Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 638

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

lim	sin x	=	lim	sin x	=1.
	x			x
x 0 0			x 0 0

В этом случае функция доопределяется таким образом, чтобы устранить точку разрыва, т.е.

	sin x	, если x	1,
y	x	, если x	1,
y

	1, если x		1.

Если в точке	a существуют			конечные	неравные пределы
функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.
lim	f x	A,	lim	f x B ,	A B ,
x a	0	x	a	0

то точка a называется точкой разрыва первого рода или скачком.

Рис. 5.

Точки разрыва первого рода или скачки часто имеют кусочнонепрерывные функции. Например, функция

		f	x =	x	1,	если - 1 x 2
				2	x,	если	2 x 5
испытывает		скачек	в	точке		x 2 ,	поскольку	lim	f x 1,
							x	2	0
lim	f x	0 .
x 2	0

Если хотя бы один из односторонних пределов стремится к бесконечности или не существует, то имеет место точка разрыва второго рода .

Например,

функция

31/ x a

разрывна, поскольку

при

a функция

не

определена

(рис.

6),

lim

31/ x a

x a

lim 31 / x a 0 . Точка x

a является точкой разрыва второго рода.

a 0

Для функции y

(рис. 7) точка

0 является точкой раз-

рыва второго рода, поскольку

lim

0 x

x 0

y				y
		1				1

		y 3 x a			y

						x
						x
0	a		x	0			x
			x

Рис. 6.				Рис. 7.
Еще одним примером точки разрыва второго рода является
точка x 0 для функции y		sin	1	. В данном случае не существуют
точка x 0 для функции y		sin	x	. В данном случае не существуют
			x
правосторонний lim sin	1	и левосторонний lim sin			1	пределы
правосторонний lim sin	x	и левосторонний lim sin			x	пределы
x 0 0	x			x 0 0	x
x 0 0				x 0 0

функции.

2.10. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций в точке a и ее окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.

Доказательство.

Пусть функции

u x и v x

непрерывны в

точке

ее

окрестности. Докажем непрерывность функции

u x

v x , т.е. справедливость равенства

lim

0 .

lim

u a

v a

u a

v a

x 0

lim

u a

lim

v a

x 0

lim

v .

Поскольку функции u x

и v x

непрерывны в точке a и ее

окрестности, т.е.

lim

u 0 , lim

0 , то и

lim

0 .

x 0

Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке

a и ее окрестности,

есть функция,

непрерывная в точке a и ее ок-

рестности.

Доказательство. Для доказательства непрерывности функции

u x v x

по аналогии с предыдущим доказательством покажем,

что

lim

0 .

lim

u a

x v a

u a v a

x 0

lim

u a

x v a

u a v a

lim

u a

x v a

u a v a

lim u a v a

u a v a

lim

v a

u a

lim

u a

v a

lim	v a	x	u	lim		u a	v v a lim	u u a	lim	v	0,
x	0			x	0		x	0	x	0
где	lim	u	0 ,	lim		v	0 , а функции u x		и v x		являются огра-
	x 0			x	0
ниченными при x						a .
	Теорема 3. Частное от деления двух функций, непрерывных в

точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности, если знаменатель в точке a не равен нулю.

Доказательство теоремы аналогично предыдущему доказательству.

Теорема 4. (Теорема о непрерывности сложной функции)

Пусть y f	x -сложная функция. Если функция			x непре-
рывна в точке a , а функция y		f	непрерывна в точке	a	a ,

то сложная	функция y f	x , составленная из непрерывных
функций, непрерывна в точке a (без доказательства).

2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем зна-

чении функции на отрезке. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения (без доказательства).

y
M	y	f	x
	y	f	x
m
0 a x1		x2	b	x
	Рис. 8.
Изображенная на рис. 8 функция			y	f x непрерывна на от-

резке a;b , принимает наибольшее значение M в точке x1 , а наи-

меньшее m - в точке x2 . Для любого x a;bимеет место нера-

венство m f x M .

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема о нуле непрерывной на отрезке функции. Если

функция y f x	непрерывна на отрезке a;b , и на его концах
принимает значения разных знаков, то внутри отрезка		a;b найдет-
ся хотя бы одна точка c , в которой данная функция y		f x обра-
щается в ноль: f c	0 (без доказательства).

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ox на другую, то он обязательно пересекает ось Ox (рис.9).

y f x

b x

Рис. 9.

В случае нарушения условия о непрерывности функции на отрезке вышеуказанная теорема может не выполняться(рис. 10).

y	f x
a	c b x

Рис. 10.

Теорема Больцано-Коши. Если функция y f x непрерыв-

на на отрезке a;b , и принимает на его концах неравные значения

f a A и f b B , то на этом отрезке она принимает и все про-

межуточные значения между A и B (без доказательства). Геометрическая интерпретация теоремы Больцано-Коши сво-

дится к тому, что для любого числа C , заключенного между A и B ,

найдется такая внутренняя точка c , что f c				C , т.е. прямая y C
пересечет график функции y		f x	, по крайней мере, в одной точке
(рис. 11).
y
B	y	f	x
C	y	f	x
C
A
a		c	b	x

Рис. 11.

	Вопросы для самопроверки
	1. Сформулируйте определение предела функции при x a и
при x	. Дайте геометрическую иллюстрацию определений этих

пределов.

2.Что такое бесконечно малая и бесконечно большая величины? Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величиной?

3.Каковы основные свойства бесконечно малых величин?

4.Сформулируйте основные теоремы о пределах.

5.О чем говорится в первом замечательном пределе?

6.Как записываются основные формулы второго замечательного предела?

7.Какие бесконечно малые величины называются бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости?

8.Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых ве-

личин.

9.Дайте три определения непрерывности функции в точке.

10.Перечислите типы точек разрыва функции и опишите каждый из них.

11.Каковы основные теоремы о непрерывных в точке функци-

ях?

12.Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрез-

ке.

13.Какова геометрическая интерпретация теоремы о нуле непрерывной функции?

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы функций

	1.					lim					x2							5		.
	1.					lim														.
						x		2 x2										4
	2.
lim			x3				3x 2									2x				.
lim	2 x 2																			.
x	2 x 2									x				6
	3.
lim		4x3						2x2						1					.
lim					3x3														.
x					3x3							5
	4.
lim	4x3						2x2								x			.
lim					3x2					2x								.
x 0					3x2					2x
	5.
lim					x2				x						.
lim		x4				3x2									.
x		x4				3x2						1
	6.

lim					2x		1						3				.

				x		2						2
x 4				x		2						2

				7. lim								1					x		2 1		.
				7. lim													x				.
						x	0										x

Ответ: 89 .

Ответ: 52 .

Ответ: 43 .

Ответ: 12 .

Ответ: 0.

Ответ: 2 32 .

Ответ: 0.

8. lim

sin 2 (x / 3)

Ответ:

9. lim

tg2x

Ответ:

0 sin 5x

10.

2 x

Ответ: e6 .

lim

11.

Ответ: е.

lim

12. Определить точки разрыва функции y

x(x

1)(x2

Ответ: точки разрыва: x1

-2 , x2

0 ,

2 .

13. Найти точки разрыва функции

21/ x и построить

график этой функции.

Ответ:

Разрыв

второго

рода

при

(

lim

1).

x 0

-0

-2 sin 2x,

если

;

14.Пусть

Asin x B,

если

;

cos x,

если

Подобрать числа A и B так ,

чтобы функция

была не-

прерывной ; построить еѐ график.

Ответ: A

B 1.

3.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1. Дифференцируемость функции

Пусть имеется функция y f x , определенная и непрерывная в точке a и ее окрестности. Тогда некоторому приращению ар-

гумента

будет

соответствовать

приращение

функции

y f a

a .

Функция

f x

называется дифференцируемой в точке a ,

если приращение функции

имеет вид

x , где A

является

только

функцией

a и

не

зависит

от

x ,

x -

бесконечно

малая

величина

более

высокого

порядка

малости по

сравнению с приращением аргумента

x , т.е.

lim

0 . Глав-

x a

ная линейная по

x часть приращения функции называется диффе-

ренциалом функции и обозначается символом dy

или df

a . Диф-

ференциалом независимой переменной величины x является ее при-

ращение

x , т.е. условно полагается , что dx

x .

Рассмотрим предел отношения приращения функции

y к

приращению

аргумента

x при x

a для

дифференцируемой

функции

lim

A x

lim A

lim

A .

x a

Величина A , определенная как предел отношения прираще-

ния функции к приращению аргумента при x

a (

0 ) играет

очень важную роль, называется производной функции y

f x

по

независимой переменной x при данном ее значении x a и обозна-

чается y , f a ,	dy	или	df a	. Тогда дифференциал dy записыва-
	dx		dx

ется следующим образом: dy = y dx . Операцию нахождения произ-

водной называют дифференцированием.

Легко выяснить геометрический смысл производной и дифференциала функции. Введем сначала общее определение касательной

к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки M и M1

(рис. 12).

y
	dy	M1
	dy		L
			L
M		y
M
	x
x		x x	x
	Рис. 12.

Прямую MM1 , проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка M1 двигаясь вдоль кривой L , неограниченно при-

ближается к точке M . Тогда секущая, поворачиваясь около точки M , стремиться к некоторому предельному положению .

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение секущей MM1 , проходящей через точку М,

когда вторая точка пересечения M1			неограниченно приближается
по кривой к точке		M . Касательная к графику функции образует
угол	с осью Ох.	Секущая MM1	образует с осью Ox угол .

Угловой коэффициент секущей	kсек = tg	=	y	. При приближении

			x
точки M1 к точке M секущая,	поворачиваясь около точки M , пе-
реходит в касательную. Угол наклона касательной					стремится к
углу наклона касательной , т.е. lim			. Поэтому угловой ко-
	x a

эффициент касательной равен производной от ординаты y по абсциссе x

kкас	= tg = lim tg	= lim	y	= y .
			x
	x a	x a

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.97 Mб2Методическое пособие 633.pdf
#
30.04.20222.99 Mб6Методическое пособие 634.pdf
#
30.04.20223 Mб3Методическое пособие 635.pdf
#
30.04.20223 Mб5Методическое пособие 636.pdf
#
30.04.20223.02 Mб6Методическое пособие 637.pdf
#
30.04.20223.04 Mб5Методическое пособие 638.pdf
#
30.04.20223.05 Mб5Методическое пособие 639.pdf
#
30.04.2022606.72 Кб3Методическое пособие 64.doc
#
30.04.2022330.39 Кб3Методическое пособие 64.pdf
#
30.04.20223.05 Mб7Методическое пособие 640.pdf
#
30.04.20223.05 Mб6Методическое пособие 641.pdf