 t

3.16. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y

f x

дифференцируема, а аргумент x яв-

d dy d 2 y d y dx

y dx dx

y dx dx

y dx 2 y dx2 .

Дифференциал n -го порядка определяется как дифференциал

от дифференциала n 1 -го порядка:

d n y

d d n 1 y .

Данные формулы справедливы, если x

является независимой

переменной. В том случае, когда переменная

x является функцией

4.1. Теорема Ролля

Ряд теорем о дифференцируемых функциях имеет большое

теоретическое и прикладное значение.

Теорема Ролля. Если функция y

f

x

непрерывна на отрезке

a,b ,

дифференцируема на интервале

a,b

и на концах отрезка

принимает одинаковые значения

f

a

f b , то найдется хотя бы

одна точка

c

a,b ,

в которой производная

f

x

обращается в

нуль, т.е. f

c

0 .

Доказательство. Так как функция y

f

x

непрерывна на от-

резке

a, b ,

то она достигает на этом отрезке своего

наибольшего и

наименьшего значения, соответственно,

M и

m .

В тривиальном

случае M

m функция

y

f x

постоянна на

a,b

и,

следова-

тельно, еѐ производная

f

x

0 в любой точке отрезка

a,b .

В случае M

m функция достигает хотя бы одно из значений

M

или

m

во

внутренней

точке

c

интервала

a,b , так как

f a

f

b .

Предположим, что функция принимает значение M в

точке c , т.е. f c

M . Тогда для

любого x

a,b

будет выпол-

няться неравенство

f c

f

x

. Найдем производную

f

x

в точке

x

c :

f (c)

lim

f (c

x)

f (c)

.

x

x

0

Поскольку

f

c

f

x ,

то

верно

неравенство

f c

x

f

c

0 .

Если

x

0,

что соответствует стремлению аргумента x к

точке c справа, то

f (c

x)

f (c)

0

и поэтому

f

c

0 .

x

Если

x

0, то

f (c

x)

f (c)

0

и

f

c

0 .

x

64

4.3 Теорема Коши

Теорема Коши. Если функции

y f

x

и y

x

непре-

рывны на отрезке

a, b , дифференцируемы на интервале

a,b ,

причем

x 0

для x a,b , то найдется хотя бы одна точка

c a,b

такая, что выполняется равенство

f (b) f (a)

f (c)

.

(b) (a)

(c)

Доказательство. Предполагается,

что

b

a

0 , так как в

противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка

c , что

F (x) f (x) f (a)

f (b)

f (a)

( (x)

(a)).

(b)

(a)

Вспомогательная функция удовлетворяет всем условиям тео-

ремы Ролля, поскольку непрерывна на отрезке a,b

и дифференци-

значения F a

F b

0 .

По теореме Ролля существует такая точка c a,b , что

F c 0 . Так как

F

x

f

x

f (b)

f (a)

(x),

(b)

(a)

то

F'(c)

f '(c)

f (b)

f (a)

'(c) 0

, f '(c)

f (b)

f (a)

'(c) .

(b)

(a)

(b)

(a)

Из последнего следует, что

f (b)

f (a)

f ' (c)

.

(b)

(a)

' (c)

4.4. Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. Пусть функции

f

x

и x

непрерывны

и дифференцируемы в окрестности точки

x0

и обращаются в нуль в

этой точке, т.е. f x0

x0

0 , кроме того

x0

0 , тогда, если

существует предел

lim

f ' (x)

A , то

lim

f (x)

A .

' (x)

x x0

x x0

(x)

Доказательство. По теореме Коши для функций

f x и x ,

непрерывных и дифференцируемых

на отрезке

x0 , x , найдется та-

кая внутренняя точка c

x0 , x , что будет выполняться равенство

f (x)

f (x0 )

f ' (c)

.

(x) (x0 )

' (c)

Воспользовавшись тем, что f

x0

x0

0 , получаем

f (x)

f (c)

.

(x)

(c)

Учитывая, что при x

x0 величина с также стремиться к x0 ,

получим:

lim

f (x)

lim

f (c)

.

x x0

(x)

c x0

(c)

Если производные

f x

и

x удовлетворяют тем же усло-

виям, что и функции f x

и

x , теорему можно применить еще

раз:

lim

f (x)

lim

f (x)

lim

f (x)

(x)

(x)

(x)

x x0

x x0

x x0