Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 638

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Так как величина x является бесконечно большой величиной,

то

lim

0 .

Вычитаемое

может быть опущено как бесконечно малая ве-

личина, следовательно,

lim

f x

или

lim

Из условия

lim kx

0 находим:

lim f

kx .

Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением ко-

эффициентов

и b не существует или равен бесконечности, то

кривая

x не имеет наклонной асимптоты. В частном случае,

когда

получаем

горизонтальную асимптоту. Существуют

функции, графики которых имеют различные асимптоты при стрем-

лении x	к	и	, поэтому при определении параметров k и b
необходимо вычислять соответствующие пределы при x							и
x	.
Пример 5.6. Найти асимптоты графика функции y						xe2x .
Решение.		Поскольку lim		xe2x	lim e2x	, то	график
				x
			x		x
функции при x			асимптоты не имеет. При x			получаем:

lim

xe2x

lim

e2x

lim (xe2x 0

lim

xe2x

lim

e2x

e x

Следовательно,

при

график имеет горизонтальную

асимптоту y 0 .

Пример 5.7. Найти асимптоты графика функции y

Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из об-

ласти определения функции,

является

2 , то находим левосто-

ронний и правосторонний пределы при x

2 :

lim

2 0

Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асим-

птоты x

2 .

Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, со-

ответствующие параметрам k и b :

k1,2

lim

x x

lim (

lim

1,2

Следовательно,

при

график функции имеет горизон-

тальную асимптоту y

1 .

5.6. Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции y f x производится по следующему плану:

1.Нахождение области определения функции.

2.Исследование простейших свойств:

а) нахождение точек пересечения с осями координат, б) определение наличия свойств четности или нечетности,

в) определение наличия периодичности.

3.Нахождение асимптот: а) вертикальных, б) наклонных.

4.Нахождение первой производной.

5.Нахождение критических точек первого рода.

6.Вычисление второй производной.

7.Нахождение критических точек второго рода.

8.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.

9.Исследование поведения функции на полученных проме-

жутках:

а) возрастание, убывание функции, б) вогнутость, выпуклость графика.

10Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.

а) экстремумы, б) точки перегиба.

11.Построение графика функции по результатам исследова-

ния.

							x2
Пример 5.8. Исследовать функцию y									и построить ее
Пример 5.8. Исследовать функцию y							x2		и построить ее
							x2	1
график.
Решение. Выполним все операции предложенной выше схемы
исследования.
1. Функция не определена при x						1 и x		1. Область опреде-
ления функции D y :			, 1		1,1	1, .
2. Простейшие свойства.
а) Если x	0 , то		y 0 . График пересекает оси координат
только в одной точке O 0,0 .
б) Функция	y	x2		является четной, так как
б) Функция	y	x2		является четной, так как
		x2	1

y( x)	x 2	x2		y(x).
	( x)2 1	x2
			1

Следовательно, график ее симметричен относительно оси Oy . в) Функция непериодическая.

3. Асимптоты.
а) Вертикальные асимптоты появляются при x	1 и x 1 :


lim	x2		,	lim	x	2	,
x 1 0 x2		1	x	1 0 x2		1
	x2				x2
lim			,	lim				.
lim			,	lim				.
x 1 0 x2		1		x 1 0 x2		1

б) Для нахождения наклонных асимптот находятся пределы:

k1,2

lim

0 ,

2 1

lim

(

lim

1,2

Имеется

наклонная

(горизонтальная)

асимптота

y 1 при

4. Первая производная равна

x 2

2x(x 2 1) x 2 (2x)

x 2

(x 2

1)2

(x 2

1)2

5. Единственная критическая точка первого рода является ста-

ционарной точкой

0 .

Значение функции в стационарной точке

0 равно y 0

0 .

6. Вторая производная равна

2(x 2

1)2

( 2x)2 x 2

1 2x

6x 2

(x 2

1)2

(x 2

1)4

7. Критические точки второго рода отсутствуют.

8. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:

y	0	y	0	y	0	y	0
	1		0			1	x
			Рис. 18.
y	0	y	0	y	0	y	0
	1		0			1	x
	1		0			1
		Рис. 19.
9. Полученные результаты используются при построении гра-
фика функции.			y
			y
				y	f	x
			1			y	1
						y	1
			0
		1		1		x
	x	1		x	1
				x	1

Рис. 20.

Пример 5.9. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, постро-

ить ее график

y = x3 / 2 (x+1)2.

Решение. 1. Найдем область определения функции.

Поскольку f(x) представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, х+1= 0; х = -1. Таким образом,

D (y) =(- , 1) ( 1, ) .

2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).

3.Исследуем функцию на четность или нечетность

y( x) ( x)3 / 2( x 1)2	x3 / 2(1 x)2 .
Очевидно, что у(-х) у (х) и у(-х)	-у(х), поэтому функция не
является ни четной, ни нечетной.

Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой

вычислим пределы справа и слева при x					1 0, x		1 0 от
функции f(x):
lim	x3		= - ;	lim	x3	= - .
		2			1)2
x 1 0 2(x 1)			x	1 0 2(x

Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.

б) Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с

уравнениями у = kх+b при x

k = lim

f (x)

lim

1/2;

2(x

1)2

lim ( f (x) kx)

lim

2(x

1)2

lim

2x2

2(x

1)2

Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асим-

птотой при x

. Те же самые значения пределов для k и b полу-

чим и при x

, поэтому найденная прямая является асимптотой

и при x

5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .

y		3x2	(x 1)2	x3 2(x 1)	x2 (x 3)
	=					.
	=		2(x	1)6	2(x 1)3	.

Критическими точками являются х = 0, х = -3, при которых y= 0 и , х = -1, где производная функции не существует. При y>0

функция возрастает, при y <0 убывает.

6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого найдем вторую производную

y	(3x2 6x)(x 1)3	(x3 3x2 )3(x 1)2		3x
					.
	2 x	1 6		(x 1)4
Точкой, где	y может менять знак, является точка х = 0, следова-
тельно, х = 0 является точкой перегиба. Если y			< 0, функция вы-

пукла, при y > 0 - вогнута.

7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .

8.Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой

(рис. 21).

Таблица 1.

x		(- ,-3)	-3	(-3,-1)	-1	(-1,0)	0	(0,∞)
f	(x)	+	0		Не сущ.	+	0	+

f	(x)				Не сущ.		0	+

f(x)		Возр.,	Max	убыв.,	Не сущ.	возр.,	Точка	Возр.,
		вып.	y=	вып.		вып.	перег.	вогн.
			-27/4

-3	-1	0

Рис. 21.

Пример 5.10. Исследовать функцию	y	x3		и построить
		x2
			3

ее график.

Решение. 1. Функция не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. при

x1 3 , x2 3 .

Следовательно,

D( f ) ( ,3) (3, 3) (3, ) .

2.Определим точки пересечения графика с координатными осями. Единственной такой точкой будет O(0,0).

3.Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность. Имеем

f (x)	x3	( x)3		f (x) ,
	x2 3	( x)2	3

следовательно f(x)- нечетная.

При исследовании функции можно ограничиться значениями х 0, а затем продолжить функцию, пользуясь свойством нечетности (график симметричен относительно начала координат).

4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.

lim	x3	,	lim	x3		.

x 3 0 x2 3		x	3 0 x2		3

Следовательно, x 3 - вертикальная асимптота.

б) Наклонные асимптоты
k	lim	f (x)	lim	x2			1,
		x		x2	3
	x		x
						x3
b	lim ( f (x)		x)	lim (				x) 0 .
					x2
	x			x			3

Таким образом, прямая y = x – наклонная асимптота.

5. Определим точки возможного экстремума. Для этого найдем производную.

f (x)	x3	3x2 (x2	3) x3	2x x2 (x2		9)	0.
	x2 3	(x2	3)2		(x2	3)2

Критическая точка первого рода: x1				0 .

Точки x4,5 3 не могут быть точками экстремума, так как они не входят в область определения функции.

6. Определим точки возможного перегиба. Для этого найдем вторую производную.

f (x)	x3	x2 (x2	9)	6x(x2	9)	0.
	x2 3	(x2	3)2	(x2	3)3

Существует одна критическая точка второго рода: x1 0 .

Найдем промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки выпуклости, и точки перегиба. Результаты исследования оформим в виде таблицы, в которой отражены изменения знака первой и второй производных.

Таблица 2.

(3,∞)

(

3,0)

(0, 3)

( 3,3)

(x)

Не

сущ.

(x)

Не

сущ.

f(x)

Убыв.,

Т. П.

Убыв.,

Не

Убыв.,

Min

Возр.,

вогн.

f=0

вып.

сущ.

вогн.

f =4,5

вогн.

Используя полученные результаты, строим график, функции, предварительно нанеся на чертеж точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.

-3	-	3	0	3	3	x

Рис. 22.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.97 Mб2Методическое пособие 633.pdf
#
30.04.20222.99 Mб6Методическое пособие 634.pdf
#
30.04.20223 Mб3Методическое пособие 635.pdf
#
30.04.20223 Mб5Методическое пособие 636.pdf
#
30.04.20223.02 Mб6Методическое пособие 637.pdf
#
30.04.20223.04 Mб5Методическое пособие 638.pdf
#
30.04.20223.05 Mб5Методическое пособие 639.pdf
#
30.04.2022606.72 Кб3Методическое пособие 64.doc
#
30.04.2022330.39 Кб3Методическое пособие 64.pdf
#
30.04.20223.05 Mб7Методическое пособие 640.pdf
#
30.04.20223.05 Mб6Методическое пособие 641.pdf