Методическое пособие 638

1.5.Некоторые классы функций

Функция y

f x

называется возрастающей (убывающей) в

некоторой области,

если для любой пары чисел x1

и x2 , принадле-

жащих этой области, большему значению аргумента

x2

x1 будет

соответствовать большее

f

x2 f x1

(меньшее

f x2

f x1 )

значение

функции.

Если

же

неравенству

x2

x1

соответствует

f x2 f

x1 ( f x2

f

x1

),

то функция

y

f x

называется не-

мер,

функция

y

x2

2x 4 монотонно убывает на промежутке

,1 и монотонно возрастает на промежутке 1, .

Функция

y

f x

называется ограниченной сверху (снизу) в

некоторой области,

если существует такое число А,

что f x

A

( f x

A ) для любого x из этой области. Функция

называется

ог-

Функция

y f x , определенная в симметричной относи-

тельно

начала

координат

области,

называется четной, если

f x

f x ,

и нечетной,

если f x

f x . График нечетной

Функция y

f

x

называется периодической, если существу-

ет такое число T

0 ,

что для всех x из области определения вы-

полняется условие

f

x

T

f x . Число T называется периодом.

творяющих

неравенству

x

a

имеет

место

неравенство

f x A

. Если A есть предел функции

y

f x

при x a ,

то пишут

lim

f x

A .

x a

Определение предела

функции

y f

x

графически иллюст-

рируется следующим образом (рис. 1).

равенству

x a

, имеет место неравенство

x

.

Пример 2.1. Функция

1

будет бесконечно малой при

x

x

, так как lim

1

0 . Действительно, из определения предела

x

x

удовлетворяющих неравенству |x| > N,

1

0

.

Имеем

1

,

x

x

| x |

1

, тогда N

1

, | x |

N

1

.

Теорема 1. Если lim

f

x

A, то ( f

x

A )

есть бесконечно

x a

малая величина, и наоборот: если

f

x

A

x ,

где x - беско-

нечно малая величина, то lim

f

x

A.

x

a

Доказательство. Если

lim

f

x

A ,

то

для любого

мало-

x a

го

0 можно указать такую

окрестность около точки

a , что

для

всех x из

этой окрестности

будет

выполняться условие

x

1 x

2

x ...

n x

1

x

2

x

...

n x

1

2 ...

n .

Обозначим наибольшую из

i - окрестностей как

, тогда

x

n .

Обозначим наименьшую из

i - окрестностей как

. Можно

утверждать,

что для любого малого положительного

n найдется

такое

,

что

для

всех

x ,

удовлетворяющих

неравенству

x a

,

будет выполняться условие

x

n . Последнее и

означает, что x есть бесконечно малая величина.

Теорема 4. Произведение бесконечно малой величины и огра-

ниченной функции есть бесконечно малая величина.

Доказательство.

Для ограниченной функции y f x спра-

f x

M , выполняемое для всех x из облас-

ведливо неравенство

ти определения. Тогда для бесконечно малой

x можно записать

f x

x

M

x

M .

Можно утверждать, что для любого сколь угодно малого M

найдется такая - окрестность, что для всех

x из этой окрестности

будет выполняться условие

f x

x

M ,

Функция

y f x называется бесконечно большой величиной

при x

a , если для любого сколь угодно большого числа M най-

дется такое

0, зависящее от M , что для всех x из - окрест-

lim f x

.

x a

Теорема 4. Если x является бесконечно малой величиной,

то

1

есть бесконечно большая величина.

x

Доказательство. Поскольку величина

x является бесконеч-

тельного

0 найдется такая

- окрестность около точки a ,

что

для всех x из

x

- окрестности будет выполняться условие

.

Поэтому

для

величины

1

можно

указать

для любого

числа

x

M

1

0 такую

- окрестность около точки a , что для всех x

из

- окрестности будет выполняться условие

M

, что и озна-

1

x

чает, что величина

1

является бесконечно большой величиной.

x

2.3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим пределы функций при x

a ,

полагая,

что ре-

зультаты не изменятся и при x

.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы функций

u x

и

v x

равен алгебраической сумме пределов этих функций.

lim u x

v x

lim u x

lim v x .

x

a

x

a

x

a

Доказательство.

Пусть

lim u x

u0

, lim v x

v0 .

Тогда

x

a

x

a

можно записать при x

a ,

что u x = u0 +

1 x , v x

= v0 +

2

x ,

где

1 x , 2

x

- бесконечно

малые

величины.

Следовательно,

u x + v x = u0 + v0 +

1 x +

2

x . Здесь u0 + v0

– постоянная вели-

чина, а

1 x +

2

x

– бесконечно малая величина. Если функция

u x + v x

при

x

a

представляется в

виде

суммы

константы

u0 + v0

и бесконечно малой величины,

то по первой теореме о бес-

конечно малых величинах предел этой функции равен u0 + v0 .

Пример 2.2.

lim

5x2

6x

lim

5

6

lim 5

lim

6

5 .

x2

x

x

x

x

x

x

Теорема 2. Предел произведения функций u x и

v x равен

произведению пределов этих функций.

lim

u x

v x

lim u x

lim v x .

x

a

x

a

x

a

Доказательство. Пусть lim u x

u0 ,

lim v x

v0 . Тогда

x

a

x

a

можно записать при x

a , что u x = u0 +

1 x , v x = v0 + 2

x ,

где

1 x ;

2

x - бесконечно малые величины. Имеем

lim

u x

v x

lim

u0

1

x

v0

2 x

x

a

x

a

lim u0v0

u0

2 x

v0

1

x

1

x

2

x

u0v0 .

x

a

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак

предела:

lim

cv x

c lim v x .

x

a

x

a

Теорема 3. Предел частного от деления двух функций u x

и

v x

равен частному от деления пределов этих функций

u x

lim u x

lim

x

a

.

v x

lim v x

x

a

x

a

Доказательство. Пусть

lim

u x

u0

,

lim v x

v0 .

Тогда

x a

x

a

можно записать при

x

a ,

что

u x = u0 +

1 x ,

v x = v0 +

2

x ,

где

1 x ;

2

x - бесконечно малые величины.

Имеем

lim

u x

lim

u0

1

x

lim

u0

u0

1

x

u0

x a

v x

x a v0

2

x

x a

v0

v0

2

x

v0

u0

lim

u0v0

1 x v0 u0v0

u0 2 x

u0

lim

1 x v0 u0 2 x

v0

v0 v0

2 x

v0

v0 v0

2 x

x a

x a

u0

lim

x

1

lim

x

u0

u0

,

v0

1

v0

2 x

2

v0

v0

2 x

v0

x a

x a

Теорема 4. Если lim

f x

A, а функция y принимает неотри-

x

a

цательные значения y

0 ,

то

A есть неотрицательное число A 0

функций u

u(x) и v=v(x)

выполняется неравенство u(x)

v(x) и

lim u(x)

u0 , lim v(x)

v0 , то имеет место неравенство u0 v0 .

x a

x

a

Доказательство. Поскольку u(x)

v(x)

0 , то по предыдущей

теореме

lim (u(x)

v x)

0 ,

или

lim u x

lim

v x

0 .

Отсюда

x

a

x

a

x

a

следует, что

lim u(x)

lim v x , т.е. u0

v0 .

x

a

x

a

Теорема

6.

Если

lim u(x)

u0 ,

lim

v(x)

u0

и

x

a

x a

u(x) z x

v(x) , то

lim z(x)

u0

(без доказательства).

x

a

Теорема 7. Если функция

y

f

x

при

x

a

является не-

f x

M ,

убывающей

и

ограничена сверху числом

M , т.е.

то

функция y

f

x имеет предел при x

a (без доказательства).

Пример 2.3. Вычислить предел

lim

7x2

2x

.

x 1 3x 4

1

7x

2

2x

lim 7x2

2x

7 lim x2

2 lim x

9

lim

x 1

x 1

x 1

.

lim 3x4

3lim x4

x 1 3x4

1

1

lim 1

2

x 1

x 1

x 1

ния

вида

0

,

, 0

,

, 1

называются

неопределенно-

0

стями.

2.4. Предел функции

sin x

при x

0

x

(первый замечательный предел)

Функция

y

sin x

не определена при x 0 . Найдем предел

x

этой

функции

при

x

0 .

Рассмотрим окружность радиуса R .