Методическое пособие 592

Рис. 5.8. К определению моментов инерции сечения Осевыми моментами инерции сечения (рис. 5.8) относительно любых взаимно

инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю (если хотя бы одна из осей является осью симметрии сечения).

Ось, проходящая через центр тяжести сечения С с координатами a и b (рис.5.8), называется центральной. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции становятся экстремальными, называются главными. Главные центральные моменты инерции выражаются так:

Формулы для определения моментов инерции простейших фигур содержатся в таблицах, приведенных в справочнике[6, т.1].

В соответствии с выражением (5.11) можно записать

Тогда на основании выражения (5.10) получим:

51

где M z - изгибающий момент в данном сечении бруса; y - расстояние от точки, в которой определяется нормальное напряжение, до нейтрально оси; J z - осевой момент инерции поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси.

Уравнение прочности. Из формулы (5.13) видно, что нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и, следовательно:

приведены в таблицах 6, т.1 .

52

Глава 6. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

6.1. Усталость материалов

Основные понятия. Наблюдениями установлено, что при действии в течение долгого времени нагрузки, периодически меняющейся от некоторого минимального значения, разрушение детали может произойти даже в том случае, когда наибольшие значения напряжения, возникающие при действии данной нагрузки, не превышают предела прочности

B и даже предела текучести T .

Нагрузка, изменяющаяся по определенному закону, называется циклической. Напряжения, вызываемые действием такой нагрузки, также называются циклическими. Совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период процесса их изменения называется циклом напряжений. Периодом цикла называется продолжительность одного цикла.

Явление разрушения материала детали под действием периодически меняющихся (циклических) напряжений носит название усталости материала.

Характер разрушения. Установлено, что структура металла при циклических нагрузках не меняется. Начало разрушения носит чисто местный характер. В зоне повышенных напряжений, обусловленных конструктивными (выточки, шпоночные раковины и т.п.) или технологическими (раковины, инородные включения и т.п.) причинами, может образоваться микротрещина. При циклических нагрузках кристаллы, расположенные в зоне трещины, начинают разрушаться и трещина проникает в глубь детали, происходит постепенное накопление повреждений, сопровождающееся шлифовкой поверхностей развивающихся трещин. В результате этого процесса сечение ослабляется и происходит внезапное разрушение.

Поверхность усталостного излома имеет две характерные области (рис. 6.1). Первая область А является зоной возникновения и постепенного развития первоначальной трещины при работе детали, вторая (Б) - зоной мгновенного разрушения, вызванного чрезмерным ослаблением нагруженного сечения. Область А имеет сглаженную поверхность, причем на поверхности видны складки и рубцы, радиально расходящиеся от очага зарождения трещины.

Рис. 6.1. Поверхность усталостного излома вала

53

Контактное усталостное разрушение. Многие детали машин и приборов (шарики и ролики подшипников качения, зубья зубчатых колес, кулачки, ролики и звездочки цепных передач, фрикционные катки и т.д.) испытывают действие переменных нагрузок в местах силового контакта. При этом в зонах, примыкающих к контактным площадкам, возникают переменные напряжения с большой амплитудой. При достаточно большом количестве циклов может возникнуть усталостное разрушение материала, который выкрашивается, и на контактной поверхности образуются оспины (ямки) (рис. 6.2). Такое явление получило название контактного усталостного разрушения (выкрашивания).

Рис. 6.2. Усталостное контактное выкрашивание рабочей поверхности внутреннего кольца подшипника

Основные характеристики цикла. Закономерность изменения циклических напряжений, максимальные и минимальные значения напряжений цикла для разных деталей могут быть самыми различными (рис. 6.3). Отношение минимального напряжения цикла к максимальному называется коэффициентом асимметрии цикла:

Я = -1. Циклы, отличные от симметричного, называются асимметричными. В том случае, когда минимальное или максимальное напряжение равно нулю (рис. 6.3,б,в), цикл называется пульсационным (реже - отнулевым). Для пульсационных циклов R = 0 или R . Цикл с коэффициентом асимметрии R = 1 соответствует постоянной нагрузке (рис. 6.3,г).

54

доводить образец до усталостной поломки. В связи с этим для цветных металлов и многих сплавов вводится понятие условного предела выносливости, под которым понимается наибольшее напряжение цикла, выдерживаемое образцом из данного материала при базовом числе циклов N0

Если число циклов меньше базового, то соответствующее наибольшее напряжение, которое материал может выдержать, называется ограниченным пределом выносливости, а его величина будет больше предела выносливости при N 0 .

Пределом контактной выносливости называется то наибольшее значение приведенного контактного напряжения, которое образец выдерживает при базовом числе циклов нагружений без появления усталостного выкрашивания. Для пластичной стали в качестве базового числа циклов принимают 107 циклов нагружений. Закаленная сталь и некоторые другие материалы с увеличением числа циклов нагрузки разрушаются при непрерывно уменьшающейся величине эквивалентных напряжений. Для таких материалов характеристикой контактной выносливости служит условный предел контактной выносливости, устанавливаемый при определенном базовом числе циклов N0 107 .

Предел выносливости зависит от вида деформации, которой подвергается образец при испытаниях на выносливость. Поэтому различают пределы выносливости при изгибе, растяжении - сжатии, чистом сдвиге и при кручении. Предел выносливости обычно обозначается символом напряжения с индексом, соответствующим индексу коэффициента

Кривая усталости. Определение пределов выносливости и изучение влияния различных факторов на усталостную прочность материалов проводится, главным образом, экспериментально на специальных образцах. Существует большое число методов и конструкций машин для исследования усталостной прочности. Принципиальная схема машины для испытания образца знакопеременным изгибом при характеристике цикла R 1 изображена

на рис.6.4. Образец 1 , изготовленный из испытуемого материала, укрепляется в зажимах 2 машины и нагружается внешней нагрузкой 3 таким образом, что его средняя (рабочая) часть испытывает чистый изгиб. При испытании образец приводится во вращение от электродвигателя 6 посредством гибкого вала 4. Для фиксирования количества циклов нагружения служит счетчик 5 числа оборотов. Плоскость расположения изгибающих пар при этом не меняет своего положения относительно основания машины. Поэтому каждому обороту образца соответствует один цикл изменения напряжений.

57

и симметричного цикла с амплитудным напряжением a , причем m и a определяется по формулам (6.2) и (6.3). При построении диаграммы по оси ординат откладывают амплитудное

образцами. Таким образом, предел выносливости при симметричном цикле изобразится точкой

диаграмме изобразится точкой С. При этом:

R m a .

Построение диаграммы усталостной прочности для данного материала связано с проведением большого объема экспериментов. Поэтому на практике часто пользуются упрощенной диаграммой. При построении упрощенной диаграммы для данного материала

кривой BCA строят прямую BA и довольствуются приближенными значениями пределов выносливости при различных характеристиках циклов. Для случая, показанного на диаграмме, приближенное значение предела выносливости соответствует точке C1 на упрощенной

диаграмме.

С помощью диаграммы предельных напряжений значение предела выносливости можно определить, имея лишь значение коэффициента асимметрии цикла. Как видно из диаграммы:

Если задано значение коэффициента асимметрии цикла R , то в соответствии с выражением (6.6) определяется угол . Под этим углом из точки O проводится луч до пересечения с кривой BCA (или c прямой BC1 A - при использовании упрощенной диаграммы). Предел выносливости при данном R изобразится суммой отрезков OC0 C0 C (или

OC2 C2C1 ).

60