Методическое пособие 638

гиперболический котангенс

chx

e x

e

x

cthx

.

shx

e x

e

x

ch2 x

sh 2 x

1;

sh x

y

shx chy

shy

chx ;

ch x

y

chx chy

shx

shy ;

th x

y

thx

thy

;

1 thx thy

sh2x 2shx

chx ;

ch2x ch2 x sh2 x .

Найдем производные гиперболических функций:

shx

e x

e

x

e x

e

x

chx

;

2

2

chx

e x

e x

e x

e

x

shx ;

2

2

thx

shx

shx

chx

shx chx

ch2 x

sh2 x

1

;

chx

ch2 x

ch2 x

ch2 x

cthx

chx

chx

shx

chx shx

sh2 x

ch2 x

1

;

shx

sh2 x

sh2 x

sh2 x

y

x4

1

sin x

x4 1

sin x

cos x ln x4 1 sin x

4x3

.

x4

1

промежутка t1 t

t2 .

Предполагается,

что функции y

y t и x x t имеют про-

изводные, причем последняя функция

имеет обратную

функцию

t

(x) , тогда y

y

(x) является сложной функцией. По правилу

дифференцирования сложной функции имеем:

y'x y't

'(x) .

Воспользовавшись теоремой о производной обратной функ-

ции, заменим

на

1

. В результате подстановки имеем

x

xt

y x

yt

.

xt

Данная формула позволяет вычислять производную

y x от па-

Пример 3.3. Найти производную

y x

параметрически задан-

ной функции

x

a cost,

y

b sin t.

Решение.

Вычислим производные

y't

bcost,

x't

a sin t .

Тогда y'x

b cost

.

a sin t

Пример 3.4. Найти производную y x параметрически заданой

функции

x

a(t

sin t), .

y

a(1 cost).

Решение.

Вычислим

соответствующие

производные

yt a sin t ,

x

a 1

cost

. Тогда

2 sin

t

cos

t

sin t

t

y'x

2

2

ctg

.

1

cos t

2 sin

2 t

2

2

3.10. Неявная функция, и ее дифференцирование

Неявно заданной функцией называется функция, задаваемая

уравнением

F x, y

0 ,

не разрешенным относительно y . Любую

явно заданную функцию

y

f x

можно записать как неявно за-

данную

уравнением

f

x

y

0 .

Переход

от неявного

задания

зи переменных

x

и y ,

как, например, в неявно заданной функции

y sin

xy

2x

y

0 .

Для

того,

чтобы

найти производную неявной функции

F x, y

0 , не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе

по x :

1 y

exy y xy

или y 1

xexy

yexy 1.

Разрешая уравнение относительно y , находим производную

y

yexy

1

.

1 xexy

3.11. Уравнение касательной и нормали к графику функции

Рассмотрим

график

функции

y f

x . Выберем точку

M x0 , f x0 , принадлежащую кривой,

и проведем через эту точку

y

f x0 k x

x0 .

Угловой коэффициент

касательной

k

равен

производной

функции, посчитанной в точке касания x0 , т.е.

k f

x0 . В резуль-

y f x0

f x0 x x0 .

y

y f x0

f x0 x x0

f x0

M

y f

x

y

f x0

1

x x0

f

x0

0

x0

x

Рис. 13.

k

1

,

то

уравнение

нормали,

проходящей через

точку

1

k2

M x0 ,

f x0

, имеет вид

y

f

x0

1

x

x0 .

f

x0

Пример 3.6. Написать уравнение касательной и нормали к

графику функции y

3x2

5x в точке M 1,

2 .

Решение. Так как производная

y

6x

5 в точке x0

1 рав-

на 1, а значение функции

y 1

2 , то уравнение касательной име-

ет вид

y

2

1

x

1

или y

x 3 .

Уравнение нормали имеет вид

y

2

1

x

1 или y

x

1 .

1

d 2 y

d

dy

y

f x

.

dx2

dx

dx

Решение. y

ln x

1

,

y

1

1

,

y 3

2

,

x

x

x2

x3

y 4

2

6

,

y 5

6

24

.

x3

x4

x 4

x5

3.13. Формула Лейбница

Предположим, что функции u x

и v x

имеют производные

до n -го порядка включительно. Тогда,

применяя правила диффе-

ренцирования, получим:

u v

u v u v ,

u v

u v 2u v u v ,

u v 3

u v 3u v 3u v u v , …

Для производной n -го порядка придем к общей формуле, на-

зываемой формулой Лейбница:

u

v n

n Cni u n i v i

u n

v

n

u n 1 v

n n

1

u n

2 v ...

1 2

i

0

n n

1 ... n

i

1

u n

i

v i ...

u

v n .

1

2...i

Здесь

Cni

n!

,

n!

1 2

3... n

2

n

1 n ,

i! n

i !

Пример

3.8.

Найти

производную 5-го

порядка

функции

y x3e2x .

Решение.

v x3 ,

v

3x 2 ,

v

6x,

v

6,

v 4

v 5 0,

u e2x ,

u 2e2x ,

u 4e2x ,

u 8e2x ,

u 4

16e 2 x ,

u 5

32e2x ,

5 16e2x 3x2

5 4 8e2x 6x

5 4 3 4e2x 6 .

x3e2x

5

32e2x x3

1 2

1 2

3

3.14. Производные высших порядков неявно заданной

функции

Если

функция

y

f

x

задана

неявно

в

виде

уравнения

F x, y

0 , то производная первого порядка получается после диф-

Пример 3.9. Найти

y , если xy2

y

1 .

Решение. Продифференцируем левую и правую части уравне-

ния неявно заданной функции по x :

y2 x 2y y

y

0 .

y2

Отсюда y

. Продифференцируем еще раз по x :

x 2y

1

y

2y y (x 2y 1) ( y 2 ) (2y x 2y )

.

x 2y 1

2

2 y

( y 2 )

(x 2 y 1) ( y 2 ) (2 y 2x

( y 2 )

)

y

(x 2 y 1)

(x 2 y 1)

=

x 2 y

1 2

2 y 3 3xy

2

.

2xy 1 3