Методическое пособие 446
.pdf
Задания для самостоятельного решения:
1)Используя формулы сложения, преобразуйте выражения:
а) sin(60°-β); б)cos(β-30°).
2)Представьте 75° как сумму 30°+45°, вычислите:
а) sin75°; |
б)cos75°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Упростите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) cos(α-β)-cosα·cosβ; |
б)sin( |
|
+α)- |
|
·sinα; |
|||||
|
|
|||||||||
в)sinα·cosβ-sin(α-β); |
|
г)cos(α+ |
|
)+ √ |
|
·sinα. |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|||||||||
4)Найдите значение выражения:
а) cos107°·cos17°+sin107°·sin17°; б) sin63°·cos27°+cos63°·sin27°.
5) Известно, что α и β - углы II четверти, sinα= , cosβ=- .
Найдите: |
|
|
|
|
|
а) sin(α+β); |
в) cos(α-β); |
||||
б) sin(α-β) |
г) cos(α+β); |
||||
6) Известно, что tgα= |
|
; tgβ= |
|
. |
|
|
|
||||
Найдите: |
|
|
|
|
|
а) tg(α+β); б) tg(α-β); |
|
|
|
|
|
7) Вычислите: а) tg15°; |
б) tg75°. |
||||
19
Тема 3.2. Формулы двойного угла.
Положим в формулах: |
+ |
|
|
||||||
( |
+ |
) = |
|
|
|
,, |
, |
||
( |
+ |
) = |
|
|
− |
|
|||
( |
+ |
) = |
|
|
|
= |
|
||
|
|
|
|
||||||
Получим тождества: |
|
|
|
||||||
sin2a=2sin a cos a,(1) |
|
|
|
||||||
cos2 α = cos² α - sin² α, (2) |
|
|
|
||||||
tg2 α = |
|
|
. (3) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Эти тождества называются формулами двойного угла.
Примеры применения формул двойного угла.
Пример 1. Найти значение sin2 α, зная, что cos α = -0,8 и α
– угол 3-ей четверти.
² |
+ |
² = 1, |
² |
= 1 − |
,sin = |
|||||
= − √1− |
|
= − √ |
1− 0,64 |
= −√ |
0,36 |
= −0,6 |
||||
т.к. sin α < 0. |
= 2 |
|
|
= 2(−0,6)(−0,8) = 0,96. |
||||||
2) |
2 |
|
|
|||||||
|
|
Ответ |
2 |
= 0,96. |
|
|||||
³ |
Пример 2. Упростите. |
выражение |
||||||||
− |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−=
=( − )=
= |
2 == |
1 |
(2 |
) 2 |
2 |
20
|
|
= |
1 |
|
2 |
2 = |
1 |
(2 2 |
|
|
|
2 ) == |
|
1 |
|
4 . |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
|
В формулу (2) |
2 |
|
|
− |
|
,подставим |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
== |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Получим |
2 |
= 1 − |
|
− |
|
= 1 −2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
= 1,− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
= 1 −2 |
|
|
2 |
|
|
|
= 1 − |
|
2 |
|
(4) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
В формулу (2)подставим |
|
|
|
= 1 − |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
Получим |
2 |
|
= |
|
|
² |
− 1+ |
|
= 2 |
|
|
|
− 1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Отсюда2 |
|
= 1+ |
|
(5). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Формулы(4) и (5)используют ввычислениях и |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразованиях. |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Пример 3. Упростите: |
1 − |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
= |
||||||||||||||||||
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
2 |
. |
|
|
= 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
= 1− |
|
|
2 . |
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= 1+ |
2 |
|
|
= 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1) Упроститевыражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
2 |
|
|
|
; |
|
|
||||
в) |
|
2 |
− |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 22 + |
|
|
; |
|||||||||
21
д) |
|
− |
2 ; |
|
|
е) |
|
2 |
|
− |
. |
||
3) |
|
|
|
+ |
|
||||||||
|
|
Сократитедробь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4) |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
||
а) |
|
40 ; |
|
|
б) |
; |
|
|
|
||||
|
|
20 |
|
|
50 |
|
18 |
|
|||||
в) |
|
|
80 |
|
; |
г) |
36 |
+ |
; |
||||
|
|
40 + |
40 |
|
|
18 |
|
|
|||||
5 3) Дано: = 13, − угол 2 −ой четверти.
Найдите:а) 2 ,б) 2 ,в) 2 .
3 4) Дано: = 4,180 < < 270 .
Найдите:а) 2 ,б) 2 ,в) 2
5)П усть |
= |
−0.6 и − угол 3− ей четверти. |
Найдите:а) |
2 |
,б) 2 ,в) 2 . |
6) Используяформулыдвойного угла,выразите:
а) |
, |
|
, |
|
|
|
|
|
через тригонометрические функции угла |
|
; |
||||||
2 |
||||||||
б) |
4 |
, |
4 |
, |
4 через |
|
||
тригонометрические функции угла2 ; |
|
|
||||||
в) |
6 |
, |
6 |
, |
6 |
|
|
|
через тригонометрические функции угла3 .
22
7) |
Найдитезначение |
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
,если известно,что |
|
|
= |
9 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
0 < |
< . |
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8) |
Вычислите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
а)2 |
15 |
15 ; |
|
в)8 |
|
8 |
8 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7П |
|
|
7П |
|
|
|||||||
|
|
|
б) |
105 |
105 ; г) |
|
|
12 |
|
− |
12 |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
д) |
15 − |
|
15 ;е)4 |
|
|
|
|
|
|
− 4 |
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
9 |
|
|
8 |
8 |
||||||||||||||||||||||
) Упростите: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
а) |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
1 − |
2 |
|
; |
|
|
|||||||||
1+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
в) |
|
(1 |
− |
2 ); |
|
|
|
|
|
|
г) |
|
|
1+ |
4 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
е) |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ( |
|
|
|
||||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) ) |
|
|
||||||||||
23
Тема 3.3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Из формул сложения можно получить формулы, представляющие сумму и разность синусов и косинусов в виде произведения тригонометрических функций.
sinα + sinβ = 2sin |
|
|
|
|
· cos |
|
|
|
|
(1), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sinα – sinβ = 2sin |
|
|
|
|
· cos |
|
|
|
|
(2), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cosα + cosβ = 2cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
(3), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cosα – cosβ = -2sin |
|
|
|
|
|
· sin |
|
|
(4), |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
tgα + tgβ = |
(· |
|
|
) |
(5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tgα – tgβ= |
( – |
) |
|
(6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры применения формул:
Пример 1: Упростите сумму sin 10˚ + sin 50˚. sin 10˚ + sin 50˚ = 2sin10˚+502 ˚ cos 10˚2·50˚ =
=2sin 30˚*cos(-20˚) 
2 · cos 20˚ = cos 20˚.
Пример 2: Преобразуйте разность в произведение cos 0,3π – sin 0,6π
cos 0,3π – sin 0,6π = cos 0,3π – sin(0,5π + 0,1π) =
= cos 0,3π – cos 0,1π = -2sin |
, |
, |
· sin |
, |
, |
== - |
2sin 0,2π · sin0,1π |
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельного решения:
24
1)Представьте в виде произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а)sin12°+sin20°; |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б)sin52°-sin32°; |
|
|
|
д)sinα-sin(α+ |
|
|
); |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
в) |
|
- |
|
; |
е)cos( |
|
+α)-cos( |
|
-α). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) |
Преобразуйте выражения в произведение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
а)tg2α+tgα; |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б)tg3β-tgβ; |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
Представьте в виде произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а)1/2+cosα; |
|
|
|
г)1-2cosα; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
б)1/2-sinα; |
|
|
|
д) |
|
|
+2cosα; |
||||||||||||||||||
|
в)2sinα+1; |
|
|
|
)2sinα |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
е |
√2 |
|
|
−√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) |
Докажите, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
а)(sin2α+sin6α)/(cos2α+cos6α)=tg4α; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
б)(cos2α-cos4α)/(cos2α+cos4α)=tg3α×tgα. |
|||||||||||||||||||||||||
5) |
Найдите значение выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а)(cos68°-cos22°)/(sin68°-sin22°); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
б)(sin130°+sin110°)/(cos130°+cos110°). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Контрольные вопросы
1.Какой радиус называют начальным?
2.Какой угол поворота считают положительным, отрицательным?
3.Какой буквой обозначают угол поворота; каким действительным числом он может выражаться?
4.Какой угол поворота считают углом 1,2,3,4 четверти?
5.Какой четверти принадлежат углы 0˚,±90˚, ±180˚,±270˚,±360˚?
25
6.Дайте определение синуса угла α, для каких значений угла α имеет смысл выражение sin α?
7.Дайте определение косинуса угла α; для каких значений α имеет смысл выражение cos α?
8.Дайте определение тангенса угла α; для каких значений α имеет смысл выражение tg α?
9.Дайте определение котангенса угла α; для каких значений α имеет смысл выражение ctg α?
10.Какие функции называют тригонометрическими? 11.Какова область значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса?
12.Какие знаки имеют синус, косинус, тангенс, котангенс в каждой координатной четверти?
13.Какие тригонометрические функции являются четными, нечетными?
14.В чем заключается свойство периодичности тригонометрических функций?
15.Что называют радианом?
16.Напишите основные тригонометрические тождества.
17.Напишите формулы двойного угла.
26
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Тригонометрия, 10 класс,Макарычев Ю.Н.,Миндюк Н.С., Телековский С.А.,2012.
2. Алгебра и начала анализа:Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват .учреждений /А.Н.Колмогоров, А,М.Абрамов и др,2014г.
3.Математика. Подготовка к ЕГЭ-2015.Учебно- методическое пособие/Под редакцией Ф.Ф.Лысенко
27
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по изучению темы “Основы тригонометрии” по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей
Составитель: Коновалова Мария Ивановна
В авторской редакции Подписано к изданию 15.12.2016
Уч.-изд. л. 1,7
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
394026 Воронеж, Московский просп.,14
28